人教A版 (2019)必修 第一册3.4 函数的应用（一）习题课件ppt

培优课　分段函数的应用

分段函数是一类重要的函数，在数学教学和评价测试中占有重要地位，以分段函数为载体是历年高考命题的热点，常见的命题视角主要有以下几个方面：

类型一　分段函数的求值

先确定要求值的自变量属于哪一段，然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止.反过来，若已知函数值求字母的取值，应对字母的取值范围分类讨论，代入解方程，并检验所求的值是否在所讨论的区间内.

例1 (1)已知函数f(x)＝

则f(f(1))＝(　　)

A.－   B.2 

C.4   D.11

(2)已知函数f(x)＝若f(x)＝5，则x的值是(　　)

A.－2   B.2或－ 

C.2或－2   D.－2或－

答案　(1)C　(2)A

解析　(1)由题意得f(1)＝12＋2＝3>2.

故f[f(1)]＝f(3)＝3＋＝4.

(2)由题意，当x>0时，－2x＝5，

得x＝－(舍).

当x≤0，f(x)＝x2＋1＝5，则x＝±2，

又x≤0，所以x＝－2.

类型二　分段函数与不等式

在分段函数的前提下，求某条件下自变量的取值范围的方法.先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围，再求它们的并集.

例2 已知函数f(x)＝求使f(x)<2成立的x的值组成的集合.

解　由题意可得

或

由解得1≤x<；

由解得x<－或<x<1.

综上所述，使f(x)<2成立的x的取值集合为.

类型三　分段函数的图象及应用

作分段函数的图象时，定义域分界点处的函数取值情况决定着图象在分界点(关键点)处的断开或连接.运用分段函数的图象求自变量或参数范围问题时，一般先画出分段函数的图象，观察在相应区间上函数图象与相应直线相交的交点横坐标的范围，再列出函数满足的不等式，从而解出参数范围.

例3 对任意实数a，b定义运算“⊗”；a⊗b＝设f(x)＝(x2－1) ⊗ (4＋x)，若函数y＝f(x)＋k的图象与x轴恰有三个不同的交点，则实数k的取值范围是(　　)

A.(－2，1)   B.[0，1]

C.[－2，0)   D.[－2，1)

答案　D

解析　由x2－1－(4＋x)≥1，得x≤－2，或x≥3.

∴f(x)＝

由f(x)＋k＝0，得－k＝f(x).

在同一坐标系中，作函数y＝f(x)的图象与直线y＝－k(如图).

根据函数的图象知，当－1<－k≤2时，y＝f(x)与y＝－k的图象恰有三个交点.

故当－2≤k<1时，函数y＝f(x)＋k的图象与x轴恰有三个不同交点.

类型四　分段函数的实际应用

分段函数的实际应用问题注意关注两点：

(1)日常生活中的出租车计费、自来水费、电费、个人所得税的收取等，都是最简单的分段函数.

(2)求解分段函数模型问题应明确分段函数的“段”，一定要分得合理.

例4 《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过5 000元的部分不必纳税，超过5 000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算：

某职工每月收入为x元，应交纳的税额为y元.

(1)请写出y关于x的函数关系式；

(2)有一职工八月份交纳了54元的税款，请问该职工八月份的工资是多少？

解　(1)由题意，

得y＝

(2)∵该职工八月份交纳了54元的税款，

∴5 000<x≤8 000，(x－5 000)×3%＝54，

解得x＝6 800.

故这名职工八月份的工资是6 800元.