章末检测卷(四)

(时间：120分钟　满分：150分)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为(　　)

A.(0，1)

B.[0，1]

C.(－∞，0)∪(1，＋∞)

D.(－∞，0]∪[1，＋∞)

答案　C

解析　由x2－x>0，得x>1或x<0.

2.函数f(x)＝2ax－1－1(a>0，且a≠1)恒过定点(　　)

A.(1，－1)   B.(1，1)

C.(0，1)   D.(0，－1)

答案　B

解析　由题意知x－1＝0，即x＝1时，f(x)＝1，

∴函数f(x)的图象恒过定点(1，1).

3.设函数f(x)＝log2x＋2x－3，则函数f(x)的零点所在的区间为(　　)

A.(0，1)   B.(1，2)

C.(2，3)   D.(3，4)

答案　B

解析　 因为函数f(x)＝log2x＋2x－3，

所以f(1)＝log21＋21－3＝－1<0，

f(2)＝log22＋22－3＝2>0，

所以根据函数零点存在定理可知在区间(1，2)内函数存在零点.

4.某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是(　　)

A.y＝ax＋b

B.y＝ax2＋bx＋c

C.y＝aex＋b

D.y＝aln x＋b

答案　B

解析　从所给的散点图可看出函数的变化趋势是先增后减，所以该函数模型是二次函数.

5.设a＝log2π，b＝logπ，c＝π－2，则(　　)

A.a>b>c   B.b>a>c

C.a>c>b   D.c>b>a

答案　C

解析　因为π>2，所以a＝log2π>1，b＝logπ<0.

因为π>1，所以0<π－2<1，即0<c<1，所以a>c>b.

6.对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是(　　)

答案　A

解析　若0<a<1，则y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，

又由函数y＝(a－1)x2－x开口向下，其图象的对称轴x＝在y轴左侧，排除C，D；

若a>1，则y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，

函数y＝(a－1)x2－x图象开口向上，且对称轴x＝在y轴右侧，

因此B项不正确，只有选项A满足.

7.某食品加工厂2021年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品.计划从2022年开始每年比上一年获利增加20%，问从哪一年开始这家加工厂年获利超过60万元(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)(　　)

A.2026年   B.2027年

C.2028年   D.2029年

答案　C

解析　设第n年获利y元，则y＝20×1.2n，n∈N*，2022年即第1年，

20×1.2n>60，

n>log1.23＝＝

＝≈6.03，

所以n≥7，

即从2028年开始这家加工厂年获利超过60万元.

8.已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为(　　)

A.a＜b＜c   B.c＜a＜b

C.a＜c＜b   D.c＜b＜a

答案　B

解析　由f(x)为偶函数得m＝0，所以a＝f(log0.53)＝2|log0.53|－1＝2log23－1＝2.

b＝f(log25)＝2log25－1＝4，c＝f(0)＝2|0|－1＝0，

函数f(x)＝2|x|－1在(0，＋∞)上为增函数，

所以c<a<b.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分 ，有选错的得0分)

9.设集合A＝{x|y＝lg x}，B＝{y|y＝lg x}，则下列关系中正确的有(　　)

A.A∪B＝B   B.A∩B＝∅

C.A＝B   D.A⊆B

答案　AD

解析　由题意知集合A＝{x|x>0}，B＝{y|y∈R}，

所以A⊆B，A∪B＝B.

10.若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象不正确的是(　　)

答案　ACD

解析　由函数y＝logax的图象过点(3，1)，得a＝3.

选项A中的函数y＝，则其函数图象不正确；

选项B中的函数为y＝x3，则其函数图象正确；

选项C中的函数为y＝(－x)3，则其函数图象不正确；

选项D中的函数为y＝log3(－x)，则其函数图象不正确.

11.设指数函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则下列等式中正确的有(　　)

A.f(x＋y)＝f(x)f(y)

B.f(x－y)＝

C.f(nx)＝nf(x)(n∈Q)

D.[f(xy)]n＝[f(x)]n[f(y)]n(n∈N*)

答案　AB

解析　f(x＋y)＝ax＋y＝axay＝f(x)f(y)，A正确；

f(x－y)＝ax－y＝axa－y＝＝，B正确；

f(nx)＝anx＝(ax)n，nf(x)＝nax≠(ax)n，C不正确；

[f(xy)]n＝(axy)n，[f(x)]n[f(y)]n＝(ax)n(ay)n＝(ax＋y)n≠(axy)n，D不正确.

12.设f(x)＝若f(x)－a＝0有三个不同的实数根，则实数a的取值可以是(　　)

A.   B.1 

C.－1   D.2

答案　AB

解析　由f(x)－a＝0，得a＝f(x).

在同一坐标系中作出y＝f(x)及y＝a的图象(如图).

由图象知当0<a≤1时，直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个交点，结合选项，实数a的值可以是和1.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)

13.已知f(x)为对数函数，f＝－2，则f＝________.

答案　

解析　设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，

则loga＝－2，

∴＝，即a＝，∴f(x)＝logx，

∴f()＝log＝log2()2＝log22＝.

14.若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：

那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确到0.04)为________.

答案　1.437 5(答案不唯一)

解析　由参考数据知f(1.406 25)·f(1.437 5)<0，且|1.437 5－1.406 25|＝0.031 25<0.04，所以方程的一个近似解可取为1.437 5.

15.若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________.

答案　1

解析　∵f(x)＝xln(x＋)为偶函数，

∴f(－x)＝f(x)，

∴(－x)ln(－x＋)

＝xln(x＋)，

∴－ln(－x＋)＝ln(x＋)，

∴ln(－x＋)＋ln(x＋)＝0，

∴ln[(＋x)(－x)]＝0，

∴ln a＝0，即a＝1.

16.基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为________天(ln 2≈0.69，保留两个有效数字).

答案　1.8

解析　因为R0＝3.28，T＝6，R0＝1＋rT，

所以r＝＝0.38，所以I(t)＝ert＝e0.38t.

设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t1天.

则I(t1)＝2I(0)，所以e0.38t1＝2，

所以0.38t1＝ln 2，

所以t1＝≈≈1.8.

四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)求下列各式的值：

(1)(0.25)－×[(－2)3]＋(－1)－1－2；

(2)lg －lg ＋lg 12.5－log89·log278.

解　(1)原式＝－(－2)2·[(－2)4]＋＋1－

＝－4×16＋1＝－.

(2)原式＝－lg 2＋lg －·

＝－lg 2＋lg 20－

＝－lg 2＋lg 2＋1－＝.

18.(12分)已知函数f(x)＝.

(1)求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)的最大值等于，求实数a的值.

解　(1)f(x)＝＝

所以f(x)在区间(0，＋∞)内单调递减，在区间(－∞，0)内单调递增.

(2)因为|x|－a的最小值为－a，

所以f(x)＝的最大值为，

则＝，故a＝2.

19.(12分)定义在R上的偶函数y＝f(x)在(－∞，0]上递增，函数f(x)的一个零点为－，求满足f(logx)≥0的x的取值范围.

解　因为－是函数的一个零点，

所以f＝0.

因为y＝f(x)是偶函数且在(－∞，0]上递增，所以当logx≤0，解得x≥1，

当logx≥－，解得x≤2，所以1≤x≤2.

由对称性可知，当logx>0，≤x＜1.

综上所述，实数x的取值范围是.

20.(12分)已知函数f(x)＝log(10－ax)，且f(3)＝－2.

(1)求函数f(x)的定义域；

(2)若不等式f(x)≥＋m在x∈[3，4]上恒成立，求实数m的取值范围.

解　(1)因为f(3)＝－2，

所以log(10－3a)＝－2.

所以10－3a＝4，解得a＝2.

所以f(x)＝log(10－2x).

要使函数f(x)有意义，应有10－2x>0，即x<5，故函数的定义域为(－∞，5).

(2)不等式f(x)≥＋m可化为不等式m≤log(10－2x)－.

令g(x)＝log(10－2x)－，

显然g(x)在区间[3，4]上单调递增，

因此g(x)在区间[3，4]上的最小值为g(3)＝log4－＝－，故m≤－，

故实数m的取值范围是m≤－.

21.(12分)已知函数f(x)＝4x－2x＋1－m.

(1)当m＝0 时，求函数f(x)的零点；

(2)若函数f(x)有两个零点，求实数m的取值范围.

解　(1)当m＝0时，f(x)＝4x－2x＋1＝(2x)2－2·2x＝2x(2x－2).

令f(x)＝0，可得2x＝2，即x＝1.

∴函数f(x)的零点是1.

(2)令2x＝t，显然t>0，则y＝t2－2t－m.

∵函数f(x)有两个零点，且t＝2x为单调函数，

∴方程t2－2t－m＝0在(0，＋∞)上有两解，

∴解得－1<m<0.

∴m的取值范围是(－1，0).

22.(12分)某化工厂每一天中污水污染指数f(x)与时刻x(时)的函数关系为f(x)＝|log25(x＋1)－a|＋2a＋1，x∈[0，24]，其中a为污水治理调节参数，且a∈(0，1).

(1)若a＝，求一天中哪个时刻污水污染指数最低；

(2)规定每天中f(x)的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数不超过3，则调节参数a应控制在什么范围内？

解　(1)因为a＝，

则f(x)＝＋2≥2.

当f(x)＝2时，log25(x＋1)－＝0，

得x＋1＝25＝5，

即x＝4.所以一天中早上4点该厂的污水污染指数最低.

(2)设t＝log25(x＋1)，

则当0≤x≤24时，0≤t≤1.

设g(t)＝|t－a|＋2a＋1，t∈[0，1]，

则g(t)＝

显然g(t)在[0，a]上是减函数，在(a，1]上是增函数，

则f(x)max＝max{g(0)，g(1)}，

因为g(0)＝3a＋1，g(1)＝a＋2，

则有

解之得a≤.

又a∈(0，1)，故调节参数a应控制在内.