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人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质图文ppt课件
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这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质图文ppt课件，文件包含第一课时不等关系与不等式pptx、第一课时不等关系与不等式DOCX等2份课件配套教学资源，其中PPT共45页， 欢迎下载使用。
1.通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系.2.了解不等式(组)的实际背景.
通过运用不等式(组)表示实际问题的不等关系及比较两个实数的大小提升数学抽象及数学运算素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
一、不等关系与不等式1.问题 在日常生活中，我们经常看到下列标志：
(1)你知道各图中的标志有何作用？其含义是什么吗？提示 ①限制高度：装载高度h不得超过3.5 m；②最低限速：限制行驶时速v不得低于50 km/h；③限制质量：装载总质量M不得超过10 t；④时间范围：7时30分到10时.
(2)你能用一个数学式子表示上述关系吗？提示 ①h≤3.5；②v≥50；③M≤10；④7.5≤t≤10.
2.填空 (1)在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和__________，常用________来研究含有不等关系的问题.(2)用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或________，以表示不等关系.“a≠b”应包含“a>b”或“a
3.做一做 某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h，正常行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于50 m.用不等式表示为( )
二、两个实数的大小关系1.问题 (1)对于两个实数a，b，其大小关系有哪几种可能？提示 三种关系：a>b，a＝b，ab；反之也成立.(3)如果a－b是负数，那么这两个实数的大小关系如何？反之成立吗？提示 若a－b是负数，则a
3.做一做 已知x<1，则x2＋2与3x的大小关系为____________.解析 x2＋2－3x＝(x－1)(x－2).由x<1，知(x－1)(x－2)>0，∴x2＋2－3x>0，故x2＋2>3x.
(1)根据抽象的图形，你能从中得到一个什么样的不等关系？提示 正方形ABCD的面积a2＋b2>2ab.(2)当中间的四边形EFGH缩为一点，即四个直角三角形变为等腰直角三角形时，可以得到什么结论？结合问题(1)你有什么发现？提示 a2＋b2＝2ab，a2＋b2≥2ab.
2.填空 一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥________，当且仅当________时，等号成立.
3.做一做 已知x，y∈R，且x2＋y2＝4，则xy的最大值是________.解析 由于x2＋y2≥2xy，∴2xy≤4，故xy的最大值为2.
4.思考辨析 正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”.(1)a不小于b可以表示为a>b.( )提示 a不小于b应表示为a≥b.(2)若x－y>0，我们就说x大于y.( )(3)代数式x2＋1一定大于代数式2x.( )提示 ∵x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，∴x2＋1≥2x，故错误.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
例1 某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式(组).解 设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆，
题型一 用不等式(组)表示不等关系
用不等式(组)表示不等关系的步骤：(1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语.(2)适当的设未知数表示变量.(3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式(组).
训练1 如图，在一个面积小于350 m2的矩形地基中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长L(单位：m)大于宽W(单位：m)的4倍.试用不等式组表示上面的不等关系.
题型二 实数(式)的比较大小
1.作差法比较两个实数(代数式)大小的步骤第一步：作差并变形，通常将差化为完全平方和或多个因式积的形式.第二步：判断差值与零的大小关系.第三步：得出结论.2.对于两个正值，也可采用作商的方法，比较商与1的大小.
训练2 比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小.解 (2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)
∴(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)>0，∴2x2＋5x＋3>x2＋4x＋2.
题型三 重要不等式a2＋b2≥2ab的应用
例3 已知a>0，b>0，证明a3＋b3≥ab2＋a2b.证明 a3＋b3－(ab2＋a2b)＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－ab(a＋b)＝(a＋b)(a2－2ab＋b2).∵a>0，b>0，且a2＋b2≥2ab，∴a＋b>0，a2＋b2－2ab≥0.∴a3＋b3－(ab2＋a2b)≥0，故a3＋b3≥ab2＋a2b.
1.比较两数的大小或证明不等式，最基本的方法是作差比较法，其关键是作差变形，判断差的符号＋b2≥2ab对于任意实数a，b均成立，当且仅当a＝b时，取“＝”.
证明 法一 利用a2＋b2≥2ab.∵a>0，
当且仅当a＝1时，等号成立.
1.用不等式(组)表示不等关系，要注意不等式与不等关系的对应，不重、不漏，尤其要检验实际问题中变量的取值范围.
3.作差法比较实数的大小一般步骤是：作差→恒等变形→判断差的符号→下结论.作差后变形是比较大小的关键一步.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
1.下面能表示“a与b的和是非正数”的不等式为( )A.a＋b<0 B.a＋b>0C.a＋b≤0 D.a＋b≥0解析 a与b的和是非正数，即a＋b≤0.
2.大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车和货的总重量T满足关系为( )A.T<40 B.T>40C.T≤40 D.T≥40解析 “限重40吨”用不等式表示为T≤40.
3.设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是( )A.M>N B.M＝NC.M
5.若m＝3x2－x＋1，n＝2x2＋x－1，则m与n的大小关系是( )A.m>n B.m≥nC.m0，因此m>n.
6.不等式a2＋4≥4a中，等号成立的条件为________.解析 令a2＋4＝4a，则a2－4a＋4＝0，∴a＝2.
7.已知a，b∈R，且ab≠0，则ab－a2________b2(填“<”，“>”或“＝”).
8.一辆汽车原来每天行驶x km，如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2 200 km，写出不等式为____________________；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为_________________.
8(x＋19)>2 200
解析 由题意知，汽车原来每天行驶x km，8天内它的行程超过2 200 km，则8(x＋19)>2 200.
若每天行驶的路程比原来少12 km，
10.已知a，b，c满足b＋c＝3a2－4a＋6，b－c＝a2－4a＋4，比较a，b，c的大小.解 ∵b－c＝a2－4a＋4＝(a－2)2≥0，∴b≥c.
∴c>a.∴b≥c>a.
11.(多选)下列不等式，其中恒成立的不等式为( )
解析 ∵a2＋3－2a＝(a－1)2＋2>0，∴a2＋3>2a，即A正确；
a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，知C错误；
12.如图，在一块长为22 m，宽为17 m的矩形地面上，要修建同样宽的两条相互垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分修建草坪，要求草坪的面积不小于300 m2.设道路的宽为x m，根据题意可列出的不等式为( )
A.(22－x)(17－x)≤300B.(22－x)(17－x)≥300C.(22－x)(17－x)>300D.(22－x)(17－x)<300
解析 把所修建的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，草坪面积为(22－x)(17－x)m2.因为草坪的面积不小于300 m2，所以(22－x)(17－x)≥300.
13.有学生若干个，住若干宿舍，如果每间住4人，那么还余19人，如果每间住6人，那么只有一间不满但不空，求宿舍间数和学生人数.
∵x∈N*，∴x＝10，11或12，学生人数分别为59，63，67.故宿舍间数和学生人数分别为10间59人，11间63人或12间67人.
14.甲打算从A地出发至B地，现有两种方案.
解析 第一种方案：设总路程为2s，
第二种方案：设总时间为2t，
1.通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系.2.了解不等式(组)的实际背景.
通过运用不等式(组)表示实际问题的不等关系及比较两个实数的大小提升数学抽象及数学运算素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
一、不等关系与不等式1.问题 在日常生活中，我们经常看到下列标志：
(1)你知道各图中的标志有何作用？其含义是什么吗？提示 ①限制高度：装载高度h不得超过3.5 m；②最低限速：限制行驶时速v不得低于50 km/h；③限制质量：装载总质量M不得超过10 t；④时间范围：7时30分到10时.
(2)你能用一个数学式子表示上述关系吗？提示 ①h≤3.5；②v≥50；③M≤10；④7.5≤t≤10.
2.填空 (1)在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和__________，常用________来研究含有不等关系的问题.(2)用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或________，以表示不等关系.“a≠b”应包含“a>b”或“a
3.做一做 某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h，正常行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于50 m.用不等式表示为( )
二、两个实数的大小关系1.问题 (1)对于两个实数a，b，其大小关系有哪几种可能？提示 三种关系：a>b，a＝b，a
3.做一做 已知x<1，则x2＋2与3x的大小关系为____________.解析 x2＋2－3x＝(x－1)(x－2).由x<1，知(x－1)(x－2)>0，∴x2＋2－3x>0，故x2＋2>3x.
(1)根据抽象的图形，你能从中得到一个什么样的不等关系？提示 正方形ABCD的面积a2＋b2>2ab.(2)当中间的四边形EFGH缩为一点，即四个直角三角形变为等腰直角三角形时，可以得到什么结论？结合问题(1)你有什么发现？提示 a2＋b2＝2ab，a2＋b2≥2ab.
2.填空 一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥________，当且仅当________时，等号成立.
3.做一做 已知x，y∈R，且x2＋y2＝4，则xy的最大值是________.解析 由于x2＋y2≥2xy，∴2xy≤4，故xy的最大值为2.
4.思考辨析 正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”.(1)a不小于b可以表示为a>b.( )提示 a不小于b应表示为a≥b.(2)若x－y>0，我们就说x大于y.( )(3)代数式x2＋1一定大于代数式2x.( )提示 ∵x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，∴x2＋1≥2x，故错误.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
例1 某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式(组).解 设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆，
题型一 用不等式(组)表示不等关系
用不等式(组)表示不等关系的步骤：(1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语.(2)适当的设未知数表示变量.(3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式(组).
训练1 如图，在一个面积小于350 m2的矩形地基中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长L(单位：m)大于宽W(单位：m)的4倍.试用不等式组表示上面的不等关系.
题型二 实数(式)的比较大小
1.作差法比较两个实数(代数式)大小的步骤第一步：作差并变形，通常将差化为完全平方和或多个因式积的形式.第二步：判断差值与零的大小关系.第三步：得出结论.2.对于两个正值，也可采用作商的方法，比较商与1的大小.
训练2 比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小.解 (2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)
∴(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)>0，∴2x2＋5x＋3>x2＋4x＋2.
题型三 重要不等式a2＋b2≥2ab的应用
例3 已知a>0，b>0，证明a3＋b3≥ab2＋a2b.证明 a3＋b3－(ab2＋a2b)＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－ab(a＋b)＝(a＋b)(a2－2ab＋b2).∵a>0，b>0，且a2＋b2≥2ab，∴a＋b>0，a2＋b2－2ab≥0.∴a3＋b3－(ab2＋a2b)≥0，故a3＋b3≥ab2＋a2b.
1.比较两数的大小或证明不等式，最基本的方法是作差比较法，其关键是作差变形，判断差的符号＋b2≥2ab对于任意实数a，b均成立，当且仅当a＝b时，取“＝”.
证明 法一 利用a2＋b2≥2ab.∵a>0，
当且仅当a＝1时，等号成立.
1.用不等式(组)表示不等关系，要注意不等式与不等关系的对应，不重、不漏，尤其要检验实际问题中变量的取值范围.
3.作差法比较实数的大小一般步骤是：作差→恒等变形→判断差的符号→下结论.作差后变形是比较大小的关键一步.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
1.下面能表示“a与b的和是非正数”的不等式为( )A.a＋b<0 B.a＋b>0C.a＋b≤0 D.a＋b≥0解析 a与b的和是非正数，即a＋b≤0.
2.大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车和货的总重量T满足关系为( )A.T<40 B.T>40C.T≤40 D.T≥40解析 “限重40吨”用不等式表示为T≤40.
3.设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是( )A.M>N B.M＝NC.M
5.若m＝3x2－x＋1，n＝2x2＋x－1，则m与n的大小关系是( )A.m>n B.m≥nC.m
6.不等式a2＋4≥4a中，等号成立的条件为________.解析 令a2＋4＝4a，则a2－4a＋4＝0，∴a＝2.
7.已知a，b∈R，且ab≠0，则ab－a2________b2(填“<”，“>”或“＝”).
8.一辆汽车原来每天行驶x km，如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2 200 km，写出不等式为____________________；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为_________________.
8(x＋19)>2 200
解析 由题意知，汽车原来每天行驶x km，8天内它的行程超过2 200 km，则8(x＋19)>2 200.
若每天行驶的路程比原来少12 km，
10.已知a，b，c满足b＋c＝3a2－4a＋6，b－c＝a2－4a＋4，比较a，b，c的大小.解 ∵b－c＝a2－4a＋4＝(a－2)2≥0，∴b≥c.
∴c>a.∴b≥c>a.
11.(多选)下列不等式，其中恒成立的不等式为( )
解析 ∵a2＋3－2a＝(a－1)2＋2>0，∴a2＋3>2a，即A正确；
a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，知C错误；
12.如图，在一块长为22 m，宽为17 m的矩形地面上，要修建同样宽的两条相互垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分修建草坪，要求草坪的面积不小于300 m2.设道路的宽为x m，根据题意可列出的不等式为( )
A.(22－x)(17－x)≤300B.(22－x)(17－x)≥300C.(22－x)(17－x)>300D.(22－x)(17－x)<300
解析 把所修建的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，草坪面积为(22－x)(17－x)m2.因为草坪的面积不小于300 m2，所以(22－x)(17－x)≥300.
13.有学生若干个，住若干宿舍，如果每间住4人，那么还余19人，如果每间住6人，那么只有一间不满但不空，求宿舍间数和学生人数.
∵x∈N*，∴x＝10，11或12，学生人数分别为59，63，67.故宿舍间数和学生人数分别为10间59人，11间63人或12间67人.
14.甲打算从A地出发至B地，现有两种方案.
解析 第一种方案：设总路程为2s，
第二种方案：设总时间为2t，
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