人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念获奖教学设计

第一章集合与常用逻辑用语

1.1　集合的概念

1.1.2集合的表示

[目标] 1.掌握集合的两种表示方法(列举法和描述法)；

2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．

[重点] 集合的两种表示方法及其运用．

[难点] 对描述法表示集合的理解．

知识点一　列举法

[填一填]

把集合的所有元素出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法．

{　　}表示“所有”的含义，不能省略，元素之间用“，”隔开，而不能用“、”；书写时不需要考虑元素的顺序．

[答一答]

1．实数集也可以写成{实数}，那么能写成{实数集}或{全体实数}吗？

提示：不能，因为花括号“{　}”表示“所有、全部”的意思．

2．列举法能表示元素个数很少的有限集，那么可以用列举法表示无限集吗？

提示：对于所含元素有规律的无限集也可以用列举法表示，如正自然数集可以用列举法表示为{1,2,3,4,5，…}．

3．集合{(1,2)}与{(2,1)}是否为相等集合？

提示：不是．

知识点二　描述法

[填一填]

1．一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征 P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．

2．具体方法

在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线

，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.

[答一答]

3．集合{x|x>3}与集合{t|t>3}表示同一个集合吗？

提示：是同一个集合．虽然两个集合的代表元素的符号(字母)不同，但实质上它们均表示大于3的所有实数，故表示同一个集合．

类型一　用列举法表示集合

[例1]　(1)若集合A＝{(1,2)，(3,4)}，则集合A中元素的个数是(B)

A．1　　　　　 B．2

C．3   D．4

(2)用列举法表示下列集合．

①不大于10的非负偶数组成的集合；

②方程x2＝x的所有实数解组成的集合；

③直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合；

④方程组的解．

[解析]　(1)集合A＝{(1,2)，(3,4)}中有两个元素(1,2)和(3,4)．

(2)解：①因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}．

②方程x2＝x的解是x＝0或x＝1，所以方程的解组成的集合为{0,1}．

③将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0,1)，故两直线的交点组成的集合是{(0,1)}．

④解方程组得

∴用列举法表示方程组的解集为{(0,1)}．

用列举法表示集合应注意的三点：

1应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素；

2集合中的元素一定要写全，但不能重复；

3若集合中的元素是点时，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素.

[变式训练1]用列举法表示下列集合：

(1)15的正约数组成的集合；

(2)所有正整数组成的集合；

(3)直线y＝x与y＝2x－1的交点组成的集合．

解：(1){1,3,5,15}．

(2)正整数有1,2,3，…，所求集合用列举法表示为{1,2,3，…}．

(3)方程组的解是所求集合用列举法表示为{(1,1)}．

类型二　用描述法表示集合

[例2]　用描述法表示下列集合：

(1)不等式2x-7<3的解集A；

(2)二次函数y＝x2＋1的函数值组成的集合B；

(3)被3除余2的正整数的集合C；

(4)平面直角坐标系内坐标轴上的点组成的集合D.

[分析]　先确定集合元素的符号，再把元素的共同特征通过提炼加工后写在竖线后面．

[解]　(1)解2x－7<3得x<5，所以A＝{x|x<5}．

(2)函数值组成的集合就是y的取值集合，所以B＝{y|y＝x2＋1，x∈R}．

(3)被3除余2的正整数可以表示为3n＋2(n∈N)，所以集合C＝{x|x＝3n＋2，n∈N}．

(4)平面直角坐标系中坐标轴上的点的共同特征是至少有一个坐标为0，

所以D＝{(x，y)|x·y＝0，x∈R，y∈R}．

1用描述法表示集合，应先弄清集合的属性，是数集、点集还是其他的类型.一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序实数对来代表其元素.

2若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围.

[变式训练2]　用描述法表示下列集合：

(1)函数y＝－x的图象上所有点组成的集合；

(2)方程x2＋22x＋121＝0的解集；

(3)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合；

(4).

解：(1){(x，y)|y＝－x，x∈R，y∈R}．

(2){x|x＝－11}．

(3)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合等于绝对值大于3的实数组成的集合，则数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合可表示为{x∈R||x|>3}．

(4)先统一形式，，，，，…，找出规律，集合表示为.

类型三　两种方法的灵活应用

[例3]　用适当的方法表示下列集合：

(1)方程组的解组成的集合；

(2)1 000以内被3除余2的正整数组成的集合；

(3)所有的正方形组成的集合；

(4)抛物线y＝x2上的所有点组成的集合．

[分析]　(1)中的元素个数很少，用列举法表示；(2)是有限集，但个数较多，用描述法；(3)(4)是无限集，用描述法表示．

[解]　(1)解方程组得故该集合用列举法可表示为{(4，－2)}．

(2)设集合的代表元素是x，则该集合用描述法可表示为{x|x＝3k＋2，k∈N，且k≤332}．

(3)集合用描述法表示为{x|x是正方形}或{正方形}．

(4)集合用描述法表示为{(x，y)|y＝x2}．

当集合的元素个数很少很容易写出全部元素时，常用列举法表示集合；当集合的元素个数较多不易写出全部元素时，常用描述法表示集合.对一些元素有规律的无限集，也可用列举法表示.如正奇数集也可写为{1，3，5，7，9，…}.但值得注意的是，并不是每一个集合都可以用两种方法表示出来.)

[变式训练3]　用适当的方法表示下列集合：

(1)大于2且小于5的有理数组成的集合；

(2)24的所有正因数组成的集合；

(3)平面直角坐标系内与坐标轴距离相等的点的集合．

解：(1)用描述法表示为{x|2<x<5，且x∈Q}．

(2)用列举法表示为{1,2,3,4,6,8,12,24}．

(3)在平面直角坐标系内，点(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|，所以该集合用描述法表示为{(x，y)||y|＝|x|}．

1．集合{x∈N|x<5}的另一种表示方法是(　A　)

A．{0,1,2,3,4}　　 B．{1,2,3,4}

C．{0,1,2,3,4,5}   D．{1,2,3,4,5}

解析：∵x∈N，且x<5，∴x的值为0,1,2,3,4，用列举法表示为{0,1,2,3,4}．

2.方程组的解集是(　C　)

A．{x＝1，y＝1}    B．{1}

C．{(1,1)}    D．{(x，y)|(1,1)}

解析：方程组的解集中元素应是有序数对形式，排除A，B，而D中的条件是点(1,1)，不含x，y，排除D.

3.集合{x|x＝，a<36，x∈N}，用列举法表示为{0,1,2,3,4,5}.

解析：由a<36，可得<6，即x<6，又x∈N，故x只能取0,1,2,3,4,5.

4.能被2整除的正整数的集合，用描述法可表示为{x|x＝2n，n∈N＋}．

解析：正整数中所有的偶数均能被2整除．

5.用适当的方法表示下列集合：

(1)已知集合P＝{x|x＝2n,0≤n≤2，且n∈N}；

(2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合；

(3)x2－4的一次因式组成的集合；

(4)由方程组的解所组成的集合．

解：(1)用列举法表示为P＝{0,2,4}．

(2)可用列举法表示为{6,9,12}；也可用描述法表示为{x|x＝3n,4<x<15，且n∈N}．

(3)用列举法表示为{x＋2，x－2}．

(4)解方程组得故可用列举法表示为{(1,2)}，也可用描述法表示为{(x，y)|x＝1，y＝2}．

——本课须掌握的两大问题

1．表示集合的要求：

(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则．

(2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合．

2．在用描述法表示集合时应注意：

(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式．

(2)元素具有怎样的属性．当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．

第一章　1.1　第2课时

A组·素养自测

一、选择题

1．用列举法表示集合{x|x2－3x＋2＝0}为(　C　)

A．{(1,2)} B．{(2,1)}

C．{1,2} D．{x2－3x＋2＝0}

[解析]　解方程x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2.用列举法表示为{1,2}．

2．直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合为(　B　)

A．{0,1} B．{(0,1)}

C． D．

[解析]　解方程组得

故该集合为{(0,1)}．

3．已知x∈N，则方程x2＋x－2＝0的解集为(　C　)

A．{x|x＝2}

B．{x|x＝1或x＝－2}

C．{x|x＝1}

D．{1，－2}

[解析]　方程x2＋x－2＝0的解为x＝1或x＝－2.由于x∈N，所以x＝－2舍去．故选C．

4．若A＝{－1,3}，则可用列举法将集合{(x，y)|x∈A，y∈A}表示为(　D　)

A．{(－1,3)}

B．{－1,3}

C．{(－1,3)，(3，－1)}

D．{(－1,3)，(3,3)，(－1，－1)，(3，－1)}

[解析]　因为集合{(x，y)|x∈A，y∈A}是点集或数对构成的集合，其中x，y均属于集合A，所以用列举法可表示为{(－1,3)，(3,3)，(－1，－1)，(3，－1)}．

5．下列集合中，不同于另外三个集合的是(　B　)

A．{x|x＝1} B．{x|x2＝1}

C．{1} D．{y|(y－1)2＝0}

[解析]　因为{x|x＝1}＝{1}，{x|x2＝1}＝{－1,1}，{y|(y－1)2＝0}＝{1}，所以B选项的集合不同于另外三个集合．

6．下列说法：①集合{x∈N|x3＝x}用列举法可表示为{－1,0,1}；②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R}；③方程组的解集为{x＝1，y＝2}．其中说法正确的个数为(　D　)

A．3 B．2

C．1 D．0

[解析]　由x3＝x，得x(x－1)(x＋1)＝0，解得x＝0或x＝1或x＝－1.因为－1∉N，故集合{x∈N|x3＝x}用列举法可表示为{0,1}，故①不正确．集合表示中的“{}”已包含“所有”“全体”等含义，而“R”表示所有的实数组成的集合，故实数集正确表示应为{x|x为实数}或R，故②不正确．方程组的解是有序实数对，其解集应为，故③不正确．

二、填空题

7．已知A＝{(x，y)|x＋y＝6，x∈N，y∈N}，用列举法表示A为__{(0,6)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(6,0)}__.

[解析]　∵x＋y＝6，x∈N，y∈N，

∴x＝6－y∈N，

∴

∴A＝{(0,6)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(6,0)}．

8．集合{1，，，2，，…}用描述法表示为__{x|x＝，n∈N*}__.

[解析]　注意到集合中的元素的特征为，且n∈N*，所以用描述法可表示为{x|x＝，n∈N*}．

9．已知集合A＝{x|2x＋a>0}，且1∉A，则实数a的取值范围是__a≤－2__.

[解析]　因为1∉A，则应有2×1＋a≤0，所以a≤－2.

三、解答题

10．用列举法表示下列集合：

(1)；

(2){(x，y)|y＝3x，x∈N且1≤x<5}．

[解析]　(1)因为∈Z，所以|2－x|是6的因数，

则|2－x|＝1,2,3,6，即x＝1,3,4,0，－1,5，－4,8.

所以原集合可用列举法表示为{－4，－1,0,1,3,4,5,8}．

(2)因为x∈N且1≤x<5，所以x＝1,2,3,4，

其对应的y的值分别为3,6,9,12.

所以原集合可用列举法表示为{(1,3)，(2,6)，(3,9)，(4,12)}．

11．用描述法表示下列集合．

(1){2,4,6,8,10,12}；

(2){，，，，}；

(3)被5除余1的正整数集合；

(4)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合；

(5)方程组的解组成的集合．

[解析]　(1){x|x＝2n，n∈N*，n≤6}．

(2){x|x＝，n∈N*，n≤5}．

(3){x|x＝5n＋1，n∈N}．

(4){(x，y)|xy<0}．

(5)或.

B组·素养提升

一、选择题

1．方程组的解集是(　C　)

A．{x＝1，y＝－1} B．{1}

C．{(1，－1)} D．{(x，y)|(1，－1)}

[解析]　方程组的解集中元素应是有序数对形式，排除A，B，而D的集合表示方法有误，排除D．

2．用列举法可将集合{(x，y)|x∈{1,2}，y∈{1,2}}表示为(　D　)

A．{1,2}

B．{(1,2)}

C．{(1,1)，(2,2)}

D．{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}

[解析]　x＝1，y＝1；x＝1，y＝2；x＝2，y＝1；x＝2，y＝2.

∴集合{(x，y)|x∈{1,2}，y∈{1,2}}表示为{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}，故选D．

3．(多选题)大于4的所有奇数构成的集合可用描述法表示为(　BD　)

A．{x|x＝2k－1，k∈N}

B．{x|x＝2k＋1，k∈N，k≥2}

C．{x|x＝2k＋3，k∈N}

D．{x|x＝2k＋5，k∈N}

[解析]　选项A，C中，集合内的最小奇数不大于4.

4．(多选题)下列各组中M，P表示不同集合的是(　ABD　)

A．M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)}

B．M＝{(3,1)}，P＝{(1,3)}

C．M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}

D．M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R}

[解析]　选项A中，M是由3，－1两个元素构成的集合，而集合P是由点(3，－1)构成的集合；选项B中，(3,1)与(1,3)表示不同的点，故M≠P；选项D中，M是二次函数y＝x2－1，x∈R的所有因变量组成的集合，而集合P是二次函数y＝x2－1，x∈R图象上所有点组成的集合．故选ABD．

二、填空题

5．若集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一个元素，则实数a的值是__0或1__.

[解析]　集合A中只有一个元素，有两种情况：当a≠0时，由Δ＝0，解得a＝1，此时A＝{－1}，满足题意；

当a＝0时，x＝－，此时A＝{－}，满足题意．

故集合A中只有一个元素时，a的值是0或1.

6．用列举法写出集合＝__{－3，－1,1,3}__.

[解析]　∵∈Z，x∈Z，

∴3－x为3的因数．

∴3－x＝±1，或3－x＝±3.

∴＝±3，或＝±1.

∴－3，－1,1,3满足题意．

7．设A，B为两个实数集，定义集合A＋B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，若A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则集合A＋B中元素的个数为__4__.

[解析]　当x1＝1时，x1＋x2＝1＋2＝3或x1＋x2＝1＋3＝4；当x1＝2时，x1＋x2＝2＋2＝4或x1＋x2＝2＋3＝5；当x1＝3时，x1＋x2＝3＋2＝5或x1＋x2＝3＋3＝6.∴A＋B＝{3,4,5,6}，共4个元素．

三、解答题

8．集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A．

[解析]　(1)当k＝0时，原方程为16－8x＝0，

所以x＝2，此时A＝{2}．

(2)当k≠0时，因为集合A中只有一个元素，

所以方程kx2－8x＋16＝0有两个相等的实根．

则Δ＝64－64k＝0，即k＝1.

从而x1＝x2＝4，所以集合A＝{4}，

综上所述，实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}．

9．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}．

(1)若A中只有一个元素，求集合A；

(2)若A中至少有一个元素，求a的取值范围．

[解析]　(1)因为集合A是方程ax2－3x＋2＝0的解集，则当a＝0时，A＝{}，符合题意；

当a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0应有两个相等的实数根，

则Δ＝9－8a＝0，解得a＝，此时A＝{}，符合题意．

综上所述，当a＝0时，A＝{}，当a＝时，A＝{}．

(2)由(1)可知，当a＝0时，A＝{}符合题意；

当a≠0时，要使方程ax2－3x＋2＝0有实数根，

则Δ＝9－8a≥0，解得a≤且a≠0.

综上所述，若集合A中至少有一个元素，则a≤.