必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.3 集合的基本运算一等奖教案设计

1.3 集合的基本运算

1.3.2 补集及综合应用

教学目的：

（1）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；

（2）能用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。

课    型：新授课

教学重点：集合的补集的概念；

教学难点：集合的补集“是什么”，“为什么”，“怎样做”；

教学过程：

一、引入课题

我们两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加法运算，类比实数的加法运算，两个集合是否也可以“相加”呢？

二、新课教学

1.全集

（1）概念：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集

（2）记法：通常记作.

思考1：在集合运算问题中，全集一定是实数集吗？

提示：全集是一个相对性的概念，只包含研究问题中涉及的所有的元素，所以全集因问题的不同而异．

2.补集

思考2：怎样理解补集？

提示：（1）补集是相对于全集而言的，一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围．

（2）补集既是集合之间的一种关系，也是集合之间的一种运算．在给定全集U的情况下，求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的．

3.基础自测

已知集合或，则（   ）

A．　　  B．

C．     D．

解析：∵或，∴，故选B．

2．（2019·贵州遵义市高一期末测试）已知集合，集合，，则 （     ）

A．       B．      C．       D．

解析：∵，∴．

3．（2019·浙江，1）已知全集，集合，，则（    ）

A．       B．     C．       D．

解析：∵，∴，故选A．

三、题型探究

题型一 补集的基本运算

例1  （1）已知全集为，集合，， ，则集合______.

（2）已知全集，集合，则_______.

分析：（1）先结合条件，由补集的性质求出全集，再由补集的定义求出集合，也可借助Venn图求解．

（2）利用补集的定义，借助于数轴的直观作用求解．

解析：（1）∵，，∴．

又，∴．

（2）将全集和集合分别表示在数轴上，如图所示．

由补集的定义可知或．

归纳提升　求集合的补集的方法

1．定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解．

2．Venn图法：借助Venn图可直观地求出全集及补集．

3．数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题．

题型二 交集、并集、补集的综合运算

例2  已知全集，集合，，求，，．

分析：对于无限集，可以利用数轴，分别表示出全集及集合、，先求出及，再求解．

解析：如图，

由图可得或．

如图，

由图可得或．

如图，

由图可得，∴或，

．

归纳提升  求集合交、并、补运算的方法

题型三 与补集相关的参数值的求解

例3 已知集合或，，若，求实数的取值范围．

分析：　由于集合包含两个不等式，若直接利用交集不为空集求解，则所分情况较多，因此考虑从交集为空集的角度入手．

解析： 因为或，，我们不妨先考虑当时的取值范围，在数轴上表示集合，，如图所示．

由，得，

故或.

即时，的取值范围为或，

故时，的取值范围为或.

归纳提升　当从正面考虑情况较多，问题较复杂的时候，往往考虑运用补集思想．其解题步骤为：（1）否定已知条件，考虑反面问题；（2）求解反面问题对应的参数范围；（3）取反面问题对应的参数范围的补集．

四、学科素养

“正难则反”思想的应用

“正难则反”策略是指当某一问题从正面解决较困难时，我们可以从其反面入手解决．已知全集，求子集，若直接求困难，可运用“正难则反”策略先求，再由求．

例5 已知，．若，求实数的取值集合．

分析：　要求，可先求时，的取值集合，再求出该集合在实数集中的补集即可．

解析：若，则．∵，∴集合有以下三种情况：

①当时，，即，∴或；

②当是单元素集时，，∴或.

若，则；若，；

③当时，，是方程的两根，，∴.综上可得，时，的取值集合为或或．

∴的实数的取值集合为且.

归纳提升　补集作为一种思想方法给我们研究问题开辟了新思路，今后要有意识地去体会并运用．在顺向思维受阻时，改用逆向思维，可能“柳暗花明”．从这个意义上讲，补集思想具有转换研究对象的功能，这是转化思想的一种体现．