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人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用教学ppt课件
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这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用教学ppt课件，文件包含57三角函数的应用pptx、57三角函数的应用DOCX等2份课件配套教学资源，其中PPT共56页， 欢迎下载使用。
1.会用三角函数解决简单的实际问题.2.体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.
通过实际问题，构建三角函数数学模型，重点提升学生的数学抽象、数学运算和数学建模素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
一、简谐运动的物理量1.问题 一个弹簧振子做简谐振动，在完成一次全振动的过程中，时间t(单位：s)与位移y(单位：mm)之间对应数据绘制成简图如图所示.
(1)若用函数y＝Asin(ωt＋φ)来刻画位移y随时间t的变化规律，你能写出y关于t的函数解析式吗？
(2)函数y＝Asin(ωt＋φ)中的参数A，ω，φ对其图象有怎样的影响？提示 A影响函数的最值，ω影响周期，φ决定函数的具体位置.
2.填空 简谐运动可以用函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)表示，其中A>0，ω>0.(1)A就是这个简谐运动的______，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的__________；
(2)简谐运动的周期是___________，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；
(3)简谐运动的频率由公式_______________给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；(4)__________ 称为相位；x＝0时的相位φ称为______.
二、拟合函数模型1.填空 我们可以利用收集到的数据，首先画出相应的________，观察________，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题.温馨提醒 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，在刻画周期变化预测其未来等方面发挥着十分重要的作用.
2.思考辨析 正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”.(1)三角函数模型是描述周期变化现象的重要函数模型.( )(2)在研究具体问题时，我们常常利用收集到的数据，作出相应的“散点图”来获得相应的函数模型.( )(3)函数y＝|cs x|的图象是以2π为周期的波浪型曲线.( )
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
(1)求小球开始振动的位置；
题型一 三角函数模型在物理中的应用
(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的坐标；(3)小球上下振动往复一次需要多长时间？
所以小球往复运动一次所需时间为π s.
1.在物理学中，当物体做简谐运动时，可以用正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)来表示运动的位移y随时间x的变化规律.主要体现在单摆、弹簧振子、电流、机械波等问题.2.明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、周期、平衡位置、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题.
(1)开始(t＝0)时的电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次取得最大值的时间.
例2 一个缆车示意图如图所示，该缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面的距离为0.8 m，60 s 转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动角θ到OB.设点B与地面距离是h.
题型二 三角函数模型的实际应用
(1)求h与θ之间的函数解析式；解 以圆心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
(2)设从OA开始转动，经过t s后到达OB，求h与t之间的函数解析式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少.
所以t＝30＋60k，k∈Z，取k＝0，得t＝30，故缆车到达最高点时，用的时间最少为30 s.
三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：一是已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则；二是把实际问题转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模.
(1)求实验室这一天的最大温差；
所以f(t)在[0，24)上的最大值为12，最小值为8，故实验室这一天内的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.
(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间内实验室需要降温？解 依题意，当f(t)>11时实验室需要降温.
又0≤t<24，所以10
例3 当我们所处的地球北半球为冬季的时候，地球南半球的M地恰好是盛夏，因此北半球的人们冬天愿意去那里旅游.下面是一份M地机场提供的月平均气温统计表.(1)根据这个统计表提供的数据，为M地的月平均气温作出一个函数模型；
解 以月份x为横轴，平均气温t为纵轴作出图象，并以光滑的曲线连接诸散点，得到如图所示的曲线.
由于各地月平均气温的变化是以12个月为周期的函数，依散点图所绘制的图象，我们可以考虑用t＝Acs(ωx＋φ)＋k来描述.由最高平均气温为17.9 ℃，最低平均气温为9.5 ℃，
又当x＝2时，t取最大值，
(2)当平均气温不低于13.7 ℃时，M地最适宜于旅游，试根据你所确定的函数模型，确定M地的最佳旅游时间.解 作直线t＝13.7与函数图象交于两点(5，13.7)，(11，13.7).这说明在每年的十一月初至第二年的四月末气温不低于13.7 ℃，是M地的最佳旅游时间.
1.根据收集的数据，先画出相应的散点图，观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型.2.(1)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数解析式.(2)利用函数解析式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据.
训练3 下表是某地某年月平均气温(华氏)：
以月份为x轴(x＝月份－1)，以平均气温为y轴.(1)用正弦曲线去拟合这些数据；解 如图.
(2)估计这个正弦曲线的周期T和振幅A；解 最低气温为1月份21.4，最高气温为7月份73.0，
因为2A的值等于最高气温与最低气温的差，即2A＝73.0－21.4＝51.6，所以A＝25.8.
解 因为x＝月份－1，所以不妨取x＝2－1＝1，y＝26.0.
故②不适合.所以应选③.
1.三角函数模型构建的步骤：(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象.(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合.(3)利用三角函数模型解决实际问题.(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验.2.面对实际问题时，能够迅速地建立数学模型是一项重要的基本技能，在读题时把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
A.5 B.6 C.8 D.10
3.在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球，它们做上下自由振动.已知它们在时间t(s)时离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下列两式确定：
A.s1>s2 B.s1
解析 由图象得A＝300，
∴I＝300sin(100πt＋φ).
5.(多选)如图所示是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是( )
A.该质点的运动周期为0.7 sB.该质点的振幅为5 cmC.该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度最大D.该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零
∴T＝0.8，故A错误.又最小值为－5，知振幅A＝5，在0.1 s和0.5 s时，质点位于最高点或最低点，速度为0.
7.如图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(米)在某天0～24时的变化情况，则水面高度h关于时间t的函数关系式为 .
解析 设h＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)，由图象知A＝6，T＝12，
点(6，0)为“五点法”作图中的“第一点”，
9.将自行车支起来，使后轮能平稳地匀速转动，观察后轮气针的运动规律，若将后轮放入如图所示坐标系中，轮胎以角速度ω rad/s做圆周运动，P0是气针的初始位置，气针(看作一个点P)到原点(O)的距离为r.
(1)求气针(P)的纵坐标y关于时间t的函数关系，并求出P的运动周期；解 过P作x轴的垂线，设垂足为M，在Rt△OPM中，MP＝rsin(ωt＋φ).
10.如图所示，一个摩天轮半径为10 m，轮子的底部在地面上2 m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时.
(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；解 设在t s时，摩天轮上某人在高h m处，
故在t s时，此人相对于地面的高度为
(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m?
故此人有10 s相对于地面的高度不小于17 m.
12.一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系的一个三角函数式为 .
解析 设y＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)，
13.如图，某动物种群数量1月1日(t＝0时)低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化.
(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式(其中t以年初以来的月为计量单位)；解 设种群数量y关于t的解析式为y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0)，
解得A＝100，b＝800.又周期T＝2×(6－0)＝12，
又当t＝6时，y＝900，
∴sin(π＋φ)＝1，∴sin φ＝－1，
(2)估计当年3月1日动物种群数量.
故当年3月1日动物种群数量约是750.
(2)f(θ)的解析式；(3)f(θ)的值域.
过点D作地面的垂线，垂足为E，
1.会用三角函数解决简单的实际问题.2.体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.
通过实际问题，构建三角函数数学模型，重点提升学生的数学抽象、数学运算和数学建模素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
一、简谐运动的物理量1.问题 一个弹簧振子做简谐振动，在完成一次全振动的过程中，时间t(单位：s)与位移y(单位：mm)之间对应数据绘制成简图如图所示.
(1)若用函数y＝Asin(ωt＋φ)来刻画位移y随时间t的变化规律，你能写出y关于t的函数解析式吗？
(2)函数y＝Asin(ωt＋φ)中的参数A，ω，φ对其图象有怎样的影响？提示 A影响函数的最值，ω影响周期，φ决定函数的具体位置.
2.填空 简谐运动可以用函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)表示，其中A>0，ω>0.(1)A就是这个简谐运动的______，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的__________；
(2)简谐运动的周期是___________，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；
(3)简谐运动的频率由公式_______________给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；(4)__________ 称为相位；x＝0时的相位φ称为______.
二、拟合函数模型1.填空 我们可以利用收集到的数据，首先画出相应的________，观察________，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题.温馨提醒 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，在刻画周期变化预测其未来等方面发挥着十分重要的作用.
2.思考辨析 正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”.(1)三角函数模型是描述周期变化现象的重要函数模型.( )(2)在研究具体问题时，我们常常利用收集到的数据，作出相应的“散点图”来获得相应的函数模型.( )(3)函数y＝|cs x|的图象是以2π为周期的波浪型曲线.( )
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
(1)求小球开始振动的位置；
题型一 三角函数模型在物理中的应用
(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的坐标；(3)小球上下振动往复一次需要多长时间？
所以小球往复运动一次所需时间为π s.
1.在物理学中，当物体做简谐运动时，可以用正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)来表示运动的位移y随时间x的变化规律.主要体现在单摆、弹簧振子、电流、机械波等问题.2.明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、周期、平衡位置、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题.
(1)开始(t＝0)时的电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次取得最大值的时间.
例2 一个缆车示意图如图所示，该缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面的距离为0.8 m，60 s 转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动角θ到OB.设点B与地面距离是h.
题型二 三角函数模型的实际应用
(1)求h与θ之间的函数解析式；解 以圆心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
(2)设从OA开始转动，经过t s后到达OB，求h与t之间的函数解析式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少.
所以t＝30＋60k，k∈Z，取k＝0，得t＝30，故缆车到达最高点时，用的时间最少为30 s.
三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：一是已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则；二是把实际问题转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模.
(1)求实验室这一天的最大温差；
所以f(t)在[0，24)上的最大值为12，最小值为8，故实验室这一天内的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.
(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间内实验室需要降温？解 依题意，当f(t)>11时实验室需要降温.
又0≤t<24，所以10
例3 当我们所处的地球北半球为冬季的时候，地球南半球的M地恰好是盛夏，因此北半球的人们冬天愿意去那里旅游.下面是一份M地机场提供的月平均气温统计表.(1)根据这个统计表提供的数据，为M地的月平均气温作出一个函数模型；
解 以月份x为横轴，平均气温t为纵轴作出图象，并以光滑的曲线连接诸散点，得到如图所示的曲线.
由于各地月平均气温的变化是以12个月为周期的函数，依散点图所绘制的图象，我们可以考虑用t＝Acs(ωx＋φ)＋k来描述.由最高平均气温为17.9 ℃，最低平均气温为9.5 ℃，
又当x＝2时，t取最大值，
(2)当平均气温不低于13.7 ℃时，M地最适宜于旅游，试根据你所确定的函数模型，确定M地的最佳旅游时间.解 作直线t＝13.7与函数图象交于两点(5，13.7)，(11，13.7).这说明在每年的十一月初至第二年的四月末气温不低于13.7 ℃，是M地的最佳旅游时间.
1.根据收集的数据，先画出相应的散点图，观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型.2.(1)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数解析式.(2)利用函数解析式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据.
训练3 下表是某地某年月平均气温(华氏)：
以月份为x轴(x＝月份－1)，以平均气温为y轴.(1)用正弦曲线去拟合这些数据；解 如图.
(2)估计这个正弦曲线的周期T和振幅A；解 最低气温为1月份21.4，最高气温为7月份73.0，
因为2A的值等于最高气温与最低气温的差，即2A＝73.0－21.4＝51.6，所以A＝25.8.
解 因为x＝月份－1，所以不妨取x＝2－1＝1，y＝26.0.
故②不适合.所以应选③.
1.三角函数模型构建的步骤：(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象.(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合.(3)利用三角函数模型解决实际问题.(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验.2.面对实际问题时，能够迅速地建立数学模型是一项重要的基本技能，在读题时把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
A.5 B.6 C.8 D.10
3.在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球，它们做上下自由振动.已知它们在时间t(s)时离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下列两式确定：
A.s1>s2 B.s1
解析 由图象得A＝300，
∴I＝300sin(100πt＋φ).
5.(多选)如图所示是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是( )
A.该质点的运动周期为0.7 sB.该质点的振幅为5 cmC.该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度最大D.该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零
∴T＝0.8，故A错误.又最小值为－5，知振幅A＝5，在0.1 s和0.5 s时，质点位于最高点或最低点，速度为0.
7.如图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(米)在某天0～24时的变化情况，则水面高度h关于时间t的函数关系式为 .
解析 设h＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)，由图象知A＝6，T＝12，
点(6，0)为“五点法”作图中的“第一点”，
9.将自行车支起来，使后轮能平稳地匀速转动，观察后轮气针的运动规律，若将后轮放入如图所示坐标系中，轮胎以角速度ω rad/s做圆周运动，P0是气针的初始位置，气针(看作一个点P)到原点(O)的距离为r.
(1)求气针(P)的纵坐标y关于时间t的函数关系，并求出P的运动周期；解 过P作x轴的垂线，设垂足为M，在Rt△OPM中，MP＝rsin(ωt＋φ).
10.如图所示，一个摩天轮半径为10 m，轮子的底部在地面上2 m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时.
(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；解 设在t s时，摩天轮上某人在高h m处，
故在t s时，此人相对于地面的高度为
(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m?
故此人有10 s相对于地面的高度不小于17 m.
12.一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系的一个三角函数式为 .
解析 设y＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)，
13.如图，某动物种群数量1月1日(t＝0时)低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化.
(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式(其中t以年初以来的月为计量单位)；解 设种群数量y关于t的解析式为y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0)，
解得A＝100，b＝800.又周期T＝2×(6－0)＝12，
又当t＝6时，y＝900，
∴sin(π＋φ)＝1，∴sin φ＝－1，
(2)估计当年3月1日动物种群数量.
故当年3月1日动物种群数量约是750.
(2)f(θ)的解析式；(3)f(θ)的值域.
过点D作地面的垂线，垂足为E，
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