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数学必修 第一册3.4 函数的应用（一）课前预习课件ppt
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这是一份数学必修 第一册3.4 函数的应用（一）课前预习课件ppt，文件包含34函数的应用一pptx、34函数的应用一DOCX等2份课件配套教学资源，其中PPT共50页， 欢迎下载使用。
1.理解函数是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.2.在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律.
通过本节课的学习，使学生体会常见函数的变化异同，提升学生数学抽象、数学建模、数据分析等素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
一、常见函数模型1.问题 在现实生活、生产中，有许多问题蕴含着量与量之间的关系，可通过建立变量之间的函数关系并对所得函数进行研究的方式，使问题得到解决.我们已经学过的函数模型有哪些？提示 一次函数、二次函数、幂函数、分段函数.
2.填空 常见的几种函数模型
二、解决函数实际应用问题的基本步骤1.问题 解决函数实际应用问题的关键是将实际问题转化为数学问题，即建立函数模型，通过对函数性质的研究解决数学问题，从而达到解决实际问题的目的.解决函数实际应用问题的一般步骤是怎样的？提示 审题；建模；求解模型；还原(回答实际问题).
2.解函数应用题步骤用框图表示如图：
3.思考辨析 正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”.(1)利润＝销售单价×销售量.( )(2)实际应用问题中自变量的取值范围由所得的函数解析式唯一确定.( )(3)解函数应用题的基本步骤可概括为“四步八字”，即“审题、建模、解模、还原”.( )
y＝20－x(0
互动合作研析题型 关键能力提升
例1 为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费用y(元)的关系如图所示.
(1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式；(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜.
当x＝90时，y1＝y2，两种卡收费一致；当0≤x<90时，y1>y2，使用便民卡便宜；当x>90时，y1
训练1 某长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李.若超过规定的质量，则需购买行李票，行李费用y(元)是行李质量x(kg)的一次函数，其图象如图所示.
(1)根据图象数据，求y与x之间的函数关系式；(2)问旅客最多可免费携带行李的质量是多少？解 (1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0).由图象可知，当x＝60时，y＝6；当x＝80时，y＝10.
(2)根据题意，当y＝0时，0≤x≤30.所以旅客最多可免费携带行李的质量为30 kg.
例2 (1)某药厂研制出一种新型疫苗，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y＝xα(α为常数)，其中x不超过5万元.已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为________万元.解析 由已知得，当投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y＝xα中，即3α＝27，解得α＝3，故函数关系式为y＝x3.所以当x＝5时，y＝125.
题型二 幂函数与二次函数模型
(2)某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱.①求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；②求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；③当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解 ①根据题意，得y＝90－3(x－50)，化简，得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N).②因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润.所以w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9 600(50≤x≤55，x∈N).③因为w＝－3x2＋360x－9 600＝－3(x－60)2＋1 200，所以当x<60时，w随x的增大而增大.又50≤x≤55，x∈N，所以当x＝55时，w有最大值，最大值为1 125.所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1 125元.
1.幂函数应用的常见问题(1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数.(2)根据题意直接列出相应的函数关系式.2.利用二次函数求最值的方法及注意点(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题.(2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符.
训练2 A，B两城相距100 km，在两城之间距A城x km处的D地建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市的距离不得少于10 km.已知每个城市的供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25.A城供电量为20亿千瓦时/月，B城为10亿千瓦时/月.(1)把A，B两城月供电总费用y(万元)表示成x(km)的函数，并求定义域.(2)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用最小？解 (1)由题意，设A城的月供电费用为y1，则y1＝λ×20x2.设B城的月供电费用为y2，则y2＝λ×10×(100－x)2，所以A、B两城月供电总费用y＝λ×20x2＋λ×10(100－x)2.又λ＝0.25，
题型三 分段函数模型的应用
(1)写出年利润W(x)(万元)关于年产量x(万台)的函数解析式(年利润＝年销售收入－总成本).解 由W(x)＝x·G(x)－100x－50，及题设.
(2)每年产量为多少万台时？该公司获得的利润最大.解 当0
即x＝30时取等号.综上，(ⅰ)当25≤m<30时，当年产量为m万台时，该公司获得最大利润；(ⅱ)当m≥30时，当年产量为30万台时，该公司获得最大利润.
1.分段函数模型应用的关键是合理分段，不重不漏，把各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段变量的范围，特别是端点值.2.应用分段函数时注意两点：(1)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.(2)求分段函数的值域(最值)：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论.
(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表达式；解 由已知得，
(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值.解 由(1)知，①当0≤t≤10时，y＝－t2＋10t＋1 200＝－(t－5)2＋1 225，函数图象开口向下，对称轴为t＝5，该函数在t∈[0，5]上单调递增，在t∈(5，10]上单调递减，∴ymax＝1 225(当t＝5时取得)，ymin＝1 200(当t＝0或10时取得).②当10
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
1.已知某炮弹飞行高度h(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系式为h＝130t－5t2，则炮弹飞行高度高于240 m的时间长为( )A.22 s B.23 sC.24 s D.25 s解析 根据题意可得130t－5t2>240，解得2
3.小婷经营一花店，每天的房租、水电等固定成本为100元，每束花的进价为6元，若日均销售量Q(束)与销售单价x(元)的关系为Q＝100－5x，则当该店每天获利最大时，每束花应定价为( )A.15元 B.13元C.11元 D.10元解析 设每天获利y元，则y＝(100－5x)·(x－6)－100＝－5(x－13)2＋145，由x>0，Q＝100－5x≥0，得0
5.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )
分钟 分钟分钟 分钟解析 根据图象，把(t，p)的三组数据(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)分别代入函数关系式，
6.生产某机器的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝x2－75x，若每台机器售价为25万元，则该厂获得最大利润时生产的机器为________台.解析 设生产x台，获得利润f(x)万元，则f(x)＝25x－y＝－x2＋100x＝－(x－50)2＋2 500，故当x＝50时，获得利润最大.
7.某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为________________________.
解析 设解析式为y＝kx＋b(k≠0)，其中x为每件产品的定价(单位：元)，y为每天售出的件数(单位：件)，
8.某市出租车收费标准如下：起步价为8元 ，起步里程为3千米(不超过3千米按起步价付费)；超过3千米但不超过8千米时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8千米时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.若某人乘坐出租车行驶了5.6千米，则需付车费________元，若某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此出租车行驶了________千米.
解析 设出租车行驶x千米时，付费y元，
当x＝5.6时，y＝8＋2.15×2.6＋1＝14.59(元).由y＝22.6，知x>8，由8＋2.15×5＋2.85(x－8)＋1＝22.6，解得x＝9.
9.某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示.
请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？解 由题表中数据可知，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶，设在进价的基础上增加x元后，日均销售利润为y元，在此情况下的日均销售量为480－40(x－1)＝(520－40x)(桶).
令520－40x>0，则0
(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，怎么分配资金能使投资获得最大收益，最大收益是多少万元？解 设投资稳健型产品a万元，则投资风险型产品(20－a)万元.
所以当t＝2，即a＝16时，y取得最大值，ymax＝3.故当投资稳健型产品16万元，风险型产品4万元时，可使投资获得最大收益，最大收益是3万元.
11.一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示.某天0时到6时，该水池的蓄水量如图丙所示.
给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水.则一定正确的是( )A.① B.①② C.①③ D.①②③
解析 由甲乙两图知，出水的速度是进水的2倍，所以0点到3点只进水不出水；3点到4点水量减少，则一个进水口进水，另一个关闭，出水口出水；4点到6点水量不变，可能是不进水不出水或两个进水口进水，一个出水口出水，所以只有①正确，故选A.
12.用一根长为12 m的铁丝弯成一个矩形的铁框架，则能弯成的框架的最大面积是________m2.解析 设矩形的一边长为x m，
当x＝3时，S最大＝9.
(1)求L(x)的函数表达式；
(2)当投入的生产成本为多少时，这条生产线获得的利润最大？最大利润是多少？
所以L(x)max＝L(2)＝74；当2
14.某信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密的方法是英文的a，b，c，…，z的26个字母(不论大小写)依次对应1，2，3，…，26这26个自然数.
解析 由已知得加密变换公式为
又∵明文译成的密文是shxc，设密文s对应的明文为α，则f(α)＝19，
同理可以确定出h对应的明文为，x对应的明文为v，c对应的明文为e，∴原来的明文是lve.
1.理解函数是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.2.在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律.
通过本节课的学习，使学生体会常见函数的变化异同，提升学生数学抽象、数学建模、数据分析等素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
一、常见函数模型1.问题 在现实生活、生产中，有许多问题蕴含着量与量之间的关系，可通过建立变量之间的函数关系并对所得函数进行研究的方式，使问题得到解决.我们已经学过的函数模型有哪些？提示 一次函数、二次函数、幂函数、分段函数.
2.填空 常见的几种函数模型
二、解决函数实际应用问题的基本步骤1.问题 解决函数实际应用问题的关键是将实际问题转化为数学问题，即建立函数模型，通过对函数性质的研究解决数学问题，从而达到解决实际问题的目的.解决函数实际应用问题的一般步骤是怎样的？提示 审题；建模；求解模型；还原(回答实际问题).
2.解函数应用题步骤用框图表示如图：
3.思考辨析 正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”.(1)利润＝销售单价×销售量.( )(2)实际应用问题中自变量的取值范围由所得的函数解析式唯一确定.( )(3)解函数应用题的基本步骤可概括为“四步八字”，即“审题、建模、解模、还原”.( )
y＝20－x(0
互动合作研析题型 关键能力提升
例1 为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费用y(元)的关系如图所示.
(1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式；(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜.
当x＝90时，y1＝y2，两种卡收费一致；当0≤x<90时，y1>y2，使用便民卡便宜；当x>90时，y1
训练1 某长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李.若超过规定的质量，则需购买行李票，行李费用y(元)是行李质量x(kg)的一次函数，其图象如图所示.
(1)根据图象数据，求y与x之间的函数关系式；(2)问旅客最多可免费携带行李的质量是多少？解 (1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0).由图象可知，当x＝60时，y＝6；当x＝80时，y＝10.
(2)根据题意，当y＝0时，0≤x≤30.所以旅客最多可免费携带行李的质量为30 kg.
例2 (1)某药厂研制出一种新型疫苗，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y＝xα(α为常数)，其中x不超过5万元.已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为________万元.解析 由已知得，当投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y＝xα中，即3α＝27，解得α＝3，故函数关系式为y＝x3.所以当x＝5时，y＝125.
题型二 幂函数与二次函数模型
(2)某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱.①求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；②求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；③当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解 ①根据题意，得y＝90－3(x－50)，化简，得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N).②因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润.所以w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9 600(50≤x≤55，x∈N).③因为w＝－3x2＋360x－9 600＝－3(x－60)2＋1 200，所以当x<60时，w随x的增大而增大.又50≤x≤55，x∈N，所以当x＝55时，w有最大值，最大值为1 125.所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1 125元.
1.幂函数应用的常见问题(1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数.(2)根据题意直接列出相应的函数关系式.2.利用二次函数求最值的方法及注意点(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题.(2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符.
训练2 A，B两城相距100 km，在两城之间距A城x km处的D地建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市的距离不得少于10 km.已知每个城市的供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25.A城供电量为20亿千瓦时/月，B城为10亿千瓦时/月.(1)把A，B两城月供电总费用y(万元)表示成x(km)的函数，并求定义域.(2)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用最小？解 (1)由题意，设A城的月供电费用为y1，则y1＝λ×20x2.设B城的月供电费用为y2，则y2＝λ×10×(100－x)2，所以A、B两城月供电总费用y＝λ×20x2＋λ×10(100－x)2.又λ＝0.25，
题型三 分段函数模型的应用
(1)写出年利润W(x)(万元)关于年产量x(万台)的函数解析式(年利润＝年销售收入－总成本).解 由W(x)＝x·G(x)－100x－50，及题设.
(2)每年产量为多少万台时？该公司获得的利润最大.解 当0
即x＝30时取等号.综上，(ⅰ)当25≤m<30时，当年产量为m万台时，该公司获得最大利润；(ⅱ)当m≥30时，当年产量为30万台时，该公司获得最大利润.
1.分段函数模型应用的关键是合理分段，不重不漏，把各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段变量的范围，特别是端点值.2.应用分段函数时注意两点：(1)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.(2)求分段函数的值域(最值)：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论.
(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表达式；解 由已知得，
(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值.解 由(1)知，①当0≤t≤10时，y＝－t2＋10t＋1 200＝－(t－5)2＋1 225，函数图象开口向下，对称轴为t＝5，该函数在t∈[0，5]上单调递增，在t∈(5，10]上单调递减，∴ymax＝1 225(当t＝5时取得)，ymin＝1 200(当t＝0或10时取得).②当10
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
1.已知某炮弹飞行高度h(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系式为h＝130t－5t2，则炮弹飞行高度高于240 m的时间长为( )A.22 s B.23 sC.24 s D.25 s解析 根据题意可得130t－5t2>240，解得2
3.小婷经营一花店，每天的房租、水电等固定成本为100元，每束花的进价为6元，若日均销售量Q(束)与销售单价x(元)的关系为Q＝100－5x，则当该店每天获利最大时，每束花应定价为( )A.15元 B.13元C.11元 D.10元解析 设每天获利y元，则y＝(100－5x)·(x－6)－100＝－5(x－13)2＋145，由x>0，Q＝100－5x≥0，得0
5.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )
分钟 分钟分钟 分钟解析 根据图象，把(t，p)的三组数据(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)分别代入函数关系式，
6.生产某机器的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝x2－75x，若每台机器售价为25万元，则该厂获得最大利润时生产的机器为________台.解析 设生产x台，获得利润f(x)万元，则f(x)＝25x－y＝－x2＋100x＝－(x－50)2＋2 500，故当x＝50时，获得利润最大.
7.某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为________________________.
解析 设解析式为y＝kx＋b(k≠0)，其中x为每件产品的定价(单位：元)，y为每天售出的件数(单位：件)，
8.某市出租车收费标准如下：起步价为8元 ，起步里程为3千米(不超过3千米按起步价付费)；超过3千米但不超过8千米时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8千米时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.若某人乘坐出租车行驶了5.6千米，则需付车费________元，若某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此出租车行驶了________千米.
解析 设出租车行驶x千米时，付费y元，
当x＝5.6时，y＝8＋2.15×2.6＋1＝14.59(元).由y＝22.6，知x>8，由8＋2.15×5＋2.85(x－8)＋1＝22.6，解得x＝9.
9.某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示.
请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？解 由题表中数据可知，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶，设在进价的基础上增加x元后，日均销售利润为y元，在此情况下的日均销售量为480－40(x－1)＝(520－40x)(桶).
令520－40x>0，则0
(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，怎么分配资金能使投资获得最大收益，最大收益是多少万元？解 设投资稳健型产品a万元，则投资风险型产品(20－a)万元.
所以当t＝2，即a＝16时，y取得最大值，ymax＝3.故当投资稳健型产品16万元，风险型产品4万元时，可使投资获得最大收益，最大收益是3万元.
11.一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示.某天0时到6时，该水池的蓄水量如图丙所示.
给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水.则一定正确的是( )A.① B.①② C.①③ D.①②③
解析 由甲乙两图知，出水的速度是进水的2倍，所以0点到3点只进水不出水；3点到4点水量减少，则一个进水口进水，另一个关闭，出水口出水；4点到6点水量不变，可能是不进水不出水或两个进水口进水，一个出水口出水，所以只有①正确，故选A.
12.用一根长为12 m的铁丝弯成一个矩形的铁框架，则能弯成的框架的最大面积是________m2.解析 设矩形的一边长为x m，
当x＝3时，S最大＝9.
(1)求L(x)的函数表达式；
(2)当投入的生产成本为多少时，这条生产线获得的利润最大？最大利润是多少？
所以L(x)max＝L(2)＝74；当2
14.某信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密的方法是英文的a，b，c，…，z的26个字母(不论大小写)依次对应1，2，3，…，26这26个自然数.
解析 由已知得加密变换公式为
又∵明文译成的密文是shxc，设密文s对应的明文为α，则f(α)＝19，
同理可以确定出h对应的明文为，x对应的明文为v，c对应的明文为e，∴原来的明文是lve.
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