沪科版九年级上册21.5 反比例函数优质教学设计及反思

21．5　反比例函数

第1课时　反比例函数

教学目标

【知识与技能】

1．理解反比例函数的概念，能判断一个给定的函数是否为反比例函数．

2．能根据实际问题中的条件确定反比例函数的表达式，体会函数的模型思想．

【过程与方法】

从现实情境和已有知识经验出发，经历抽象反比例函数的过程，让学生建立初步的符号感，发展学生的抽象思维能力．

【情感、态度与价值观】

通过创设情境让学生经历在实际问题中探索数量关系的过程，养成用数学思维方式解决实际问题的习惯．

重点难点

【重点】

反比例函数的概念和应用．

【难点】

理解反比例函数的含义．

教学过程

一、复习回顾

师：什么是正比例函数？它的两个变量之间有什么关系呢？

学生回答．

教师多媒体课件出示：

1．下列函数中，哪些是正比例函数？

(1)y＝3x－1；　 (2)y＝x2；　 (3)y＝3x；

(4)y＝－；　 (5)y＝；　 (6)x＝；

(7)；　   (8)y＝.

学生回答．

教师多媒体课件出示：

2．观察下列函数，它们有什么特点？

(1)－y＝－；　 (2)y＝；

(3)y＝；　  (4)y＝.

生：……

师：我们知道正比例函数都可以写成y＝kx的形式，这些函数呢？它们都可以写成哪种形式？

生：写成y＝(k为常数，且k≠0)的形式．

二、共同探究，获取新知

1．给出定义．

师：我们把这个等式进行变形，两边同乘以x，就变为xy＝k，因为k为常数，所以x和y的乘积是一定的，这就是我们小学学过的反比例关系．

教师板书：

一般地，函数y＝(k为常数，且k≠0)叫做反比例函数．

教师多媒体课件出示：

(1)下列选项中，两个变量之间的关系为反比例关系的是(　　)

A．匀速行驶的过程中，行驶的路与时间的关系

B．体积一定，物体的质量与密度的关系

C．质量一定，物体的体积与密度的关系

D．长方形的长一定，它的周长与宽的关系

(2)京沪高速公路全长约为1 262 km，汽车沿京沪高速公路从上海驶往北京，汽车行完全程所需要的时间t(h)与行驶的平均速度v(km/h)之间有怎样的关系？变量t是v的反比例函数吗？

(3)三角形的面积为6，它的底y与底边上的高x之间的函数关系式为________．

教师找三生回答．

2．例题讲解．

【例1】　已知参加施工的人数y与完成某项工程的时间x天成反比例关系．当施工人数为4时，10天能完成这项工程．现要求8天完成这项工程，应选派多少人去施工？

师：你知道这种问题应该怎么解决吗？

生：知道，用待定系数法．

师：具体的思路是什么呢？

生：先求出y与x之间的函数关系式，然后把天数代入，求出人数．

师：这里哪两个量是成反比例的 ?

生：人数y与时间x天．

师：那么我们可以怎样表示它们之间的关系？

生：设y＝.

师：然后怎么做呢？

教师找一生回答．

生：当x＝10时，y＝4，代入上式，得k＝40，即y＝.将x＝8代入上式，得y＝＝5.

师：你回答得太好了！因此，当要求8天完成这项工程时，应选派5个人去施工．

【例2】　在压力不变的情况下，某物体承受的压强p Pa是它的受力面积S m2的反比例函数，如图．

(1)求p与S之间的函数表达式；

(2)当S＝0.5时，求物体承受的压强p的值．

解：(1)根据题意，设p＝.

函数图象经过点(0.1，1 000)，代入上式，得1 000＝.

解方程，得

k＝100.

答：p与S之间的函数表达式为

p＝(p＞0，S＞0)．

(2)当S＝0.5时，p＝＝200.

答：当S＝0.5时，物体承受的压强p的值为200.

三、练习新知，加深理解

教师找两生板演教材第44页练习的第2题，其余同学在下面做，然后集体订正，得到：

解：(1)设ρ＝，把V＝10，ρ＝1.43代入这个式子得到k＝14.3，所以ρ与V之间的函数关系式为：ρ＝；

(2)把V＝2代入上式，得ρ＝＝7.15.所以当V＝2 m3时，氧气的密度ρ为7.15 kg/m3.

教师多媒体课件出示：

1．某村有耕地200 hm2，人口数量x逐年发生变化，该村人均耕地面积y hm2与人口数量x之间有怎样的关系？

2．某市距省城248 km，汽车由该市驶往省城，汽车行驶全程所需的时间t h与行驶的平均速度v km/h之间有怎样的关系？

3．当电压U一定时，通过电阻的电流I与电阻的阻值R之间有怎样的关系？

师：请同学们看这几个问题，你能得到题中两个量之间的关系吗？

学生读题，思考．

教师找三生回答，然后集体订正得到：

1．y＝；　2.t＝；　3.I＝.

教师多媒体课件出示：

为建设社会主义新农村，某地方政府准备修建一条连接各村庄的水泥路．修路时需要运输的土石方总量为1.2×108 m3，某运输公司承接了这项运输土石方的任务．

(1)请写出运输公司平均每天的工作量y(m3/天)与完成运输任务所需的时间t(天)之间的函数关系式；

(2)这个运输公司共有100辆汽车，每天一共运送土石方6×105 m3，那么该公司完成全部运输任务需要多长时间？

教师找两生板演，其余同学在下面做，然后集体订正．

四、课堂小结

师：通过本节课的学习，你有什么收获？

学生回答．

师：你还有什么问题？

学生提问，老师解答．

第2课时　反比例函数的图象与性质

教学目标

【知识与技能】

1．知道反比例函数的图象是双曲线，利用描点法画反比例函数的图象，说出它的性质．

2．能利用反比例函数的图象和性质解决有关问题．

【过程与方法】

1．经历对反比例函数图象的观察、分析、讨论、概括过程，总结出它的性质．

2．探索反比例函数的图象的性质，体会并掌握用数形结合思想解决数学问题的方法．

【情感、态度与价值观】

调动学生的主观能动性，积极参与数学活动，培养合作、交流意识，提高观察、分析、抽象的能力．

重点难点

【重点】

反比例函数的图象和性质．

【难点】

反比例函数图象的画法及其性质的归纳．

教学过程

一、回顾交流，问题牵引

教师多媒体课件出示：

1．什么叫做反比例函数？下列函数中哪些是反比例函数？

y＝，y＝－，y＝6x＋，y＝－4x＋1.

反比例函数的定义中需要注意什么？

2．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，那么反比例函数的图象是什么样的呢？

3．画函数图象的一般步骤是什么？

师：请同学们回答以上问题．

学生抢答．

二、师生互动，探求新知

师：下面我们来画一个反比例函数y＝的图象．它的取值范围是什么呢？

生：x≠0.

师：对，所以我们取x的值时，应取不等于0的数．请同学们根据作图的一般步骤作出这个函数的图象．

学生作图，教师巡回指导．

师：你能说出这个图象的特征吗？

生甲：它的图象在一、三象限．

生乙：在每个象限内，函数值y随x值的增大而减小．

师：图象与坐标轴有交点吗？

学生观察后回答，图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但永远不与它们相交．

师：你能根据它的表达式分析一下出现这种现象的原因吗？

学生交流、讨论．

师：一条线若与x轴相交，交点的纵坐标为多少？

生：为0.

师：若与y轴相交，交点的横坐标呢？

生：为0.

师：那表达式的图象不会与x轴和y轴相交，说明了什么？

生：x和y都不能为0.

师：你们太聪明了！你能说说为什么x和y都不能为0吗？

学生讨论．

生：因为y＝变形后是xy＝6，若x、y中有一个为0，则它们的积就是0了．

师：对，你分析得太好了！这个图形的形状有什么特点呢？

生：……

师：如果点P(x0，y0)在函数y＝的图象上，那么，与点P关于原点成中心对称的P′的坐标应是什么？

生：(－x0，－y0)．

师：这个点在函数y＝的图象上吗？

学生思考后回答：在．

师：为什么？

生：因为当(x0，y0)在这个图象上时，有y0＝，即x0y0＝6，所以(－x0)(－y0)＝6，－y0＝，所以(－x0，－y0)也在y＝的图象上．因此，你能得到什么结论？

生：y＝的图象关于原点成中心对称．

师：请同学们在课本第46页图21－29中画出函数y＝－的图象．

学生作图．

师：观察并比较函数y＝与y＝－的图象，你能分别就k＞0和k＜0两种情况总结反比例函数y＝(k为常数，且k≠0)的性质吗？

师生一起总结出：

反比例函数y＝(k为常数，且k≠0)的性质．

师生一起总结出：

反比例函数y＝(k为常数，且k≠0)有下列性质：

(1)当k＞0时，两支曲线分别位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；

(2)当k＜0时，两支曲线分别位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．

三、应用所学，解决问题

【例】　已知反比例函数y＝.

(1)如果这个函数的图象经过点(－3，5)，求k的值；

(2)如果这个函数的图象在它所处的象限内，函数y随x的增大而减小，求k的取值范围．

解：(1)因为函数的图象经过点(－3，5)，代入函数的表达式，得5＝.解方程，得k＝－7.

(2)根据题意，有2k－1＞0.

解不等式，得k＞.

师：下面我们通过进一步的练习巩固反比例函数的性质：

1．已知△ABC的面积为12，则△ABC的高h与它的底边a的函数关系式为________．

生：h＝.

师：回答正确，同学们掌握得都很好！继续思考下面的问题：

2．如果反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，那么m的取值范围为________．

生：由1－3m＜0，

得－3m＜－1，

∴m＞.

4．已知点A(－2，y1)，B(－1，y2)都在反比例函数y＝(k＜0)的图象上，则y1与y2的大小关系(从大到小)为________．

生：y2＞y1.

师：很好！通过这节课的学习，同学们已经基本掌握了反比例函数的性质，那么下面同学们能不能自己出两个有关反比例函数的问题？写出函数表达式，与同伴进行交流．

师生互动，交流．

四、课堂小结

师生总结回顾本节课所学的内容．

反比例函数的图象和性质：

形状：反比例函数的图象称为双曲线；

位置：当k＞0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；

当k＜0时，两支曲线分别位于第二、四象限内；

增减性：当k＞0时，在每一象限内，y随x的增大而增大．

图象的发展趋势：反比例函数的图象无限接近于x、y轴，但永远不能到达x、y轴．

对称性：反比例函数y＝的图象关于坐标原点对称．