人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式图片课件ppt

第二课时　不等式的性质

课标要求　1.掌握不等式的基本性质.2.运用不等式的性质解决有关问题.

素养要求　通过学习不等式的性质及运用不等式的性质解决问题，提升数学抽象、逻辑推理及数学运算素养.

1.问题　在解不等式x－3>2时，通过移项得x>5，其理论依据是什么？

提示　不等式两边同加上一个数不等号方向不变.

2.问题　判断下列命题是否正确？

(1)如果a＝b，那么b＝a；

(2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c；

(3)如果a＝b，那么a＋c＝b＋c；

(4)如果a＝b，那么ac＝bc，＝(c≠0).

提示　四个命题均正确，揭示了等式的基本性质.

3.思考　你能否类比问题2，猜想不等式的基本性质？并填写下列表格.

不等式的性质

温馨提醒　在应用性质4时，要特别注意c的符号.当c≠0时，有a>b⇒ac2>bc2；若没有“c≠0”这个条件，则“a>b⇒ac2>bc2”是错误的.

4.做一做　(1)设b<a，d<c，则下列不等式一定成立的是(　　)

A.a－c>b－d   B.ac>bd

C.a＋c>b＋d   D.a＋d>b＋c

(2)(多选)已知a>b>0，则(　　)

A.ac2>bc2   B.a2>b2

C.>   D.a＋c>b＋c

答案　(1)C　(2)BD

解析　(1)由b<a，d<c，

利用性质5，得b＋d<a＋c，其它均不正确.

(2)A中，当c＝0时，ac2＝bc2，选项A不正确.

利用不等式的性质7与性质3知B，D项正确.

由a>b>0，知－＝<0，则<，

∴选项C错误.

5.思考辨析　正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”.

(1)若>1，则a>b.(×)

(2)一个不等式的两边同加上或同乘同一个数， 不等号方向不变.(×)

(3)当x>－3时，一定有<－.(×)

(4)若ab>0，则a>b⇔<.(√)

题型一　不等式性质的理解与判断

例1 (1)(多选)若<<0，则下面四个不等式成立的有(　　)

A.|a|>|b|   B.a<b

C.a＋b<ab   D.a3>b3

(2)给出下列命题：

①若a>b，>，则a>0，b<0；

②若a>b，c>d，则ac>bd；

③对于正数a，b，m，若a<b，则<.

其中是真命题的序号是________.

答案　(1)CD　(2)①③

解析　(1)由<<0可得b<a<0，

从而|a|<|b|，A，B均不正确；

a＋b<0，ab>0，则a＋b<ab成立，C正确；

a3>b3，D正确.

(2)⇒ab<0.

∵a>b，∴a>0且b<0，故①为真命题.

对于②，若a＝0，b＝－1，c＝2，d＝－2，则ac＝0<bd＝2，②错误；

对于③，对于正数a，b，m，

若a<b，则am<bm，

所以am＋ab<bm＋ab，

所以0<a(b＋m)<b(a＋m)，

又>0，所以<，③正确.

综上，真命题的序号是①③.

思维升华　利用不等式的性质判断命题真假的注意点：

(1)要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能想当然随意捏造性质.

(2)采用特殊值法进行排除，注意取值一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算.

训练1 设a>b>0，c<d<0，则下列不等式中一定成立的是(　　)

A.ac>bd   B.<

C.>   D.ac2<bd2

答案　B

解析　a>b>0，c<d<0，

即为－c>－d>0，

则有－ac>－bd>0，即ac<bd<0，故A错；

由cd>0，又ac<bd<0，

两边同乘，得<，则B对，C错；

由－c>－d>0，－ac>－bd>0，

可得ac2>bd2，则D错.

题型二　利用不等式的性质证明不等式

例2 已知c>a>b>0，求证：>.

证明　法一　－

＝

＝＝，

∵c>a>b>0，

∴a－b>0，c－a>0，c－b>0，

∴>.

法二　因为c>a>b>0，

所以0<c－a<c－b，

所以>>0，

又因为a>b>0，所以>.

思维升华　1.利用不等式的性质对不等式进行证明其实质就是利用性质对不等式进行变形，变形要等价，同时要注意性质适用的前提条件，不可省略条件.

2.用作差法证明不等式和用作差法比较大小的方法原理一样，变形后判断符号时要注意充分利用题目中的条件.

训练2 (1)已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac<e－bc.

(2)a<b<0，求证：<.

证明　(1)因为a>b，c>0，

所以ac>bc，即－ac<－bc.

又e>f，即f<e，

所以f－ac<e－bc.

(2)由于－＝＝，

∵a<b<0，∴b＋a<0，b－a>0，ab>0，

∴<0，

故<.

题型三　利用不等式的性质求范围

例3 已知1<a<6，3<b<4，求a－b，的取值范围.

解　∵3<b<4，∴－4<－b<－3.

∴1－4<a－b<6－3，即－3<a－b<3.

又<<，

∴<<，即<<2.

思维升华　1.利用不等式的性质求取值范围，要建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围.

2.同向不等式的两边可以相加，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围.

训练3 已知－<β<α<，求2α－β的取值范围.

解　∵－<α<，－<β<，

∴－<－β<，

∴－π<α－β<π.

又∵β<α，∴α－β>0，∴0<α－β<π，

又2α－β＝α＋(α－β)，

∴－<2α－β<π.

[课堂小结]

1.利用不等式的性质判断命题的真假时，一定要注意不等式成立的条件.

2.利用不等式的性质证明简单的不等式是否成立，实际上就是根据不等式的性质把不等式进行适当的变形，证明过程中注意不等式成立的条件.

3.不等式的性质解题的常见误区是忽视不等式性质的单向性或双向性，每条性质是否具有可逆性.

一、基础达标

1.已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是(　　)

A.a>b>－b>－a   B.a>－b>－a>b

C.a>－b>b>－a   D.a>b>－a>－b

答案　C

解析　由a＋b>0知，a>－b，∴－a<b<0.

又b<0，∴－b>0，∴a>－b>b>－a.

2.设a，b∈R，若a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是(　　)

A.a－b>0   B.a3＋b3>0

C.a2－b2<0   D.a＋b<0

答案　D

解析　本题可采用特殊值法，取a＝－2，b＝1.

则a－b<0，a3＋b3<0，a2－b2>0，a＋b＝－1<0.故A，B，C错误，D正确.

3.设x<a<0，则下列不等式一定成立的是(　　)

A.x2<ax<a2   B.x2>ax>a2

C.x2<a2<ax   D.x2>a2>ax

答案　B

解析　∵x<a<0，∴x2>a2.

∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax.

又ax－a2＝a(x－a)>0，∴ax>a2.

∴x2>ax>a2.

4.(多选)设a<b<0，则下列不等式中正确的是(　　)

A.>   B.ac<bc

C.|a|>－b   D.>

答案　ACD

解析　a<b<0，则>，选项A正确；

当c>0时，ac<bc，其余情况不成立，则选项B不正确；

|a|＝－a>－b，则选项C正确；

由－a>－b>0，可得>，则选项D正确.

5.若1<a<3，－4<b<2，那么a－|b|的范围是(　　)

A.－3<a－|b|≤3   B.－3<a－|b|<5

C.－3<a－|b|<3   D.1<a－|b|<4

答案　C

解析　∵－4<b<2，∴0≤|b|<4，

∴－4<－|b|≤0.

又∵1<a<3，∴－3<a－|b|<3.

6.不等式a>b和>同时成立的条件是________.

答案　a>0>b

解析　∵－＝，

∴a>b和>同时成立的条件是a>0>b.

7.若a<b<0，则与的大小关系是________.

答案　<

解析　－＝＝，

∵a<b<0，

∴a－b<0，则<0，<.

8.已知1<α<3，－4<β<2，若z＝α－β，则z的取值范围是________.

答案　

解析　∵1<α<3，∴<α<，

又－4<β<2，∴－2<－β<4.

∴－<α－β<，故－<z<.

9.判断下列各命题的真假，并说明理由.

(1)若a<b，c<0，则<；

(2)若ac3<bc3，则a>b；

(3)若a>b，且k∈N*，则ak>bk；

(4)若a>b，b>c，则a－b>b－c.

解　(1)∵a<b，不一定有ab>0，

∴>不一定成立，

∴推不出<，∴是假命题.

(2)当c>0时，c3>0，∴a<b，∴是假命题.

(3)当a＝1，b＝－2，k＝2时，显然命题不成立，∴是假命题.

(4)当a＝2，b＝0，c＝－3时，满足a>b，b>c这两个条件，但是a－b＝2<b－c＝3，

∴是假命题.

10.若a>b>0，c<d<0，e<0，求证>.

证明　由c<d<0，得－c>－d>0，

又a>b>0，

∴a－c>b－d>0，

则(a－c)2>(b－d)2>0，

因此<，

又e<0，

所以>.

二、能力提升

11.已知x>y>z，x＋y＋z＝0，则下列不等式中一定成立的是(　　)

A.xy>yz   B.xz>yz

C.xy>xz   D.x|y|>z|y|

答案　C

解析　因为x>y>z，x＋y＋z＝0，

所以3x>x＋y＋z＝0，3z<x＋y＋z＝0，

所以x>0，z<0.

所以由可得xy>xz.

12.若－1<a＋b<3，2<a－b<4，则b的取值范围是________.

答案　

解析　因为2<a－b<4，

所以－4<b－a<－2，

又－1<a＋b<3，

所以－5<(a＋b)＋(b－a)<1，

则－<b<.

13.下面是甲、乙、丙三位同学做的三个题目，请你看看他们做得对吗？如果不对，请指出错误的原因.

甲：因为－6<a<8，－4<b<2，

所以－2<a－b<6.

乙：因为2<b<3，所以 <<，

又因为－6<a<8，所以－2<<4.

丙：因为2<a－b<4，所以－4<b－a<－2.

又因为－2<a＋b<2，所以0<a<3，－3<b<0，

所以－3<a＋b<3.

解　甲同学做的不对，因为同向不等式具有可加性，但不能相减，甲同学对同向不等式求差是错误的.

乙同学做的不对，本题中只知道－6<a<8，不明确a值的正负.

故不能将<<与－6<a<8两边分别相乘，只有两边都是正数的同向不等式才能分别相乘.

丙同学做的不对.同向不等式两边可以相加，这种转化不是等价变形.

丙同学将2<a－b<4与－2<a＋b<2两边相加得0<a<3，

又将－4<b－a<－2与－2<a＋b<2两边相加得出－3<b<0，

又将该式与0<a<3两边相加得出－3<a＋b<3，

多次使用了这种转化，导致了a＋b范围的扩大.

三、创新拓展

14.某学习小组，调查鲜花市场价格得知，购买2枝玫瑰与1枝康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4枝玫瑰与5枝康乃馨所需费用之和小于22元.设购买2枝玫瑰花所需费用为A元，购买3枝康乃馨所需费用为B元，则A，B的大小关系是________.

答案　A>B

解析　法一　设每枝玫瑰x元，每枝康乃馨y元，

由题意得且2x＝A，3y＝B，

整理得x＝，y＝，

将A＋>8乘以－2与2A＋B<22相加，解得B<6，

又A>8－，则A>6，故A>B.

法二　由题意得且2x＝A，3y＝B，

设A－B＝2x－3y

＝m(2x＋y)＋n(4x＋5y)，

则解得

因此2x－3y＝(2x＋y)－(4x＋5y)

>＋＝0，

因此2x－3y>0，即2x>3y，

结合2x＝A，3y＝B，可知A>B.