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数学第四章 指数函数与对数函数4.1 指数课堂教学课件ppt
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这是一份数学第四章 指数函数与对数函数4.1 指数课堂教学课件ppt，文件包含421指数函数的概念pptx、421指数函数的概念DOCX等2份课件配套教学资源，其中PPT共44页， 欢迎下载使用。
1.了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念.2.了解指数增长型和指数衰减型在实际问题中的应用.
1.通过理解指数函数的概念和意义，发展数学抽象素养.2.通过指数函数的实际应用，发展数学建模素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
一、指数函数的概念1.问题 请看以下两个实例：实例1：某种细胞分裂时，每次每个细胞分裂为2个细胞，则1个这样的细胞第1次分裂后变为2个细胞，第2次分裂后变为4个细胞，第3次分裂后变为8个细胞，……设第x次分裂后变为y个细胞.实例2：质量为1的一种放射性物质不断衰变为其他物质，每经过1年剩留的质量约是原来的60%，设经过x年后剩留的质量为y.(1)以上两个问题中，y关于x的函数解析式分别是什么？提示 ①y＝2x；②y＝0.6x.(2)以上两个函数解析式的共同特征是什么？提示 函数的解析式是幂的形式，底数是常数，未知数x出现在指数位置上.
2.填空 一般地，函数_______________________叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是____.温馨提醒 指数函数和幂函数的区别：两者虽然都是幂的形式，但不同之处在于指数函数的自变量在指数上，而幂函数的自变量在底数上.
y＝ax(a>0，且a≠1)
3.做一做 (1)下列函数是指数函数的是( )
(2)若函数f(x)＝(a－1)x是指数函数，则实数a的取值范围是________________.
解析 由a－1>0且a－1≠1得a>1且a≠2.
(1，2)∪(2，＋∞)
二、两类指数型函数模型1.问题 将一张报纸连续对折，折叠次数x与对应的层数y之间存在什么关系？对折后的面积S(设原面积为1)与折叠的次数有怎样的关系？
2.问题 上面两函数的解析式有什么不同？提示 两函数底数的取值不同.
3.填空 (1)y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当________时为指数增长型函数模型.(2)y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当____________时为指数衰减型函数模型.
4.思考辨析 正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”.(1)y＝xx(x>0)是指数函数.( )提示 指数函数的底数是大于0且不等于1的常数，故(1)错.
(3)若f(x)＝ax为指数函数，则a>1.( )提示 当0
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
例1 (1)给出下列函数：①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是( )A.0 B.1 C.2 D.4
题型一 指数函数的概念
解析 ①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y＝x3的底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数；⑤中，底数－2<0，故⑤不是指数函数.
(2)若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是( )
1.指数函数的解析式必须具有三个特征：(1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x；(3)ax的系数是1.2.求指数函数的关键是求底数a，并注意a的限制条件.
训练1 (1)(多选)下列函数是指数函数的是( )
(2)若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则a的值为________.
题型二 求指数函数的解析式或求值
∴函数f(x)为指数衰减型函数模型，
(1)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键.(2)求指数函数的函数值的关键是掌握指数函数的解析式.
解 因为函数f(x)＝(2a2－3a＋2)ax是指数函数，所以2a2－3a＋2＝1，且a>0，a≠1，
题型三 指数增长(衰减)型函数的实际应用
例3 (1)为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2017年的耕地面积为m，则2022年的耕地面积为( )
解析 设每年减少的百分率为a，由题意得，(1－a)50＝1－10%＝0.9，
由2017年的耕地面积为m，
(2)某种细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的2倍，且知该细菌的繁殖规律为y＝10ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示细菌个数，10个细菌经过7小时培养，细菌能达到的个数为( )A.640 B.1 280C.2 560 D.5 120解析 依题意，2＝ek，则y＝10ekt＝10×2t.∴当t＝7时，y＝10×27＝1 280.
关于函数y＝kax在实际问题中的应用1.解决这类问题的关键是理解增长(衰减)率的意义：增长(衰减)率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长(衰减)率.2.主要解法用待定系数法，根据条件确定出解析式中的系数后，利用指数运算解题.
训练3 春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出的荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天.解析 设荷叶覆盖水面的初始面积为a，则x天后荷叶覆盖水面的面积y＝a·2x(x∈N*).根据题意，令2(a·2x)＝a·220，解得x＝19.
1.判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a>0且a≠1)这一结构形式，即ax的系数是1，指数是x且系数为1.2.解决增长率问题时要准确把握变量的意义，并转化为函数模型求解.3.解题误区：易忽视指数函数的底数a的限制条件：a>0且a≠1.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
1.下列函数是指数函数的是( )
对于B，函数y＝(－8)x中，a＝－8<0，不是指数函数；
对于D，函数y＝x2，是幂函数，不是指数函数.
2.若指数函数f(x)的图象过点(4，81)，则f(x)的解析式为( )
解析 设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，由题意得a4＝81，解得a＝3，∴f(x)＝3x.
3.若函数f(x)＝(m2－m－1)ax是指数函数，则实数m的值为( )A.2 B.3C.2或－1 D.－1解析 ∵函数f(x)＝(m2－m－1)ax是指数函数，∴m2－m－1＝1，解得m＝2或－1.
5.一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%的衰减率衰减，则t年后，这种放射性元素质量w的表达式为( )A.w＝500×0.9t B.w＝500×0.9t－1C.w＝500×0.1t D.w＝500×0.1t－1解析 最初的质量为500 g，经过1年，w＝500(1－10%)＝500×0.91；经过2年，w＝500×0.92，…，由此推出，t年后，w＝500×0.9t.
6.若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝________.
7.若函数y＝2(a－1)x是刻画指数衰减变化规律的模型，则a的取值范围是________.解析 ∵函数y＝2(a－1)x是刻画指数衰减变化规律的模型，∴0
9.牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间y与储藏温度x的关系式为y＝kerx(k，r为常数).若牛奶在0 ℃的冰箱中，保鲜时间约是100 h，在5 ℃的冰箱中，保鲜时间约是80 h，那么在10 ℃的冰箱中的保鲜时间是多少小时？解 因为保鲜时间y与储藏温度x的关系式为y＝kerx(k，r为常数).
故在10 ℃的冰箱中保鲜时间是64小时.
10.已知函数f(x)＝(a2＋a－5)ax是指数函数.(1)求f(x)的表达式；(2)判断F(x)＝f(x)－f(－x)的奇偶性，并加以证明.解 (1)由a2＋a－5＝1，可得a＝2或a＝－3(舍去)，∴f(x)＝2x.(2)F(x)＝2x－2－x，定义域为R，∴F(－x)＝2－x－2x＝－F(x)，∴F(x)是奇函数.
A.8 B.16C.32 D.64
函数的解析式为y＝2x，f(4)f(2)＝24×22＝64.
12.某股民购买一公司股票10万元，在连续十个交易日内，前5个交易日，平均每天上涨5%，后5个交易日，平均每天下跌4.9%，则股民的股票盈亏情况(不计其他成本，精确到元)为(参考数据：1.055＝1.2 763，0.9515＝0.7 779)( )A.赚723元 B.赚145元C.亏145元 D.亏723元解析 由题意得10×(1＋5%)5×(1－4.9%)5≈10×0.992 77＝9.927 7(万元)，∵100 000－99 277＝723(元)，∴股民亏723元.
13.截止到2021年年底，我国某市人口约为130万.若今后能将人口年平均递增率控制在3‰，则经过x年后，此市人口数为y(万).(1)求y与x的函数关系y＝f(x)，并写出定义域；解 2021年年底的人口数为130万；经过1年，2022年年底的人口数为130＋130×3‰＝130(1＋3‰)(万)；经过2年，2023年年底的人口数为130(1＋3‰)＋130(1＋3‰)×3‰＝130(1＋3‰)2(万)；经过3年，2024年年底的人口数为130(1＋3‰)2＋130(1＋3‰)2×3‰＝130(1＋3‰)3(万).……所以经过的年数与(1＋3‰)的指数相同，所以经过x年后的人口数为130(1＋3‰)x(万).即y＝f(x)＝130(1＋3‰)x(x∈N*).
(2)若按此增长率，2032年年底的人口数是多少？(3)哪一年年底的人口数将达到135万？解 (2)2032年年底的人口数为130(1＋3‰)11≈134(万).(3)由(2)可知，2032年年底的人口数为130(1＋3‰)11≈134<135.2033年年底的人口数为130(1＋3‰)12≈134.8(万)，2034年年底的人口数为130(1＋3‰)13≈135.2(万).所以2034年年底的人口数达到135万.
14.某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同.已知该年9月份两食堂的营业额又相等，则该年5月份( )A.甲食堂的营业额较高B.乙食堂的营业额较高C.甲、乙两食堂的营业额相等D.不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高
解析 设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a(a>0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x，
所以y1>y2，故该年5月份甲食堂的营业额较高.
1.了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念.2.了解指数增长型和指数衰减型在实际问题中的应用.
1.通过理解指数函数的概念和意义，发展数学抽象素养.2.通过指数函数的实际应用，发展数学建模素养.
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一、指数函数的概念1.问题 请看以下两个实例：实例1：某种细胞分裂时，每次每个细胞分裂为2个细胞，则1个这样的细胞第1次分裂后变为2个细胞，第2次分裂后变为4个细胞，第3次分裂后变为8个细胞，……设第x次分裂后变为y个细胞.实例2：质量为1的一种放射性物质不断衰变为其他物质，每经过1年剩留的质量约是原来的60%，设经过x年后剩留的质量为y.(1)以上两个问题中，y关于x的函数解析式分别是什么？提示 ①y＝2x；②y＝0.6x.(2)以上两个函数解析式的共同特征是什么？提示 函数的解析式是幂的形式，底数是常数，未知数x出现在指数位置上.
2.填空 一般地，函数_______________________叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是____.温馨提醒 指数函数和幂函数的区别：两者虽然都是幂的形式，但不同之处在于指数函数的自变量在指数上，而幂函数的自变量在底数上.
y＝ax(a>0，且a≠1)
3.做一做 (1)下列函数是指数函数的是( )
(2)若函数f(x)＝(a－1)x是指数函数，则实数a的取值范围是________________.
解析 由a－1>0且a－1≠1得a>1且a≠2.
(1，2)∪(2，＋∞)
二、两类指数型函数模型1.问题 将一张报纸连续对折，折叠次数x与对应的层数y之间存在什么关系？对折后的面积S(设原面积为1)与折叠的次数有怎样的关系？
2.问题 上面两函数的解析式有什么不同？提示 两函数底数的取值不同.
3.填空 (1)y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当________时为指数增长型函数模型.(2)y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当____________时为指数衰减型函数模型.
4.思考辨析 正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”.(1)y＝xx(x>0)是指数函数.( )提示 指数函数的底数是大于0且不等于1的常数，故(1)错.
(3)若f(x)＝ax为指数函数，则a>1.( )提示 当0
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
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例1 (1)给出下列函数：①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是( )A.0 B.1 C.2 D.4
题型一 指数函数的概念
解析 ①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y＝x3的底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数；⑤中，底数－2<0，故⑤不是指数函数.
(2)若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是( )
1.指数函数的解析式必须具有三个特征：(1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x；(3)ax的系数是1.2.求指数函数的关键是求底数a，并注意a的限制条件.
训练1 (1)(多选)下列函数是指数函数的是( )
(2)若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则a的值为________.
题型二 求指数函数的解析式或求值
∴函数f(x)为指数衰减型函数模型，
(1)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键.(2)求指数函数的函数值的关键是掌握指数函数的解析式.
解 因为函数f(x)＝(2a2－3a＋2)ax是指数函数，所以2a2－3a＋2＝1，且a>0，a≠1，
题型三 指数增长(衰减)型函数的实际应用
例3 (1)为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2017年的耕地面积为m，则2022年的耕地面积为( )
解析 设每年减少的百分率为a，由题意得，(1－a)50＝1－10%＝0.9，
由2017年的耕地面积为m，
(2)某种细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的2倍，且知该细菌的繁殖规律为y＝10ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示细菌个数，10个细菌经过7小时培养，细菌能达到的个数为( )A.640 B.1 280C.2 560 D.5 120解析 依题意，2＝ek，则y＝10ekt＝10×2t.∴当t＝7时，y＝10×27＝1 280.
关于函数y＝kax在实际问题中的应用1.解决这类问题的关键是理解增长(衰减)率的意义：增长(衰减)率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长(衰减)率.2.主要解法用待定系数法，根据条件确定出解析式中的系数后，利用指数运算解题.
训练3 春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出的荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天.解析 设荷叶覆盖水面的初始面积为a，则x天后荷叶覆盖水面的面积y＝a·2x(x∈N*).根据题意，令2(a·2x)＝a·220，解得x＝19.
1.判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a>0且a≠1)这一结构形式，即ax的系数是1，指数是x且系数为1.2.解决增长率问题时要准确把握变量的意义，并转化为函数模型求解.3.解题误区：易忽视指数函数的底数a的限制条件：a>0且a≠1.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
1.下列函数是指数函数的是( )
对于B，函数y＝(－8)x中，a＝－8<0，不是指数函数；
对于D，函数y＝x2，是幂函数，不是指数函数.
2.若指数函数f(x)的图象过点(4，81)，则f(x)的解析式为( )
解析 设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，由题意得a4＝81，解得a＝3，∴f(x)＝3x.
3.若函数f(x)＝(m2－m－1)ax是指数函数，则实数m的值为( )A.2 B.3C.2或－1 D.－1解析 ∵函数f(x)＝(m2－m－1)ax是指数函数，∴m2－m－1＝1，解得m＝2或－1.
5.一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%的衰减率衰减，则t年后，这种放射性元素质量w的表达式为( )A.w＝500×0.9t B.w＝500×0.9t－1C.w＝500×0.1t D.w＝500×0.1t－1解析 最初的质量为500 g，经过1年，w＝500(1－10%)＝500×0.91；经过2年，w＝500×0.92，…，由此推出，t年后，w＝500×0.9t.
6.若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝________.
7.若函数y＝2(a－1)x是刻画指数衰减变化规律的模型，则a的取值范围是________.解析 ∵函数y＝2(a－1)x是刻画指数衰减变化规律的模型，∴0
9.牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间y与储藏温度x的关系式为y＝kerx(k，r为常数).若牛奶在0 ℃的冰箱中，保鲜时间约是100 h，在5 ℃的冰箱中，保鲜时间约是80 h，那么在10 ℃的冰箱中的保鲜时间是多少小时？解 因为保鲜时间y与储藏温度x的关系式为y＝kerx(k，r为常数).
故在10 ℃的冰箱中保鲜时间是64小时.
10.已知函数f(x)＝(a2＋a－5)ax是指数函数.(1)求f(x)的表达式；(2)判断F(x)＝f(x)－f(－x)的奇偶性，并加以证明.解 (1)由a2＋a－5＝1，可得a＝2或a＝－3(舍去)，∴f(x)＝2x.(2)F(x)＝2x－2－x，定义域为R，∴F(－x)＝2－x－2x＝－F(x)，∴F(x)是奇函数.
A.8 B.16C.32 D.64
函数的解析式为y＝2x，f(4)f(2)＝24×22＝64.
12.某股民购买一公司股票10万元，在连续十个交易日内，前5个交易日，平均每天上涨5%，后5个交易日，平均每天下跌4.9%，则股民的股票盈亏情况(不计其他成本，精确到元)为(参考数据：1.055＝1.2 763，0.9515＝0.7 779)( )A.赚723元 B.赚145元C.亏145元 D.亏723元解析 由题意得10×(1＋5%)5×(1－4.9%)5≈10×0.992 77＝9.927 7(万元)，∵100 000－99 277＝723(元)，∴股民亏723元.
13.截止到2021年年底，我国某市人口约为130万.若今后能将人口年平均递增率控制在3‰，则经过x年后，此市人口数为y(万).(1)求y与x的函数关系y＝f(x)，并写出定义域；解 2021年年底的人口数为130万；经过1年，2022年年底的人口数为130＋130×3‰＝130(1＋3‰)(万)；经过2年，2023年年底的人口数为130(1＋3‰)＋130(1＋3‰)×3‰＝130(1＋3‰)2(万)；经过3年，2024年年底的人口数为130(1＋3‰)2＋130(1＋3‰)2×3‰＝130(1＋3‰)3(万).……所以经过的年数与(1＋3‰)的指数相同，所以经过x年后的人口数为130(1＋3‰)x(万).即y＝f(x)＝130(1＋3‰)x(x∈N*).
(2)若按此增长率，2032年年底的人口数是多少？(3)哪一年年底的人口数将达到135万？解 (2)2032年年底的人口数为130(1＋3‰)11≈134(万).(3)由(2)可知，2032年年底的人口数为130(1＋3‰)11≈134<135.2033年年底的人口数为130(1＋3‰)12≈134.8(万)，2034年年底的人口数为130(1＋3‰)13≈135.2(万).所以2034年年底的人口数达到135万.
14.某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同.已知该年9月份两食堂的营业额又相等，则该年5月份( )A.甲食堂的营业额较高B.乙食堂的营业额较高C.甲、乙两食堂的营业额相等D.不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高
解析 设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a(a>0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x，
所以y1>y2，故该年5月份甲食堂的营业额较高.
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