数学1.5 全称量词与存在量词课前预习免费ppt课件

1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定

课标要求　1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.

素养要求　通过全称量词命题与存在量词命题的否定的学习，重点提升数学抽象、逻辑推理素养.

一、全称量词命题的否定

1.问题　给出下面两个命题：(1)35能被7整除；(2)35不能被7整除.两个命题之间有什么关系？你能判断两个命题的真假吗？

提示　命题(2)是对命题(1)的否定.

(1)是真命题，(2)是假命题.

2.填空　(1)一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定.

(2)一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假.

3.问题　写出下列命题的否定：

(1)所有的正比例函数都是一次函数；

(2)每一个有理数都能写成分数形式.

提示　(1)并非所有的正比例函数都是一次函数.

(2)并非每一个有理数都能写成分数形式.

4.思考　(1)怎样用存在量词改写上述问题中的两个命题的否定？

提示　①存在一个正比例函数不是一次函数.

②存在一个有理数不能写成分数形式.

(2)以上两个命题的否定与原命题在形式上有什么变化？

提示　两个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题.

5.填空　

6.做一做　命题“∀x∈R，都有x2－x＋1>0”的否定是(　　)

A.∀x∈R，都有x2－x＋1≤0

B.∃x∈R，都有x2－x＋1>0

C.∃x∈R，都有x2－x＋1≤0

D.以上均不正确

答案　C

解析　改写量词，否定结论，变为存在量词命题.

二、存在量词命题的否定

1.问题　写出下列命题的否定：

(1)存在一个实数的绝对值是正数；

(2)有些平行四边形是菱形；

(3)∃x∈R，x2－2x＋3＝0.

提示　命题(1)的否定：不存在一个实数，它的绝对值是正数.

命题(2)的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是说，每一个平行四边形都不是菱形.

命题(3)的否定是“不存在x∈R，x2－2x＋3＝0”，也就是说，∀x∈R，x2－2x＋3≠0.

2.思考　以上三个命题的否定与原命题在形式上有什么变化？

提示　这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题.

3.填空　

4.做一做　命题“∃x≥0，2x＝3”的否定是________.

答案　∀x≥0，2x≠3

5.思考辨析　正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”.

(1)用自然语言描述的全称量词命题的否定形式是唯一的.(×)

(2)全称量词命题的否定一定是存在量词命题，存在量词命题的否定一定是全称量词命题.(√)

(3)存在量词命题与其否定的真假可以相同.(×)

题型一　全称量词命题的否定

例1 写出下列全称量词命题的否定：

(1)所有能被2整除的整数都是偶数；

(2)每一个三角形的三个顶点在同一个圆上；

(3)任何实数x都是方程5x－12＝0的根.

解　(1)存在一个能被2整除的整数不是偶数；

(2)存在一个三角形，它的三个顶点不在同一个圆上；

(3)存在实数x不是方程5x－12＝0的根.

思维升华　全称量词命题否定的关注点

(1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定：∃x∈M，綈p(x).

(2)全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的全称量词命题可以补上量词后进行否定.

训练1 写出下列全称量词命题的否定：

(1)每一个四边形的四个顶点共圆；

(2)所有自然数的平方都是正数；

(3)对任意实数x，x2＋1≥0.

解　(1)綈p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆.

(2)綈p：有些自然数的平方不是正数.

(3)綈p：存在实数x，使得x2＋1<0.

题型二　存在量词命题的否定

例2 写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假.

(1)某些梯形的对角线互相平分；

(2)存在k∈R，函数y＝kx＋b随x值的增大而减小；

(3)∃x，y∈Z，使得x＋y＝3.

解　(1)该命题的否定：任意一个梯形的对角线都不互相平分.命题的否定为真命题.

(2)该命题的否定：对任意k∈R，函数y＝kx＋b不随x值的增大而减小.命题的否定为假命题.

(3)该命题的否定：∀x，y∈Z，x＋y≠3.

当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，因此命题的否定是假命题.

思维升华　存在量词命题否定的关注点

(1)存在量词命题的否定是全称量词命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词.

(2)存在量词命题的否定是全称量词命题，对省略存在量词的存在量词命题可补上量词后进行否定.

训练2 写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假.

(1)p：∃x>1，使x2－2x－3＝0；

(2)p：有些素数是奇数；

(3)p：有些平行四边形不是矩形.

解　(1)綈p：∀x>1，x2－2x－3≠0.(假).

(2)綈p：所有的素数都不是奇数.(假).

(3)綈p：所有的平行四边形都是矩形.(假).

题型三　含有量词命题的应用

例3 已知命题p：∀x∈R，m＋x2－2x＋5>0，若綈p为假命题，求实数m的取值范围.

解　因为綈p为假命题，所以命题p：∀x∈R，m＋x2－2x＋5>0为真命题.

m＋x2－2x＋5>0可化为m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4，对任意x∈R恒成立，只需m>－4.

故实数m的取值范围为{m|m>－4}.(说明：本题也可利用二次函数y＝x2－2x＋5＋m的图象恒在x轴上方，转化为对应方程Δ<0进行解题).

思维升华　1.注意p与綈p的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转化.

2.对求参数范围问题，往往分离参数，转化成求函数的最值问题，如本题分离参数后，转化成了求二次函数的最值问题.

训练3 已知命题p：∀x∈{x|－3≤x≤2}，都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}，且綈p是假命题，求实数a的取值范围.

解　因为綈p是假命题，所以p是真命题，

又∀x∈{x|－3≤x≤2}，都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}，

所以{x|－3≤x≤2}⊆{x|a－4≤x≤a＋5}，

则解得－3≤a≤1.

故实数a的取值范围是{a|－3≤a≤1}.

[课堂小结]

1.对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：

(1)确定命题类型：是全称量词命题还是存在量词命题.

(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词.

(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等分别改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等.

(4)无量词的全称量词命题要先补回量词再否定.

2.对于含有“至多”“至少”的命题，一般先考虑命题的否定，求出相应的集合，再求集合的补集，可避免繁杂的运算.

3.常见解题误区：否定不唯一，命题与命题的否定真假性相反.

一、基础达标

1.命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是(　　)

A.∀x∈R，|x|＋x2<0

B.∀x∈R，|x|＋x2≤0

C.∃x∈R，|x|＋x2<0

D.∃x∈R，|x|＋x2≥0

答案　C

解析　此全称量词命题的否定为∃x∈R，|x|＋x2<0.

2.(多选)下列命题中，为真命题的全称量词命题是(　　)

A.对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2≥0

B.菱形的两条对角线相等

C.∃x∈R，＝x

D.正比例函数y＝kx(k>0)，y随x的增大而增大

答案　AD

解析　A中含有全称量词“任意”，因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，是真命题；

B，D在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的对角线不一定相等；

当k>0时，y＝kx随x增大而增大，D为真命题；C是存在量词命题.所以选AD.

3.设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集.若命题p：∀x∈A，2x∈B，则(　　)

A.綈p：∀x∈A，2x∈B

B.綈p：∀x∉A，2x∉B

C.綈p：∃x∉A，2x∈B

D.綈p：∃x∈A，2x∉B

答案　D

解析　命题p：∀x∈A，2x∈B是一个全称量词命题，命题p的否定：∃x∈A，2x∉B.

4.下列命题中的假命题是(　　)

A.∀x∈R，|x|＋1>0

B.∀x∈N*，(x－1)2>0

C.∃x∈R，|x|<1

D.∃x∈R，＋1＝2

答案　B

解析　A中命题是全称量词命题，易知|x|＋1>0恒成立，故是真命题；

B中命题是全称量词命题，当x＝1时，(x－1)2＝0，故是假命题；

C中命题是存在量词命题，当x＝0时，|x|＝0，故是真命题；

D中命题是存在量词命题，当x＝±1时，＋1＝2，故是真命题.

5.已知命题p：∃x>0，x＋a－1＝0为假命题，则实数a的取值范围是(　　)

A.a>1   B.a≥1

C.a<1   D.a≤1

答案　B

解析　因为命题p：∃x>0，x＋a－1＝0为假命题，

所以綈p：∀x>0，x＋a－1≠0是真命题，

即x≠1－a，

所以1－a≤0，即a≥1.

6.命题“对任意x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是______________________.

答案　存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3

解析　由定义知命题的否定为“存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3”.

7.命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则p的否定是________________.

答案　∀m∈R，方程x2＋mx＋1＝0无实数根

解析　命题p是存在量词命题，其否定形式为全称量词命题.

綈p：对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根.

8.命题“存在x>1，使得2x＋a<3”是假命题，则实数a的取值范围是________.

答案　{a|a≥1}

解析　命题“存在x>1，使得2x＋a<3”是假命题，

所以此命题的否定“任意x>1，使得2x＋a≥3”是真命题，

因为对∀x>1，都有2x＋a>2＋a，

所以2＋a≥3，则a≥1.

9.写出下列命题的否定：

(1)有些四边形有外接圆；

(2)末位数字为9的整数能被3整除；

(3)∃x∈R，x2＋1<0.

解　(1)所有的四边形都没有外接圆.

(2)存在一个末位数字为9的整数不能被3整除.

(3)∀x∈R，x2＋1≥0.

10.写出下列命题的否定，并判断其否定的真假.

(1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实根；

(2)p：∀x，y∈R，x2＋y2＋2x－4y＋5＝0.

解　(1)綈p：存在一个实数m，使方程x2＋mx－1＝0没有实数根.

∵该方程的判别式Δ＝m2＋4>0恒成立，

∴綈p为假命题.

(2)綈p：∃x，y∈R，x2＋y2＋2x－4y＋5≠0.

∵x2＋y2＋2x－4y＋5＝(x＋1)2＋(y－2)2，

当x＝0，y＝0时，x2＋y2＋2x－4y＋5≠0成立，

∴綈p为真命题.

二、能力提升

11.(多选)下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有(　　)

A.∃x∈R，x2－x＋<0

B.所有的正方形都是矩形

C.∃x∈R，x2＋2x＋2≤0

D.至少有一个实数x，使x3＋1＝0

答案　AC

解析　命题的否定是全称量词命题，即该命题为存在量词命题，故排除B.

再根据命题的否定为真命题，即该命题为假命题.

又D为真命题，故选AC.

12.某校开展小组合作学习模式，高二某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下：若命题“∃x0∈R，x＋2x0＋m≤0”是假命题，求实数m的取值范围.王小二略加思索，反手给了王小一一道题：若命题“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，求实数m的取值范围.你认为，两位同学题中实数m的取值范围的关系是________(填“相同”或“不同”).

答案　相同

解析　因为命题“∃x0∈R，x＋2x0＋m≤0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”，

而命题“∃x0∈R，x＋2x0＋m≤0”是假命题，

则其否定“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”为真命题，

所以两位同学题中实数m的取值范围是相同的.

13.已知任意0≤x1≤3，存在－m≤x2≤2，使得x1≥x2，则实数m的取值范围是________.

答案　

解析　任意0≤x1≤3，存在－m≤x2≤2，使得x1≥x2等价于(x1)min≥(x2)min，

得0≥－m，所以m≥.

三、创新拓展

14.已知命题p：∀x∈R，x2－2x＋a≥0，命题q：∃x∈R，x2＋x＋2a－1＝0，若p为真命题，q为假命题，求实数a的取值范围.

解　因为x2－2x＋a＝(x－1)2＋a－1，

若p是真命题，则a－1≥0，即a≥1.

因为x2＋x＋2a－1＝0，若q为假命题，

则Δ＝1－4×(2a－1)＝5－8a<0，

即a>，

故a≥1.

所以实数a的取值范围是{a|a≥1}.