【最新版】高中数学（新教材人教版）必修第一册培优课　三角函数中的参数问题【习题+课件】

培优课　三角函数中的参数问题

含有参数的三角函数问题，一般属于逆向型思维问题，正确利用三角函数的性质解答此类问题，是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提的，解答时通常将方程的思想与待定系数法相结合.本文结合最近几年高考考查模式，对求解参数问题进行分类解析.

类型一　定义域与最值中的参数

例1 若函数y＝a－bcos x(b>0)的最大值为，最小值为－，求函数y＝－4acos bx的最值和最小正周期.

解　∵y＝a－bcos x(b>0)，

∴ymax＝a＋b＝，ymin＝a－b＝－.

由解得

∴y＝－4acos bx＝－2cos x，

所以函数y＝－4acos bx的最大值为2，最小值为－2，最小正周期为2π.

类型二　涉及三角函数图象的参数求解

例2 已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)的图象与x轴相交的两相邻点的坐标为和，且过点(0，－3).

(1)求f(x)的解析式；

(2)求满足f(x)≥的x的取值范围.

解　(1)由题意可得f(x)的周期为

T＝－＝＝，所以ω＝，

得f(x)＝Atan，它的图象过点，

所以tan＝0，即tan＝0，

所以＋φ＝kπ(k∈Z)，得φ＝kπ－，k∈Z，

又|φ|<，所以φ＝－，

于是f(x)＝Atan，

它的图象过点(0，－3)，

所以Atan＝－3，得A＝3.

所以f(x)＝3tan.

(2)因为3tan≥，

所以tan≥.

则kπ＋≤x－<kπ＋，k∈Z，

解得＋≤x<＋，k∈Z.

所以满足f(x)≥的x的取值范围是(k∈Z).

类型三　利用三角函数对称性求参数

例3 已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且关于中心对称 ，则下列结论正确的是(　　)

A.f(1)<f(0)<f(2) B.f(0)<f(2)<f(1)

C.f(2)<f(0)<f(1) D.f(2)<f(1)<f(0)

答案　B

解析　因为f(x)的最小正周期为π，

所以T＝＝π，

得ω＝2，则f(x)＝sin(2x＋φ).

又f(x)关于中心对称，

∴2×＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝－＋kπ，k∈Z，

又|φ|<，

∴取k＝0，得φ＝－，

则f(x)＝sin.

由于f(x)的图象关于x＝对称，

则f(2)＝f.

令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，

解得x∈，k∈Z，

故f(x)在上单调递增.

又0<－2<1，

所以0，－2，1

都在区间内，

故f(0)<f＝f(2)<f(1).

类型四　根据单调性求参数

例4 已知函数y＝sin(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围是________.

答案　

解析　函数f(x)＝sin(ω>0)在区间上单调递增，

当－<x<时，

－＋<ωx＋<＋，

∵当x＝0时，ωx＋＝，

由于函数y＝sin(ω>0)在区间上单调递增，

∴解得ω≤，

∵ω>0，∴0<ω≤，

因此，ω的取值范围是.