人教A版 (2019)必修 第一册1.4 充分条件与必要条件课文内容免费ppt课件

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第一章 集合与常用逻辑用 语
1.4.2　充要条件
课标要求
通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系.
素养要求
针对充要条件问题，通过几个数学定义的研究比较，学生经历梳理知识、提炼定义、感悟思想的学习过程，提升逻辑推理素养与数学抽象素养.
问题导学预习教材必备知识探究
内容索引
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1
一、逆命题的概念1.问题　给出以下两个命题：(1)若一个数是负数 ，则它的平方是正数；(2)若一个数的平方是正数，则它是负数.你能说出命题(1)与命题(2)的条件与结论有什么关系吗？提示　两个命题的条件与结论恰好互换了.
2.填空　将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“____________”，称这个命题为原命题的逆命题.3.做一做　命题“若A∪B＝B，则A⊆B”的逆命题是________. 提示　若A⊆B，则A∪B＝B.
若q，则p
二、充要条件1.问题　给出以下两个“若p，则q”形式的命题： ①若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等.
(1)你能判断这两个命题的真假吗？提示　命题①是真命题，②是真命题.(2)你能写出它们的逆命题，并判断其真假吗？
2.思考　在上述问题1的两个命题中，p是q的什么条件？q是p的什么条件？你能用数学语言概括出来吗？ 提示　p是q的充分条件，也是必要条件；q是p的充分条件，也是必要条件.“p⇒q且q⇒p”(即p⇔q)，p是q的充要条件.
3.填空　
真
真
⇔
充分
必要
充分必要
温馨提醒　(1)充要条件的等价说法：p是q的充要条件又常说成q成立当且仅当p成立，或p与q等价.(2)条件关系判定的常用结论：
A
4.做一做　(1)“1充要
√
5.思考辨析　正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”.(1)如果原命题“若p，则q”与其逆命题都为真，那么p是q的充要条件.( )(2)若p是q的充要条件，则p是唯一的.( )提示　p与q等价，但p不一定唯一.(3)两个三角形相似的充要条件是两个三角形的三边对应成比例.( )(4)“xy>0”是“x>0，y>0”的充要条件.( )提示　“xy>0”是“x>0，y>0”成立的必要不充分条件.
×
√
×
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
2
例1 (1)判断下列各题中，p是否为q的充要条件？①在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；②若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；解　①在△ABC中，显然有∠A>∠B⇔BC>AC，所以p是q的充要条件.②若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p⇒q；若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q⇒p，故p⇔q，所以p是q的充要条件.
题型一　充要条件的判断与探求
角度1　条件关系的判断
(2)设x∈R，则“0B
∴“0判定条件关系：(1)分清楚条件是什么，结论是什么；(2)尝试用条件推结论，或用结论推条件(或举反例)；(3)下结论.
例2 设集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，则A⊆(A∩B)的充要条件为___________；一个充分不必要条件可为_____________________.
a≤9
角度2　条件关系的探求
6≤a≤9(答案不唯一)
解析　A⊆(A∩B)⇔A⊆B，B＝{x|3≤x≤22}.若A＝，则2a＋1>3a－5，解得a<6；
综上可知，A⊆(A∩B)的充要条件为a≤9；一个充分不必要条件可为6≤a≤9.
探求充要条件的两种方法：(1)等价法：将原命题进行等价转化，直至获得其成立的充要条件，其中探求的过程也是证明的过程，因为探求过程的每一步都是等价的.(2)非等价法：先寻找必要条件，再找充分条件，从必要性和充分性两方面说明.
训练1 (1)a，b中至少有一个不为零的充要条件是(　　) A.ab＝0 B.ab>0 C.a2＋b2＝0 D.a2＋b2>0 解析　a2＋b2>0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2>0.
D
(2)如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么(　　)A.丙是甲的充分不必要条件B.丙是甲的必要不充分条件C.丙是甲的充要条件D.丙是甲的既不充分又不必要条件解析　如图所示，∵甲是乙的必要条件，∴乙⇒甲.又∵丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，∴丙⇒乙，但乙 丙.综上，有丙⇒乙⇒甲，甲 丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件.
A
例3 求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常数且a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0. 证明　必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正实根和一负实根，
题型二　充要条件的证明
∴ac<0.
∴方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正一负两实根.
一般地，证明“p成立的充要条件为q”，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q⇒p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p⇒q.
训练2 求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.证明　①充分性：如果b＝0，那么y＝kx，x＝0时y＝0，函数图象过原点.②必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点，所以x＝0时y＝0，得0＝k·0＋b，b＝0.综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
题型三　充要条件的应用
例4 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.解　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0).因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件，即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，
解得m≤3.又因为m>0，所以实数m的取值范围为{m|0迁移 本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 解　若p是q的充要条件，
故不存在实数m，使得p是q的充要条件.
应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系.(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解.
由p是q的充分不必要条件，可知AB，
课堂小结
1.充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明.在证明时要注意两种叙述方式的区别： (1)p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性； (2)p的充要条件是q，则由p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性.2.探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
3
1.设a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c，则“a2＋b2＝c2”是“△ABC为直角三角形”的(　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析　a2＋b2＝c2⇔△ABC为直角三角形.
C
2.设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的(　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析　由2－x≥0，得x≤2，由|x－1|≤1，得0≤x≤2.当x≤2时不一定有0≤x≤2，又当0≤x≤2时，一定有x≤2，故“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要不充分条件.
B
C
4.(多选)对任意实数a，b，c，给出下列命题，其中真命题是(　　) A.“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件 B.“a>b”是“a2>b2”的充分条件 C.“a<5”是“a<3”的必要条件 D.“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件 解析　对于A，因为当a＝b时，ac＝bc成立， 而当c＝0，ac＝bc时，a＝b不一定成立，所以“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要条件，故A错误. 对于B，当a＝－1，b＝－2时，a>b，但a2b2，但ab”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件，故B错误.对于C，由a<3⇒a<5，∴“a<5”是“a<3”的必要条件，故C正确.显然“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件.
CD
5.“x＝1”是“x∈{x|x≤a}”的充分条件，则实数a的取值范围为(　　)
D
解析　由题意，{1}是{x|x≤a}的子集，∴a≥1.故选D.
6.p：两个三角形的两组对应角相等，q：两个三角形相似，则p是q的________条件. 解析　p⇒q，q⇒p，故p是q的充要条件.
　充要
7.函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________.
m＝－2
反之， 当m＝－2时，则函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称.
8.若“x≤－1或x≥1”是“x－1
9.指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选一个作答).(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0；(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；(3)p：a>b，q：a＋c>b＋c.
解　(1)x－3＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0 x－3＝0，故p是q的充分不必要条件.(2)两个三角形相似 两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件.(3)a>b⇒a＋c>b＋c，且a＋c>b＋c⇒a>b，故p是q的充要条件.
10.求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.证明　充分性：因为a＋b＋c＝0，所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0，得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.所以方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，所以a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
11.“函数y＝x2－2ax＋a的图象在x轴的上方”是“0≤a≤1”的(　　)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析　函数y＝x2－2ax＋a的图象在x轴的上方，则Δ＝4a2－4a<0，解得0A
12.已知“p：x>m＋3或x{m|m≤－7，或m≥1}
13.若集合A＝{x|x>－2}，B＝{x|x≤b，b∈R}，试写出： (1)A∪B＝R的一个充要条件； (2)A∪B＝R的一个必要不充分条件； (3)A∪B＝R的一个充分不必要条件. 解　(1)集合A＝{x|x>－2}，B＝{x|x≤b，b∈R}， 若A∪B＝R，则b≥－2，故A∪B＝R的一个充要条件是b≥－2. (2)由(1)知A∪B＝R的充要条件是b≥－2，∴A∪B＝R的一个必要不充分条件可以是b≥－3.(答案不唯一，只要b的取值范围真包含{b|b≥－2}即可). (3)由(1)知A∪B＝R的充要条件是b≥－2，∴A∪B＝R的一个充分不必要条件是b≥－1.(答案不唯一，只要b的取值范围是{b|b≥－2}的非空真子集即可).
14.在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个补充在下面问题中，若问题中的a存在，求a的取值集合M，若问题中的a不存在，说明理由. 问题：已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{x|1－a≤x≤1＋a}(a>0)，是否存在实数a，使得x∈A是x∈B成立的________？解　由题意知A＝{x|0≤x≤4}，若选①，则A是B的真子集，所以1－a≤0且1＋a≥4(两等号不能同时取得)，又a>0，解得a≥3，所以存在a，a的取值集合M＝{a|a≥3}.
若选②，则B是A的真子集，所以1－a≥0且1＋a≤4(两等号不能同时取得)，又a>0，解得00，方程组无解，所以不存在满足条件的a.