2021-2022学年江西省山江湖协作体高二（自招班）上学期联考数学（理）试题（解析版）

2021-2022学年江西省山江湖协作体高二（自招班）上学期联考数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求出，再求出，最后求即可.

【详解】解：因为，所以，

因为，所以

所以

故选：D

【点睛】本题考查一元二次不等式的求解、指数函数的性质、集合的交集运算，是基础题.

2．某校高三年级有学生人，为了调查某次考试数学成绩情况，现将学生数学成绩按、、、、随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为的样本（等距抽样），已知抽得第一组的编号为号，则抽得第组的编号是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】计算出抽样间隔，由此可求得结果.

【详解】样本容量为，样本间隔为，且.

因此，抽得第组的编号是.

故选：B．

3．已知数列中，，又，，若，则（       ）

A．7 B．9 C．15 D．17

【答案】C

【分析】利用向量平行的坐标运算公式得出，可得出，所以数列是以为首项，公比为的等比数列，然后求解.

【详解】因为，所以，则，即，

又，所以，所以数列是以为首项，公比为的等比数列，

所以，得.

故选：C.

【点睛】本题考查向量的平行，考查数列的通项公式求解及应用，难度一般. 一般地，若满足，则只需构造，其中，然后转化为等比数列求通项.

4．执行如图所示的程序框图，若输出的S＝88，则判断框内应填入的条件是

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知：该程序的作用是累加并输出的值，条件框内的语句决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到结果.

【详解】程序在运行过程中各变量值变化如下：

第一次循环是

第二次循环是

第三次循环是

第四次循环是

第五次循环否

故退出循环的条件应为，故选B.

【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.

5．将4本完全相同的小说，1本诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本书，则不同分法有

A．24种 B．28种 C．32种 D．16种

【答案】D

【详解】试题分析：不同的分法可能是小说每人一本，诗集给其中1人，共有＝4种分法，可能有1人分得两本小说，则有种分法，因此共有4＋12＝16种不同的分法．故选D．

【解析】排列组合的综合．

6．《易经》是中国传统文化中的精髓．如图是易经后天八卦图，每一卦由三根线组成（“___”表示一根阳线，“_ _”表示一根阴线），现从八卦中任取两卦，这两卦的阳线数目之和为3的概率是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】求出从八卦中任取两卦的基本事件总数，再求出这两卦的阳线数目之和为3的基本事件，利用古典概型求概率即可．

【详解】解：从八卦中任取两卦，基本事件总数，

这两卦的阳线数目之和为3的基本事件有种，

这两卦的阳线数目之和为3的概率为．

故选：A．

7．已知，且，则的最小值是

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意，根据，得，代入，利用基本不等式，即可求解最小值，得到答案.

【详解】由题意，可知，且，则，

则，

当且仅当，即等号成立，即最小值是，故选A.

【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最小值问题，其中解答中根据题设条件，代入化简，根据“一正、二定、三相等”，合理利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

8．已知函数的图象关于直线对称，且在上有个零点，则的值为（       ）

A． B． C．或 D．或

【答案】B

【分析】解法一：利用对称轴可求得，由在上的前个零点的坐标可构造不等式求得，由此得到结果；

解法二：首先根据对称轴可排除AC；根据零点个数可排除D，由此得到结果.

【详解】解法一：图象关于直线对称，

，解得：，

在上的前个零点依次为，，，，

在上有个零点，，解得：，

又，.

解法二：当时，，，

的图象不关于直线对称，可排除AC；

当时，，，

的图象关于直线对称；

当时，，的零点有个，可排除D.

故选：B.

【点睛】结论点睛：若的图象关于直线对称，则；若的图象关于点对称，则.

9．已知P与Q分别为函数与函数 的图象上一点，则线段的最小值为（       ）

A． B． C． D．6

【答案】C

【分析】求出函数的图象上与直线平行的切线方程，由两平行线间距离公式可得结论．

【详解】由得，令得，，

函数的图象在点处的切线方程为，即，

直线与直线间的距离为．

∴线段的最小值为．

故选：C．

【点睛】本题考查直线与函数图象上点间距离的最小值，解题关键是掌握转化与化归思想，转化为求函数图象的切线，求两平行线间的距离．

10．已知，且，那么的展开式中的常数项为

A．-15 B．15 C．20 D．-20

【答案】D

【详解】令得

又，

所以由得常数项为

故选D.

11．在中，点是的中点，，线段与交于点，动点在内部活动（不含边界），且，其中、，则的取值范围是（        ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】连接并延长交于点，设，，则，，利用平面向量的基本定理可得出，利用不等式的基本性质可求得的取值范围.

【详解】如下图所示，连接并延长交于点，

设，，则，，

，

，

又，，，

，

，，则，即，即，

因此，的取值范围是.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题考查利用平面向量的基本定理求与参数有关的代数式的取值范围，解题的关键在于引入参数表示、，并结合不等式的基本性质求出的取值范围.

12．已知函数，，若方程有两个不相等的正实根，则实数m的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由方程有两个不相等的正实根，转化为方程有两个不相等的正实根，进而得到函数的图象与直线在上有两个不同的交点，根据当时，若直线与的图象相切，得到切点坐标为和切线方程，结合图象，即可求解.

【详解】因为函数，，且方程有两个不相等的正实根，

所以方程有两个不相等的正实根，

即方程有两个不相等的正实根，

即函数的图象与直线在上有两个不同的交点，

因为当时，，所以在上单调递增，

作出在上的大致图象，如图所示，

当时，若直线与的图象相切，

设切点坐标为，则切线方程为，

可得切线过点，所以，解得或(舍去)，

所以该切线的斜率为，

因为函数的图象与直线在上有两个不同的交点，

所以数形结合可得.

故选：D.

【点睛】方法点拨：把方程有两个不相等的正实根，转化为方程有两个不相等的正实根，进而转化为函数的图象与直线在上有两个不同的交点，利用导数求得函数的单调性与最值，结合图象求解是解答的关键.

二、填空题

13．已知函数，则___________.

【答案】

【分析】首先求出的值，再将结果代入函数即可求得最终结果.

【详解】由题意知，

则.

故答案为：.

14．的展开式中项的系数为___________

【答案】

【分析】分析项的构成，利用二项展开式的通项公式即可求出项的系数.

【详解】因为的展开式的通项公式为.

要求的展开式中项，

只需.

故答案为：25.

15．已知实数满足，若恒成立，则实数的取值范围是__________．

【答案】

【解析】画出约束条件的可行域，化简目标函数，推出的表达式，利用不等式的几何意义，求解范围即可．

【详解】实数满足的可行域如图，

由，得，，设点，

可行域内动点，即，可得点，由图可知连线的斜率的最大值为，可得．

故答案为：.

【点睛】本题考查简单的线性规划的应用，画出可行域、化简目标函数并且判断目标函数的几何意义是解题的关键，属于基础题.

16．现有学号分别为号、号、号、、号的位同学依次站成一排，老师请他们从号同学开始依次从如图所示的装有标号为至号球的三个圆柱形容器中随意选择一个有球的容器并取出最上面的一个球，再根据自己手中所拿球的号码，按照球号从小到大的顺序从左到右重新站成一排，则所有可能的不同站法有____________种（用数字作答）．

【答案】

【解析】将问题等价于将位同学看成个排成一列的盒子，先从这个不同的盒子中选出个，依次放入、、号球，再从剩余的个盒子中选出个，依次放入、、号球，再将、、号球，依次放入剩余的个盒子，利用分步乘法计数原理可求得结果.

【详解】相当于先将位同学看成个排成一列的盒子，

先从这个不同的盒子中选出个，并从左往右依次放入、、号球，

再从剩余的个盒子中选出个，并从左往右依次放入、、号球，

最后将、、号球，从左往右依次放入剩余的个盒子，

共有种不同的站法．

故答案为：.

【点睛】方法点睛：利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．

三、解答题

17．已知关于x的不等式恒成立，记实数m的最大值为M．

(1)求M的值；

(2)若正数a，b，c满足，求的最小值

【答案】(1)4

(2)1

【分析】（1）先求出的最小值,再根据 恒成立,得到,然后解关于的不等式即可求得的最大值;（2）由（1）可得,再由，利用基本不等式求出最小值即可.

【详解】(1)由绝对值不等式得

当时等号成立

若不等式恒成立,

则满足, 解得

(2)由 (1) 知正数,,满足

即

当且仅当即,即时,取等号.

成立.

即的最小值为

18．根据教育部部署，我省从2021年秋季入学的高一新生起推进高考综合改革，将迎来“3+1+2”新高考模式．“3”指的是：语文、数学、英语，统一必考；“1”指的是：物理和历史，考生从中选考一科；“2”指的是：化学、生物、地理和政治，考生从四科中选考两科．某中学为了在暑期招聘老师时考虑各学科所需老师数，模拟调查了高一年级2000名学生的选科意向，随机抽取了100人统计选考科目人数如下表：

（1）补全上表，根据表中数据计算判断是否有90%的把握认为“选考物理与性别有关”？

（2）将此样本的频率视为总体的概率，随机调查本校高一年级的3名学生．设这3人中选考物理的人数为X，求X的分布列及数学期望；

附：，其中

【答案】（1）填表见解析；没有；（2）分布列见解析；期望为．

【分析】（1）由题意补全表格，计算，根据临界值表得出结论；

（2）根据随机变量的可能取值，分别计算概率得出分布列，求期望即可.

【详解】（1）补全表格如图．

根据联表中数据得：

．

因为，所以没有90%的把握认为“选考物理与性别有关”．

（2）由题意可知，学生选考物理得概率为．

X的所有可能取值为0，1，2，3．

，，

，．

所以X的分布列为

．

（直接判断出X服从，的二项分布，对应给分）

19．四棱锥中，平面平面，，，，是正三角形，点是的中点．

(1)求证：平面；

(2)求点到平面的距离．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）记点是的中点，连接，利用线线平行证明线面平行；

（2）连接，过点作于点，可证平面平面，作于点，点到平面的距离为.

【详解】(1)证明：记点是的中点，连接，

点是的中点，

，且，

，且，

，且，

四边形为平行四边形，

，

平面平面，

平面．

(2)解：连接，过点作于点，

由题知，，

，

，

，

，

平面平面，平面平面，

平面，

又平面，

平面平面，

作于点，又平面平面，

则平面，即点到平面的距离为．

由是正三角形，且得，

点到平面的距离为．

20．已知各项均为正数的数列{}满足(N),且是的等差中项.

(I)求数列{}的通项公式;

(II)若,求使成立的正整数n的最小值.

【答案】(I) ；(II) 5

【分析】(I)根据递推公式化简即可证明数列{}为等比数列,再求解通项公式即可.

(II)求得再求得后利用错位相减求解判断即可.

【详解】(I),因为数列{}各项均为正数,

故,.所以{}是以公比为2的等比数列.

又是的等差中项,故,即.

故

(II) .

故…①

所以…②

②①得,

要即，

故使成立的正整数n的最小值为5.

【点睛】本题主要考查了数列的递推公式求解通项公式的方法以及错位相减的求和方法等,属于中等题型.

21．已知圆C经过两点，圆心在直线上.

(1)求圆C的标准方程；

(2)若圆C与y轴相交于A，B两点（A在B上方）.直线与圆C交于M，N两点，直线，相交于点T.请问点T是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.

【答案】(1)

(2)是，

【分析】（1）由已知设出圆心，再由圆心到的距离都为半径列出方程解出答案即可；

（2）联立直线与圆的方程并化简，然后求出直线和的方程，进而结合根与系数的关系得到答案.

【详解】(1)依题意可设圆心，则半径，

解，，故，即圆C的标准方程为.

(2)设，由（1）可知，，

联立方程组，消去x并化简得，

容易判断直线所过定点（0,1）在圆内，即直线与圆一定有两个交点，

所以，

直线的方程为…①，直线的方程为…②，

由①②可得：，

由，化简得，故点T在定直线上.

【点睛】解析几何压轴题运算量一般都比较大，这个需要平时加大练习力度.本题涉及定点问题，思路一定要直接一点，需要交点，那就解出交点；另外这种题往往和根与系数的关系联系紧密.

22．已知函数.

（1）当求的单调区间；

（2）若函数有两个极值点且恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）的单调递减区间为；的单调递增区间为.；（2）.

【分析】（1）求出导函数，由得减区间，由得增区间；

（2）首先求出导函数，由得出以及参数的关系，，，，不等式可消去，并由分离参数法化为，问题又转化为求函数的最小值即可．

【详解】（1）的定义域为，求导得，

令，得，解得，或．

当时，，故在上单调递减.

当时，，故在上单调递增.

综上，的单调递减区间为；的单调递增区间为.

（2）的定义域为，求导得，

有两个极值点时，等价于方程的有两个不等正根

，，，，

此时不等式恒成立，等价于对恒成立，

可化为恒成立，

令，

则，

，，，

在恒成立，在上单调递减，

，

.     故实数的取值范围是.

【点睛】本题考查用导数求函数的单调性，考查用导数研究函数的极值点及不等式恒成立问题，解题关键是掌握转化与化归思想，多元不等式恒成立，消元化化二元不等式，再用分离参数法转化为求函数最值．本题考查了学生的逻辑推理能力，转化与化归思想，属于难题．