培优课　集合中的创新问题

集合中创新问题的类型有：(1)新定义概念；(2)新定义性质；(3)新定义运算.

解决集合的创新问题一般从要紧扣新概念，新性质或新运算进行推理论证，把问题转化为我们熟知的问题来解决.解决此类问题的通性通法可归纳为三个步骤：

提取——确定解题方向；

加工——探求解题方法；

输出——转化进而解题.

类型一　新定义集合的概念

例1 设全集U＝{1，2，3}，集合A，B(A≠B)都是U的子集，若A∩B＝{1}，则称A，B为“理想配集”，记作(A，B)，(A，B)和(B，A)是相同的“理想配集”，则这样的“理想配集”(A，B)有(　　)

A.3种   B.4种

C.7种   D.8种

答案　B

解析　由A∩B＝{1}可知，1这个元素在集合A和B中，且A≠B，则集合A，B可能是{1}，{1，2}，{1，3}，{1，2，3}，所以讨论满足条件的集合A和B可能的情况.

因为(A，B)和(B，A)是相同的“理想配集”，所以集合A，B的可能情况有：

①A＝{1}，B＝{1，2}；

②A＝{1}，B＝{1，3}；

③A＝{1}，B＝{1，2，3}；

④A＝{1，2}，B＝{1，3}.所以这样的(A，B)有4种.

思维升华　本题主要考查阅读与理解、信息迁移、分析问题和解决问题的能力.本题解题的关键是通过题目信息正确理解“理想配集”的含义.

类型二　新定义集合的性质

例2 非空集合A具有下列性质：①若x，y∈A，则∈A；②若x，y∈A，则x＋y∈A，下列判断一定成立的是(　　)

(1)－1∉A；(2)∈A；(3)若x，y∈A，则xy∈A；(4)若x，y∈A，则x－y∉A

A.(1)(3)   B.(1)(4)

C.(1)(2)(3)   D.(2)(3)(4)

答案　C

解析　对于(1)，若－1∈A，则＝1∈A，因此－1＋1＝0∈A；

而对于x＝－1∈A，y＝0∈A时，显然无意义，不满足∈A，

所以－1∉A，故(1)正确；

对于(2)，若x≠0且x∈A，则1＝∈A，

∴2＝1＋1∈A，3＝2＋1∈A，

依此类推可得知，任意n∈N*，n∈A，

∴2 022∈A，2 023∈A，∴∈A，(2)正确；

对于(3)，若x，y∈A，则x≠0且y≠0，由(2)可知，1∈A，

则∈A，所以，xy＝∈A，(3)正确；

对于(4)，由(2)得，1，2∈A，取x＝2，y＝1，

则x－y＝1∈A，所以(4)错误.

类型三　新定义集合的运算

例3 设集合S＝{A0，A1，A2，A3，A4，A5}，在S上定义运算“”为：AiAj＝Ak，其中k为i＋j被4除的余数，i，j＝0，1，2，3，4，5.则满足关系式(xx)A2＝A0的x(x∈S)的个数为________.

答案　3

解析　当x＝A0时 ，(xx)A2＝(A0A0)A2＝A0A2＝A2≠A0；

当x＝A1时，(xx)A2＝(A1A1)A2＝A2A2＝A0；

当x＝A2时，(xx)A2＝(A2A2)A2＝A0A2＝A2≠A0；

当x＝A3时，(xx)A2＝(A3A3)A2＝A2A2＝A 0；

当x＝A4时，(xx)A2＝(A4A4)A2＝A0A2＝A2≠A0；

当x＝A5时，(xx)A2＝(A5A5)A2＝A2A2＝A0.

故满足关系式(xx)A2＝A0的x(x∈S)的个数为3.

思维升华　有关定义“运算”的问题，在理解运算法则的基础上，试图去寻求运算规律，并进行推理.