高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）图片课件ppt

进阶训练11(范围：5.6～5.7)

一、基础达标

1.为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝sin图象上的所有点(　　)

A.向右平移个单位长度

B.向左平移个单位长度

C.横坐标缩短为原来的倍

D.横坐标伸长为原来的3倍

答案　D

解析　把函数y＝sin图象上的所有点横坐标伸长为原来的3倍.

2.已知ω>0，函数f(x)＝cos的一条对称轴为x＝，一个对称中心为，则ω有(　　)

A.最小值2   B.最大值2

C.最小值1   D.最大值1

答案　A

解析　由题意知－≥，故T＝≤π，ω≥2.

3.如图所示的是一个单摆，以平衡位置OA为始边、OB为终边的角θ(－π<θ<π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝sin，则当t＝0时角θ的大小及单摆的频率分别是(　　)

A.，   B.2，

C.，π   D.2，π

答案　A

解析　当t＝0时，θ＝sin ＝，

由函数解析式易知单摆的周期为＝π，

故单摆的频率为.

4.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点M(，－)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过t秒后，水斗旋转到点N(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ)，则函数f(t)的解析式为(　　)

A.f(t)＝2sin

B.f(t)＝sin

C.f(t)＝2sin

D.f(t)＝2sin

答案　A

解析　由题意，知R＝＝2，

∵旋转一周用时60秒，

∴T＝60＝，则ω＝，

又f(0)＝－，得2sin φ＝－，

由|φ|<，则φ＝－，

故f(t)＝2sin.

5.(多选)同时具有以下3个性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x＝对称；③在上为单调函数的函数是(　　)

A.y＝sin   B.y＝sin

C.y＝cos   D.y＝sin

答案　BC

解析　选项A中，最小正周期T＝4π，不满足题意.

选项B中，T＝π，当x＝时，y＝sin＝1，取得最大值，

∴图象关于x＝对称，

又x∈时，2x－∈，

所以y＝sin在上单调递增，

因此y＝sin同时满足性质①②③.

选项C中，同理可验证函数y＝cos满足题意.

选项D中，当x＝时，y＝sin＝，所以直线x＝不是y＝sin的一条对称轴，不满足②，D不符合题意.

6.设某人的血压满足函数关系式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(单位：min)，则此人每分钟心跳的次数是　　　　Ｗ.

答案　80

解析　由题意可知周期T＝＝(分)，

故频率f＝＝80(次/分).

7.国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝Asin＋60(美元)，t为天数，A>0，ω>0，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t＝150天时，油价最低，则ω最小值为　　　　.

答案　

解析　由A＋60＝80得A＝20，且150πω＋＝－＋2kπ，k∈Z，

所以ω＝－＋k，k∈Z，

即k＝1时，ω最小值为.

8.已知将函数f(x)＝sin的图象向左平移φ个单位长度， 得到函数g(x)的图象.若g(x)为偶函数，则φ＝　　　　；若g(x)为奇函数，则φ＝　　　　Ｗ.

答案　　

解析　由题意，知g(x)＝sin，

若g(x)为偶函数，

则2φ＋＝kπ＋，k∈Z，

∴φ＝＋，k∈Z，从而φ＝；

若g(x)为奇函数，则2φ＋＝kπ，k∈Z，

∴φ＝－，k∈Z，则φ＝.

9.如图所示，函数f1(x)＝Asin(ωx＋φ)的一段图象过点(0，1).

(1)求函数f1(x)的表达式；

(2)将函数y＝f1(x)的图象向右平移个单位长度，得函数y＝f2(x)的图象，求y＝f2(x)的最大值，并求出此时自变量x的取值集合.

解　(1)由题意知，T＝π，则ω＝＝2，

所以f1(x)＝Asin(2x＋φ).

又f1＝Asin＝0，

则φ＝－＋kπ，k∈Z.

因为|φ|<，所以φ＝.

将(0，1)代入f1(x)＝Asin，得A＝2.

所以f1(x)＝2sin.

(2)由题意得，f2(x)＝2sin

＝－2cos，

当2x＋＝2kπ＋π，k∈Z，

即x＝＋kπ，k∈Z时，ymax＝2，

此时自变量x的取值集合为.

10.已知某海滨浴场的海浪高度y(m)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作：y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：

经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似看成是函数y＝Acos ωt＋b的图象.

(1)根据以上数据，求出函数y＝Acos ωt＋b的最小正周期T、振幅A以及函数的表达式；

(2)根据规定，当海浪高度高于1米时，才对冲浪爱好者开放，根据(1)的结论判断一天内的上午8：00至晚上20：00之间，有多长时间可供冲浪者进行运动？

解　(1)由题意得，T＝12，∴ω＝＝.

当t＝0时，Acos 0＋b＝，即A＋b＝；

当t＝3时，Acos ＋b＝1，即b＝1，

∴A＝，b＝1，

∴y＝cos t＋1.

(2)由题意知，当y>1时，才对冲浪者开放，

∴cos t＋1>1，∴cos t>0，

∴2kπ－<t<2kπ＋，k∈Z，

即12k－3<t<12k＋3，k∈Z.

∵0≤t≤24，

∴令k＝0，1，2，得0≤t<3或9<t<15或21<t≤24.

故在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6个小时的时间供冲浪者进行运动，即上午9：00至下午15：00.

11.如图，以正方形的各边为底向外作四个腰长为1的等腰三角形，则阴影部分面积的最大值是(　　)

A.2＋2   B.4

C.＋2   D.2

答案　A

解析　设等腰三角形的底角为θ，则等腰三角形的底边长为2cos θ，高为sin θ，

阴影部分的面积为4××2cos θ×sin θ＋(2cos θ)2＝2sin 2θ＋2cos 2θ＋2

＝2 sin＋2，

当θ＝时，阴影部分的面积最大，最大值是2＋2.

二、能力提升

12.2022年某市一天中的6 h到14 h的温度变化曲线如图所示，其近似地满足函数y＝Asin(ωt＋φ)＋b的半个周期的图象，则该天8 h的温度大约为　　　　.

答案　13 ℃

解析　由题意得A＝×(30－10)＝10，

b＝×(30＋10)＝20.

由周期T＝2×(14－6)＝16，知＝16.

得ω＝.

故y＝10sin＋20.

将t＝6，y＝10代入得10sin＋20＝10，

即sin＝－1.

由于<φ<π，可得φ＝.

故y＝10sin＋20，t∈[6，14].

当t＝8时，y＝10sin＋20＝20－5≈13，

故该天8 h的温度大约为13 ℃.

13.已知函数f(x)＝sin－cos ωx，其中0<ω<3，函数f(x)图象的一个对称中心为.

(1)求f(x)的单调递增区间；

(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象.若g(α)＝－，其中α∈，求sin α的值.

解　(1)f(x)＝sin ωx－cos ωx－cos ωx

＝sin ωx－cos ωx＝sin，

又函数f(x)图象的一个对称中心为，

所以－＝kπ(k∈Z)，

即ω＝6(k∈Z).

因为0<ω<3，所以ω＝2，

即f(x)＝sin.

令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，

得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，

可得函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).

(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)＝sin的图象.

因为g(α)＝－，

所以sin＝－.

又因为α∈，所以cos＝.

所以sin α＝sin

＝sincos ＋cossin

＝－×＋×＝.

三、创新拓展

14.设函数f(x)＝sin，若方程f(x)＝a恰好有三个根，分别为x1，x2，x3(x1<x2<x3)，则2x1＋3x2＋x3的值为　　　　Ｗ.

答案　

解析　由x∈，得2x＋∈，画出函数f(x)的大致图象，如图所示.

由图可得当≤a<1时，方程f(x)＝a恰有三个根.

由2x＋＝，得x＝；

由2x＋＝，得x＝.

由图可知，点(x1，a)与点(x2，a)关于直线x＝对称；

点(x2，a)和点(x3，a)关于直线x＝对称，

所以x1＋x2＝，x2＋x3＝，

所以2x1＋3x2＋x3＝2(x1＋x2)＋(x2＋x3)＝.