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河北省唐山市滦南县2021-2022学年七年级下学期期末数学试题(word版含答案)
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这是一份河北省唐山市滦南县2021-2022学年七年级下学期期末数学试题(word版含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年河北省唐山市滦南县七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（1～10题每小题3分，11～16题每小题3分，共42分．每小题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个）
1．（3分）下列方程中是二元一次方程的是（ ）
A．x2+2y＝2 B．x+y＝0 C．x+2＝1 D．+y＝4
2．（3分）下列各图中，∠1和∠2构成对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）计算a3•a3的结果是（ ）
A．a5 B．a6 C．a9 D．2a3
4．（3分）下列图形中有稳定性的是（ ）
A．正方形 B．长方形 C．三角形 D．平行四边形
5．（3分）用不等式表示图中的不等式的解集，其中正确的是（ ）
A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．﹣3＜x＜2 D．x≥﹣3
6．（3分）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．m（a+b）＝ma+mb B．x2+4x+1＝x（x+4）+1
C．m2﹣m＝m（m﹣1） D．2x+1＝x（2+）
7．（3分）方程5x﹣2y＝4与下列方程构成的方程组的解为的是（ ）
A．2x+y＝7 B．2x﹣y＝5 C．x﹣2y＝﹣3 D．x+y＝10
8．（3分）下列命题：
①内错角相等；
②两个锐角的和是钝角；
③a，b，c是同一平面内的三条直线，若a∥b，b∥c，则a∥c；
④a，b，c是同一平面内的三条直线，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；
其中真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（3分）2021年10月16日我国用长征二号F运载火箭将神舟十三号载人飞船送入近地轨道，并与近地点高度384000米的空间站天和核心舱进行交会对接．数据384000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.384×105 B．3.84×105 C．3.84×104 D．384×103
10．（3分）如图，下列条件中，不能判断直线a∥b的是（ ）
A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠3 C．∠4＝∠5 D．∠2+∠4＝180°
11．（3分）若a＞b，c是任意一个不为0的实数，则下列不等式成立的是（ ）
A．a﹣c＜b﹣c B．ac＞bc C． D．a+c＞b+c
12．（3分）在m（a﹣x）（x﹣b）﹣mn（a﹣x）（b﹣x）中，公因式是（ ）
A．m B．m（a﹣x）
C．m（a﹣x）（b﹣x） D．（a﹣x）（b﹣x）
13．（3分）下列四幅图案能通过基本图形平移得到的是（ ）
A． B．
C． D．
14．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（3a2）2＝6a4 B．a2÷a3＝a
C．x3+x3＝2x3 D．2a（3a﹣1）＝6a2﹣1
15．（3分）在△ABC中，线段AP，AQ，AR分别是BC边上的高线，中线和角平分线，则（ ）
A．AP≤AQ B．AQ≤AR C．AP＞AR D．AP＞AQ
16．（3分）小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲说：“至少25元”乙说：“至多22元，”丙说：“至多20元，”小明说：“你们三个人都说错了”．则这本书的价格x（元）所在的范围为（ ）
A．20＜x＜22 B．22＜x＜25 C．20＜x＜25 D．21＜x＜24
二、填空题（每小题含一个空，每空3分，共12分）
17．（3分）已知方程3x+y＝5，用含x的代数式表示y，则y＝ ．
18．（3分）如图，由∠A+∠B＝180°，可得：AD∥BC．理由是 ．
19．（3分）x与6的和大于3，则x的取值范围是 ．
20．（3分）已知x＝4﹣y，xy＝2，计算x2+y2的值为 ．
三、解答题（含6个题目，共计66分．解答题要求写出必要的解题过程）
21．（3分）计算：[（a+2b）（a﹣2b）﹣（a﹣2b）2]÷2b．
22．（9分）3月12日是我国的植树节，这一天，某校七年级共有240名学生参加义务植树活动，如果平均每人每天挖树坑6个或栽树10棵，那么，怎样安排学生才能使这一天挖出的树坑全部栽上树苗？
23．（10分）根据题意画出图形，并填注理由．
证明：三角形的内角和等于180°．
已知：△ABC．
求证：∠A+∠B+∠C＝180°．
证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥BA．
∵CE∥BA（辅助线）
∴∠B＝∠ECD（ ）
∠A＝∠ACE（ ）
∵∠BCA+∠ACE+∠ECD＝180°（ ）
∴∠A+∠B+∠ACB＝180°（ ）
24．（10分）阅读理解，并解答下面的问题：
拆项法原理：在多项式乘法运算中，常经过整理、化简，通常将几个同类项合并为一项，或相互抵消为零．反过来，在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项（拆项）．
例：分解因式：x2+4x+3
解：原式＝x2+x+3x+3……………………………把4x分成x和3x
＝（x2+x）+（3x+3）…………………将原式分成两组
＝x（x+1）+3（x+1）………………对每一组分别提取公因式
＝（x+3）（x+1）………………………继续提公因式
请类比上面的示例，分解因式：x2+5x+6
25．（14分）伴随2022年北京冬奥会的进行，冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”深受广大人民的喜爱．某单位准备购进吉祥物系列商品冰墩墩毛绒玩具和雪容融钥匙扣共20个．在某官方旗舰店看到冰墩墩毛绒玩具每个180元，雪容融钥匙扣每个70元．
（1）该单位准备用不超过3000元的资金购进冰墩墩毛绒玩具和雪容融钥匙扣，问最多可以购进冰墩墩毛绒玩具多少个？
（2）若购进雪容融钥匙扣的数量不超过冰墩墩毛绒玩具数量的3倍，求此时所用的最少资金．
26．（14分）阅读并填空将三角尺（△MPN，∠MPN＝90°）放置在△ABC上（点P在△ABC内），如图1所示，三角尺的两边PM、PN恰好经过点B和点C．我们来探究：∠ABP与∠ACP是否存在某种数量关系．
（1）特例探索：
若∠A＝50°，则∠PBC+∠PCB＝ 度；∠ABP+∠ACP＝ 度；
（2）类比探索：
∠ABP、∠ACP、∠A的关系是 ；
（3）变式探索：
如图2所示，改变三角尺的位置，使点P在△ABC外，三角尺的两边PM、PN仍恰好经过点B和点C，则∠ABP、∠ACP、∠A的关系是 ．
2021-2022学年河北省唐山市滦南县七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（1～10题每小题3分，11～16题每小题3分，共42分．每小题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个）
1．（3分）下列方程中是二元一次方程的是（ ）
A．x2+2y＝2 B．x+y＝0 C．x+2＝1 D．+y＝4
【分析】根据二元一次方程的定义即可求出答案．含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程．
【解答】解：A．该方程符合二元二次方程的定义，故不符合题意；
B．该方程是二元一次方程，故符合题意；
C．该方程是一元一次方程，故不符合题意；
D．该方程不是整式方程，故不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查二元一次方程的定义，解题的关键是正确理解二元一次方程的定义，本题属于基础题型．
2．（3分）下列各图中，∠1和∠2构成对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据对顶角的概念判断即可．
【解答】解：只有B选项中，∠1和∠2构成对顶角，
其余3个选项中，∠1和∠2不能构成对顶角，
故选：B．
【点评】本题考查的是对顶角的概念，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
3．（3分）计算a3•a3的结果是（ ）
A．a5 B．a6 C．a9 D．2a3
【分析】利用同底数幂的乘法法则进行计算，即可得出结果．
【解答】解：a3•a3＝a6，
故选：B．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则是解决问题的关键．
4．（3分）下列图形中有稳定性的是（ ）
A．正方形 B．长方形 C．三角形 D．平行四边形
【分析】根据三角形具有稳定性解答．
【解答】解：根据三角形具有稳定性，可得四个选项中只有直角三角形具有稳定性．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形具有稳定性，是基础题，需熟记．
5．（3分）用不等式表示图中的不等式的解集，其中正确的是（ ）
A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．﹣3＜x＜2 D．x≥﹣3
【分析】根据图中的不等式的解集，﹣3是实心点表示包括﹣3，方向向右表示大于﹣3即可得出答案．
【解答】解：根据图中的不等式的解集，﹣3是实心点表示包括﹣3，方向向右表示大于﹣3，
∴x≥﹣3．
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的解集，掌握﹣3是实心点表示包括﹣3，方向向右表示大于﹣3是解题的关键．
6．（3分）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．m（a+b）＝ma+mb B．x2+4x+1＝x（x+4）+1
C．m2﹣m＝m（m﹣1） D．2x+1＝x（2+）
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，依据分解因式的定义进行判断即可．
【解答】解：A．m（a+b）＝ma+mb，从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．x2+4x+1＝x（x+4）+1，等式的右边不是几个整式的积的形式，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．m2﹣m＝m（m﹣1），从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D．2x+1＝x（2+），等式的右边不是几个整式的积的形式，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解的定义，解题时注意因式分解与整式乘法是相反的过程，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．
7．（3分）方程5x﹣2y＝4与下列方程构成的方程组的解为的是（ ）
A．2x+y＝7 B．2x﹣y＝5 C．x﹣2y＝﹣3 D．x+y＝10
【分析】把代入每个选项中得方程，方程左右的数值相等，就是此方程的解，进而是能与方程5x﹣2y＝4，构成的方程组．
【解答】解：A：把代入2x+y，
得左边＝2×2+3＝7，
∴左边＝右边，
B：把代入2x﹣y，
得左边＝1，
∴左边≠右边，
C：把代入x﹣2y，
得左边＝﹣4，
∴左边≠右边，
D：把代入x+y
得左边＝5，
∴左边≠右边，
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，掌握把解代入方程看左右是否相等是解题关键．
8．（3分）下列命题：
①内错角相等；
②两个锐角的和是钝角；
③a，b，c是同一平面内的三条直线，若a∥b，b∥c，则a∥c；
④a，b，c是同一平面内的三条直线，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；
其中真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据平行线的判定及性质、平行公理等知识逐项判定即可．
【解答】解：①两直线平行、内错角相等，故①为假命题；
②两个锐角的和不一定是钝角，例如30°和60°，这两个锐角之和就不是钝角，故②为假命题；
③a，b，c是同一平面内的三条直线，若a∥b，b∥c，则a∥c，正确，故③为真命题；
④a，b，c是同一平面内的三条直线，若a⊥b，b⊥c，则a∥c，故④为假命题；
∴真命题为③，
故选：A．
【点评】本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握平行线的判定及性质、平行公理等知识是解答此题的关键．
9．（3分）2021年10月16日我国用长征二号F运载火箭将神舟十三号载人飞船送入近地轨道，并与近地点高度384000米的空间站天和核心舱进行交会对接．数据384000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.384×105 B．3.84×105 C．3.84×104 D．384×103
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将384000用科学记数法表示为：3.84×105．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10．（3分）如图，下列条件中，不能判断直线a∥b的是（ ）
A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠3 C．∠4＝∠5 D．∠2+∠4＝180°
【分析】根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行对各选项进行判断．
【解答】解：当∠1＝∠3时，a∥b；
当∠4＝∠5时，a∥b；
当∠2+∠4＝180°时，a∥b．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
11．（3分）若a＞b，c是任意一个不为0的实数，则下列不等式成立的是（ ）
A．a﹣c＜b﹣c B．ac＞bc C． D．a+c＞b+c
【分析】根据不等式的性质，不等式两边同加同减一个实数，不等号方向不变，同乘或同除大于0的数，不等号方向不变，同乘或同除一个负数，不等号方向改变，可得答案．
【解答】解：A．∵a＞b，
∴a﹣c＞b﹣c，故A不符合题意；
B．a＞b，当c＜0时，ac＜bc，故B不符合题意；
C．a＞b，当c＜0时，，故C不符合题意；
D．∵a＞b，
∴a+c＞b+c，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题关键．
12．（3分）在m（a﹣x）（x﹣b）﹣mn（a﹣x）（b﹣x）中，公因式是（ ）
A．m B．m（a﹣x）
C．m（a﹣x）（b﹣x） D．（a﹣x）（b﹣x）
【分析】首先把式子进行变形，可变为m（a﹣x）（x﹣b）+mn（a﹣x）（x﹣b），进而可得到公因式m（a﹣x）（b﹣x）．
【解答】解：m（a﹣x）（x﹣b）﹣mn（a﹣x）（b﹣x），
＝m（a﹣x）（x﹣b）+mn（a﹣x）（x﹣b），
＝m（a﹣x）（x﹣b）（1+n）
＝﹣m（a﹣x）（b﹣x）（1+n），
故选：C．
【点评】此题主要考查了找公因式的方法，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．
13．（3分）下列四幅图案能通过基本图形平移得到的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据平移变换的性质即可解决问题．
【解答】解：根据平移变换的性质可知，选项D满足条件，
故选：D．
【点评】本题考查利用图形平移设计图案，解题的关键是熟练掌握基本知识．
14．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（3a2）2＝6a4 B．a2÷a3＝a
C．x3+x3＝2x3 D．2a（3a﹣1）＝6a2﹣1
【分析】利用整式的单项式乘以多项式、合并同类项、幂的乘方、积的乘方运算法则一一进行运算来判断即可．
【解答】解：A．（3a2）2＝9a4，A错误，不符合题意；
B．a2+a3≠a，B错误，不符合题意；
C．x3+x3＝2x3，C正确，符合题意；
D．2a（3a﹣1）＝6a﹣2a，D错误，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了整式的单项式乘以多项式、合并同类项、幂的乘方、积的乘方运算法则，做题关键是一一掌握法则．
15．（3分）在△ABC中，线段AP，AQ，AR分别是BC边上的高线，中线和角平分线，则（ ）
A．AP≤AQ B．AQ≤AR C．AP＞AR D．AP＞AQ
【分析】根据垂线段最短即可判断．
【解答】解：∵AP是BC边上的高线，
∴根据垂线段最短可知：PA≤AQ，
故选：A．
【点评】本题考查三角形的角平分线、高、中线，垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16．（3分）小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲说：“至少25元”乙说：“至多22元，”丙说：“至多20元，”小明说：“你们三个人都说错了”．则这本书的价格x（元）所在的范围为（ ）
A．20＜x＜22 B．22＜x＜25 C．20＜x＜25 D．21＜x＜24
【分析】根据甲、乙、丙三人都说错了，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【解答】解：依题意得：，
∴22＜x＜25．
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
二、填空题（每小题含一个空，每空3分，共12分）
17．（3分）已知方程3x+y＝5，用含x的代数式表示y，则y＝ 5﹣3x ．
【分析】把含y的项放到方程左边，移项即可．
【解答】解：3x+y＝5，
移项、得y＝5﹣3x．
故答案为：5﹣3x．
【点评】本题考查的是方程的基本运算技能：移项、合并同类项、系数化为1等，表示谁就该把谁放到等号的一边，其他的项移到另一边，然后合并同类项、系数化1就可用含y的式子表示x的形式．
18．（3分）如图，由∠A+∠B＝180°，可得：AD∥BC．理由是 同旁内角互补，两直线平行 ．
【分析】根据平行线的判定定理即可得到结论．
【解答】解：由∠A+∠B＝180°，可得：AD∥BC，理由是同旁内角互补，两直线平行；
故答案为：同旁内角互补，两直线平行．
【点评】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
19．（3分）x与6的和大于3，则x的取值范围是 x＞﹣3 ．
【分析】直接根据题意得出x+6＞3，解不等式即可．
【解答】解：由题意可得：x+6＞3，
解得：x＞﹣3．
故答案为：x＞﹣3．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确理解题意是解题关键．
20．（3分）已知x＝4﹣y，xy＝2，计算x2+y2的值为 12 ．
【分析】由已知可得x+y＝4，xy＝2，再根据完全平方公式可得答案．
【解答】解：∵x＝4﹣y，
∴x+y＝4，
∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝42﹣4＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．
三、解答题（含6个题目，共计66分．解答题要求写出必要的解题过程）
21．（3分）计算：[（a+2b）（a﹣2b）﹣（a﹣2b）2]÷2b．
【分析】先用完全平方、平方差公式展开，将括号内合并同类项后再计算除法．
【解答】解：原式＝[a2﹣4b2﹣（a2﹣4ab+4b2）]÷2b
＝（a2﹣4b2﹣a2+4ab﹣4b2）÷2b
＝（4ab﹣8b2）÷2b
＝2a﹣4b．
【点评】本题考查整式混合运算，解题的关键是掌握完全平方、平方差公式及合并同类项的法则．
22．（9分）3月12日是我国的植树节，这一天，某校七年级共有240名学生参加义务植树活动，如果平均每人每天挖树坑6个或栽树10棵，那么，怎样安排学生才能使这一天挖出的树坑全部栽上树苗？
【分析】首先设x名学生挖坑，则有（240﹣x）人栽树，根据使这一天挖出的树坑全部栽上树苗，即树坑和树苗的数量相等进而得出答案．
【解答】解：设x名学生挖坑，则有（240﹣x）人栽树，根据题意可得：
6x＝10（240﹣x），
解得：x＝150，
故240﹣150＝90（人），
答：150名学生挖坑，有90人栽树．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意结合树坑和树苗的数量相等得出等式是解题关键．
23．（10分）根据题意画出图形，并填注理由．
证明：三角形的内角和等于180°．
已知：△ABC．
求证：∠A+∠B+∠C＝180°．
证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥BA．
∵CE∥BA（辅助线）
∴∠B＝∠ECD（ 两直线平行，同位角相等 ）
∠A＝∠ACE（ 两直线平行，内错角相等 ）
∵∠BCA+∠ACE+∠ECD＝180°（ 平角的定义 ）
∴∠A+∠B+∠ACB＝180°（ 等量代换 ）
【分析】作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥BA，根据平行线的性质，可得∠B＝∠ECD，∠A＝∠ACE，再根据平角的定义即可得出结论．
【解答】证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥BA．
∵CE∥BA（辅助线）
∴∠B＝∠ECD（ 两直线平行，同位角相等），
∠A＝∠ACE（ 两直线平行，内错角相等），
∵∠BCA+∠ACE+∠ECD＝180°（ 平角的定义），
∴∠A+∠B+∠ACB＝180°（ 等量代换），
故答案为：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；平角的定义；等量代换．
【点评】本题考查了平行线的性质，平角的定义等知识，熟练掌握平行线的性质以及平角的定义是解题的关键．
24．（10分）阅读理解，并解答下面的问题：
拆项法原理：在多项式乘法运算中，常经过整理、化简，通常将几个同类项合并为一项，或相互抵消为零．反过来，在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项（拆项）．
例：分解因式：x2+4x+3
解：原式＝x2+x+3x+3……………………………把4x分成x和3x
＝（x2+x）+（3x+3）…………………将原式分成两组
＝x（x+1）+3（x+1）………………对每一组分别提取公因式
＝（x+3）（x+1）………………………继续提公因式
请类比上面的示例，分解因式：x2+5x+6
【分析】把5x分成2x和3x，将原式分成两组，对每一组分别提取公因式，继续提公因式即可得出答案．
【解答】解：原式＝（x2+2x）+（3x+6）
＝x（x+2）+3（x+2）
＝（x+2）（x+3）．
【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，阅读型，把5x分成2x和3x是解题的关键．
25．（14分）伴随2022年北京冬奥会的进行，冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”深受广大人民的喜爱．某单位准备购进吉祥物系列商品冰墩墩毛绒玩具和雪容融钥匙扣共20个．在某官方旗舰店看到冰墩墩毛绒玩具每个180元，雪容融钥匙扣每个70元．
（1）该单位准备用不超过3000元的资金购进冰墩墩毛绒玩具和雪容融钥匙扣，问最多可以购进冰墩墩毛绒玩具多少个？
（2）若购进雪容融钥匙扣的数量不超过冰墩墩毛绒玩具数量的3倍，求此时所用的最少资金．
【分析】设购进冰墩墩毛绒玩具x个，则购进雪容融钥匙扣（20﹣x）个，
（1）根据题意可得：180x+70（20﹣x）≤3000，解出不等式取最大整数即可；
（2）根据购进雪容融钥匙扣的数量不超过冰墩墩毛绒玩具数量的3倍，得20﹣x≤3x，解得x范围，即可得到答案．
【解答】解：设购进冰墩墩毛绒玩具x个，则购进雪容融钥匙扣（20﹣x）个，
（1）根据题意得：180x+70（20﹣x）≤3000，
解得x≤14，
∵x为整数，
∴x最大取14，
答：最多可以购进冰墩墩毛绒玩具14个；
（2）∵购进雪容融钥匙扣的数量不超过冰墩墩毛绒玩具数量的3倍，
∴20﹣x≤3x，
解得x≥5，
当x＝5时，所用的资金最少为5×180+（20﹣5）×70＝1950（元），
答：此时所用的最少资金是1950元．
【点评】本题考查一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出不等式．
26．（14分）阅读并填空将三角尺（△MPN，∠MPN＝90°）放置在△ABC上（点P在△ABC内），如图1所示，三角尺的两边PM、PN恰好经过点B和点C．我们来探究：∠ABP与∠ACP是否存在某种数量关系．
（1）特例探索：
若∠A＝50°，则∠PBC+∠PCB＝ 90 度；∠ABP+∠ACP＝ 40 度；
（2）类比探索：
∠ABP、∠ACP、∠A的关系是 ∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A ；
（3）变式探索：
如图2所示，改变三角尺的位置，使点P在△ABC外，三角尺的两边PM、PN仍恰好经过点B和点C，则∠ABP、∠ACP、∠A的关系是 ∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A ．
【分析】（1）利用三角形内角和定理即可解决问题．
（2）结论：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．利用三角形内角和定理即可证明．
（3）不成立；存在结论：∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A．利用三角形内角和定理即可解决问题．
【解答】解：（1）∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝130°，
∵∠P＝90°，
∴∠PBC+∠PCB＝90°，
∴∠ABP+∠ACP＝130°﹣90°＝40°，
故答案为：90，40；
（2）结论：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．
证明：∵（∠PBC+∠PCB）+（∠ABP+∠ACP）+∠A＝180°，
∴90°+（∠ABP+∠ACP）+∠A＝180°，
∴∠ABP+∠ACP+∠A＝90°，
∴∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．
故答案为：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A；
（3）结论：∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A，
理由是：设AB交PC于O，如图2：
∵∠AOC＝∠POB，
∴∠ACO+∠A＝∠P+∠PBO，即∠ACP+∠A＝90°+∠ABP，
∴∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A，
故答案为：∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A．
【点评】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
2021-2022学年河北省唐山市滦南县七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（1～10题每小题3分，11～16题每小题3分，共42分．每小题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个）
1．（3分）下列方程中是二元一次方程的是（ ）
A．x2+2y＝2 B．x+y＝0 C．x+2＝1 D．+y＝4
2．（3分）下列各图中，∠1和∠2构成对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）计算a3•a3的结果是（ ）
A．a5 B．a6 C．a9 D．2a3
4．（3分）下列图形中有稳定性的是（ ）
A．正方形 B．长方形 C．三角形 D．平行四边形
5．（3分）用不等式表示图中的不等式的解集，其中正确的是（ ）
A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．﹣3＜x＜2 D．x≥﹣3
6．（3分）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．m（a+b）＝ma+mb B．x2+4x+1＝x（x+4）+1
C．m2﹣m＝m（m﹣1） D．2x+1＝x（2+）
7．（3分）方程5x﹣2y＝4与下列方程构成的方程组的解为的是（ ）
A．2x+y＝7 B．2x﹣y＝5 C．x﹣2y＝﹣3 D．x+y＝10
8．（3分）下列命题：
①内错角相等；
②两个锐角的和是钝角；
③a，b，c是同一平面内的三条直线，若a∥b，b∥c，则a∥c；
④a，b，c是同一平面内的三条直线，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；
其中真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（3分）2021年10月16日我国用长征二号F运载火箭将神舟十三号载人飞船送入近地轨道，并与近地点高度384000米的空间站天和核心舱进行交会对接．数据384000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.384×105 B．3.84×105 C．3.84×104 D．384×103
10．（3分）如图，下列条件中，不能判断直线a∥b的是（ ）
A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠3 C．∠4＝∠5 D．∠2+∠4＝180°
11．（3分）若a＞b，c是任意一个不为0的实数，则下列不等式成立的是（ ）
A．a﹣c＜b﹣c B．ac＞bc C． D．a+c＞b+c
12．（3分）在m（a﹣x）（x﹣b）﹣mn（a﹣x）（b﹣x）中，公因式是（ ）
A．m B．m（a﹣x）
C．m（a﹣x）（b﹣x） D．（a﹣x）（b﹣x）
13．（3分）下列四幅图案能通过基本图形平移得到的是（ ）
A． B．
C． D．
14．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（3a2）2＝6a4 B．a2÷a3＝a
C．x3+x3＝2x3 D．2a（3a﹣1）＝6a2﹣1
15．（3分）在△ABC中，线段AP，AQ，AR分别是BC边上的高线，中线和角平分线，则（ ）
A．AP≤AQ B．AQ≤AR C．AP＞AR D．AP＞AQ
16．（3分）小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲说：“至少25元”乙说：“至多22元，”丙说：“至多20元，”小明说：“你们三个人都说错了”．则这本书的价格x（元）所在的范围为（ ）
A．20＜x＜22 B．22＜x＜25 C．20＜x＜25 D．21＜x＜24
二、填空题（每小题含一个空，每空3分，共12分）
17．（3分）已知方程3x+y＝5，用含x的代数式表示y，则y＝ ．
18．（3分）如图，由∠A+∠B＝180°，可得：AD∥BC．理由是 ．
19．（3分）x与6的和大于3，则x的取值范围是 ．
20．（3分）已知x＝4﹣y，xy＝2，计算x2+y2的值为 ．
三、解答题（含6个题目，共计66分．解答题要求写出必要的解题过程）
21．（3分）计算：[（a+2b）（a﹣2b）﹣（a﹣2b）2]÷2b．
22．（9分）3月12日是我国的植树节，这一天，某校七年级共有240名学生参加义务植树活动，如果平均每人每天挖树坑6个或栽树10棵，那么，怎样安排学生才能使这一天挖出的树坑全部栽上树苗？
23．（10分）根据题意画出图形，并填注理由．
证明：三角形的内角和等于180°．
已知：△ABC．
求证：∠A+∠B+∠C＝180°．
证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥BA．
∵CE∥BA（辅助线）
∴∠B＝∠ECD（ ）
∠A＝∠ACE（ ）
∵∠BCA+∠ACE+∠ECD＝180°（ ）
∴∠A+∠B+∠ACB＝180°（ ）
24．（10分）阅读理解，并解答下面的问题：
拆项法原理：在多项式乘法运算中，常经过整理、化简，通常将几个同类项合并为一项，或相互抵消为零．反过来，在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项（拆项）．
例：分解因式：x2+4x+3
解：原式＝x2+x+3x+3……………………………把4x分成x和3x
＝（x2+x）+（3x+3）…………………将原式分成两组
＝x（x+1）+3（x+1）………………对每一组分别提取公因式
＝（x+3）（x+1）………………………继续提公因式
请类比上面的示例，分解因式：x2+5x+6
25．（14分）伴随2022年北京冬奥会的进行，冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”深受广大人民的喜爱．某单位准备购进吉祥物系列商品冰墩墩毛绒玩具和雪容融钥匙扣共20个．在某官方旗舰店看到冰墩墩毛绒玩具每个180元，雪容融钥匙扣每个70元．
（1）该单位准备用不超过3000元的资金购进冰墩墩毛绒玩具和雪容融钥匙扣，问最多可以购进冰墩墩毛绒玩具多少个？
（2）若购进雪容融钥匙扣的数量不超过冰墩墩毛绒玩具数量的3倍，求此时所用的最少资金．
26．（14分）阅读并填空将三角尺（△MPN，∠MPN＝90°）放置在△ABC上（点P在△ABC内），如图1所示，三角尺的两边PM、PN恰好经过点B和点C．我们来探究：∠ABP与∠ACP是否存在某种数量关系．
（1）特例探索：
若∠A＝50°，则∠PBC+∠PCB＝ 度；∠ABP+∠ACP＝ 度；
（2）类比探索：
∠ABP、∠ACP、∠A的关系是 ；
（3）变式探索：
如图2所示，改变三角尺的位置，使点P在△ABC外，三角尺的两边PM、PN仍恰好经过点B和点C，则∠ABP、∠ACP、∠A的关系是 ．
2021-2022学年河北省唐山市滦南县七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（1～10题每小题3分，11～16题每小题3分，共42分．每小题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个）
1．（3分）下列方程中是二元一次方程的是（ ）
A．x2+2y＝2 B．x+y＝0 C．x+2＝1 D．+y＝4
【分析】根据二元一次方程的定义即可求出答案．含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程．
【解答】解：A．该方程符合二元二次方程的定义，故不符合题意；
B．该方程是二元一次方程，故符合题意；
C．该方程是一元一次方程，故不符合题意；
D．该方程不是整式方程，故不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查二元一次方程的定义，解题的关键是正确理解二元一次方程的定义，本题属于基础题型．
2．（3分）下列各图中，∠1和∠2构成对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据对顶角的概念判断即可．
【解答】解：只有B选项中，∠1和∠2构成对顶角，
其余3个选项中，∠1和∠2不能构成对顶角，
故选：B．
【点评】本题考查的是对顶角的概念，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
3．（3分）计算a3•a3的结果是（ ）
A．a5 B．a6 C．a9 D．2a3
【分析】利用同底数幂的乘法法则进行计算，即可得出结果．
【解答】解：a3•a3＝a6，
故选：B．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则是解决问题的关键．
4．（3分）下列图形中有稳定性的是（ ）
A．正方形 B．长方形 C．三角形 D．平行四边形
【分析】根据三角形具有稳定性解答．
【解答】解：根据三角形具有稳定性，可得四个选项中只有直角三角形具有稳定性．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形具有稳定性，是基础题，需熟记．
5．（3分）用不等式表示图中的不等式的解集，其中正确的是（ ）
A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．﹣3＜x＜2 D．x≥﹣3
【分析】根据图中的不等式的解集，﹣3是实心点表示包括﹣3，方向向右表示大于﹣3即可得出答案．
【解答】解：根据图中的不等式的解集，﹣3是实心点表示包括﹣3，方向向右表示大于﹣3，
∴x≥﹣3．
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的解集，掌握﹣3是实心点表示包括﹣3，方向向右表示大于﹣3是解题的关键．
6．（3分）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．m（a+b）＝ma+mb B．x2+4x+1＝x（x+4）+1
C．m2﹣m＝m（m﹣1） D．2x+1＝x（2+）
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，依据分解因式的定义进行判断即可．
【解答】解：A．m（a+b）＝ma+mb，从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．x2+4x+1＝x（x+4）+1，等式的右边不是几个整式的积的形式，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．m2﹣m＝m（m﹣1），从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D．2x+1＝x（2+），等式的右边不是几个整式的积的形式，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解的定义，解题时注意因式分解与整式乘法是相反的过程，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．
7．（3分）方程5x﹣2y＝4与下列方程构成的方程组的解为的是（ ）
A．2x+y＝7 B．2x﹣y＝5 C．x﹣2y＝﹣3 D．x+y＝10
【分析】把代入每个选项中得方程，方程左右的数值相等，就是此方程的解，进而是能与方程5x﹣2y＝4，构成的方程组．
【解答】解：A：把代入2x+y，
得左边＝2×2+3＝7，
∴左边＝右边，
B：把代入2x﹣y，
得左边＝1，
∴左边≠右边，
C：把代入x﹣2y，
得左边＝﹣4，
∴左边≠右边，
D：把代入x+y
得左边＝5，
∴左边≠右边，
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，掌握把解代入方程看左右是否相等是解题关键．
8．（3分）下列命题：
①内错角相等；
②两个锐角的和是钝角；
③a，b，c是同一平面内的三条直线，若a∥b，b∥c，则a∥c；
④a，b，c是同一平面内的三条直线，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；
其中真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据平行线的判定及性质、平行公理等知识逐项判定即可．
【解答】解：①两直线平行、内错角相等，故①为假命题；
②两个锐角的和不一定是钝角，例如30°和60°，这两个锐角之和就不是钝角，故②为假命题；
③a，b，c是同一平面内的三条直线，若a∥b，b∥c，则a∥c，正确，故③为真命题；
④a，b，c是同一平面内的三条直线，若a⊥b，b⊥c，则a∥c，故④为假命题；
∴真命题为③，
故选：A．
【点评】本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握平行线的判定及性质、平行公理等知识是解答此题的关键．
9．（3分）2021年10月16日我国用长征二号F运载火箭将神舟十三号载人飞船送入近地轨道，并与近地点高度384000米的空间站天和核心舱进行交会对接．数据384000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.384×105 B．3.84×105 C．3.84×104 D．384×103
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将384000用科学记数法表示为：3.84×105．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10．（3分）如图，下列条件中，不能判断直线a∥b的是（ ）
A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠3 C．∠4＝∠5 D．∠2+∠4＝180°
【分析】根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行对各选项进行判断．
【解答】解：当∠1＝∠3时，a∥b；
当∠4＝∠5时，a∥b；
当∠2+∠4＝180°时，a∥b．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
11．（3分）若a＞b，c是任意一个不为0的实数，则下列不等式成立的是（ ）
A．a﹣c＜b﹣c B．ac＞bc C． D．a+c＞b+c
【分析】根据不等式的性质，不等式两边同加同减一个实数，不等号方向不变，同乘或同除大于0的数，不等号方向不变，同乘或同除一个负数，不等号方向改变，可得答案．
【解答】解：A．∵a＞b，
∴a﹣c＞b﹣c，故A不符合题意；
B．a＞b，当c＜0时，ac＜bc，故B不符合题意；
C．a＞b，当c＜0时，，故C不符合题意；
D．∵a＞b，
∴a+c＞b+c，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题关键．
12．（3分）在m（a﹣x）（x﹣b）﹣mn（a﹣x）（b﹣x）中，公因式是（ ）
A．m B．m（a﹣x）
C．m（a﹣x）（b﹣x） D．（a﹣x）（b﹣x）
【分析】首先把式子进行变形，可变为m（a﹣x）（x﹣b）+mn（a﹣x）（x﹣b），进而可得到公因式m（a﹣x）（b﹣x）．
【解答】解：m（a﹣x）（x﹣b）﹣mn（a﹣x）（b﹣x），
＝m（a﹣x）（x﹣b）+mn（a﹣x）（x﹣b），
＝m（a﹣x）（x﹣b）（1+n）
＝﹣m（a﹣x）（b﹣x）（1+n），
故选：C．
【点评】此题主要考查了找公因式的方法，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．
13．（3分）下列四幅图案能通过基本图形平移得到的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据平移变换的性质即可解决问题．
【解答】解：根据平移变换的性质可知，选项D满足条件，
故选：D．
【点评】本题考查利用图形平移设计图案，解题的关键是熟练掌握基本知识．
14．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（3a2）2＝6a4 B．a2÷a3＝a
C．x3+x3＝2x3 D．2a（3a﹣1）＝6a2﹣1
【分析】利用整式的单项式乘以多项式、合并同类项、幂的乘方、积的乘方运算法则一一进行运算来判断即可．
【解答】解：A．（3a2）2＝9a4，A错误，不符合题意；
B．a2+a3≠a，B错误，不符合题意；
C．x3+x3＝2x3，C正确，符合题意；
D．2a（3a﹣1）＝6a﹣2a，D错误，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了整式的单项式乘以多项式、合并同类项、幂的乘方、积的乘方运算法则，做题关键是一一掌握法则．
15．（3分）在△ABC中，线段AP，AQ，AR分别是BC边上的高线，中线和角平分线，则（ ）
A．AP≤AQ B．AQ≤AR C．AP＞AR D．AP＞AQ
【分析】根据垂线段最短即可判断．
【解答】解：∵AP是BC边上的高线，
∴根据垂线段最短可知：PA≤AQ，
故选：A．
【点评】本题考查三角形的角平分线、高、中线，垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16．（3分）小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲说：“至少25元”乙说：“至多22元，”丙说：“至多20元，”小明说：“你们三个人都说错了”．则这本书的价格x（元）所在的范围为（ ）
A．20＜x＜22 B．22＜x＜25 C．20＜x＜25 D．21＜x＜24
【分析】根据甲、乙、丙三人都说错了，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【解答】解：依题意得：，
∴22＜x＜25．
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
二、填空题（每小题含一个空，每空3分，共12分）
17．（3分）已知方程3x+y＝5，用含x的代数式表示y，则y＝ 5﹣3x ．
【分析】把含y的项放到方程左边，移项即可．
【解答】解：3x+y＝5，
移项、得y＝5﹣3x．
故答案为：5﹣3x．
【点评】本题考查的是方程的基本运算技能：移项、合并同类项、系数化为1等，表示谁就该把谁放到等号的一边，其他的项移到另一边，然后合并同类项、系数化1就可用含y的式子表示x的形式．
18．（3分）如图，由∠A+∠B＝180°，可得：AD∥BC．理由是 同旁内角互补，两直线平行 ．
【分析】根据平行线的判定定理即可得到结论．
【解答】解：由∠A+∠B＝180°，可得：AD∥BC，理由是同旁内角互补，两直线平行；
故答案为：同旁内角互补，两直线平行．
【点评】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
19．（3分）x与6的和大于3，则x的取值范围是 x＞﹣3 ．
【分析】直接根据题意得出x+6＞3，解不等式即可．
【解答】解：由题意可得：x+6＞3，
解得：x＞﹣3．
故答案为：x＞﹣3．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确理解题意是解题关键．
20．（3分）已知x＝4﹣y，xy＝2，计算x2+y2的值为 12 ．
【分析】由已知可得x+y＝4，xy＝2，再根据完全平方公式可得答案．
【解答】解：∵x＝4﹣y，
∴x+y＝4，
∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝42﹣4＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．
三、解答题（含6个题目，共计66分．解答题要求写出必要的解题过程）
21．（3分）计算：[（a+2b）（a﹣2b）﹣（a﹣2b）2]÷2b．
【分析】先用完全平方、平方差公式展开，将括号内合并同类项后再计算除法．
【解答】解：原式＝[a2﹣4b2﹣（a2﹣4ab+4b2）]÷2b
＝（a2﹣4b2﹣a2+4ab﹣4b2）÷2b
＝（4ab﹣8b2）÷2b
＝2a﹣4b．
【点评】本题考查整式混合运算，解题的关键是掌握完全平方、平方差公式及合并同类项的法则．
22．（9分）3月12日是我国的植树节，这一天，某校七年级共有240名学生参加义务植树活动，如果平均每人每天挖树坑6个或栽树10棵，那么，怎样安排学生才能使这一天挖出的树坑全部栽上树苗？
【分析】首先设x名学生挖坑，则有（240﹣x）人栽树，根据使这一天挖出的树坑全部栽上树苗，即树坑和树苗的数量相等进而得出答案．
【解答】解：设x名学生挖坑，则有（240﹣x）人栽树，根据题意可得：
6x＝10（240﹣x），
解得：x＝150，
故240﹣150＝90（人），
答：150名学生挖坑，有90人栽树．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意结合树坑和树苗的数量相等得出等式是解题关键．
23．（10分）根据题意画出图形，并填注理由．
证明：三角形的内角和等于180°．
已知：△ABC．
求证：∠A+∠B+∠C＝180°．
证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥BA．
∵CE∥BA（辅助线）
∴∠B＝∠ECD（ 两直线平行，同位角相等 ）
∠A＝∠ACE（ 两直线平行，内错角相等 ）
∵∠BCA+∠ACE+∠ECD＝180°（ 平角的定义 ）
∴∠A+∠B+∠ACB＝180°（ 等量代换 ）
【分析】作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥BA，根据平行线的性质，可得∠B＝∠ECD，∠A＝∠ACE，再根据平角的定义即可得出结论．
【解答】证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥BA．
∵CE∥BA（辅助线）
∴∠B＝∠ECD（ 两直线平行，同位角相等），
∠A＝∠ACE（ 两直线平行，内错角相等），
∵∠BCA+∠ACE+∠ECD＝180°（ 平角的定义），
∴∠A+∠B+∠ACB＝180°（ 等量代换），
故答案为：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；平角的定义；等量代换．
【点评】本题考查了平行线的性质，平角的定义等知识，熟练掌握平行线的性质以及平角的定义是解题的关键．
24．（10分）阅读理解，并解答下面的问题：
拆项法原理：在多项式乘法运算中，常经过整理、化简，通常将几个同类项合并为一项，或相互抵消为零．反过来，在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项（拆项）．
例：分解因式：x2+4x+3
解：原式＝x2+x+3x+3……………………………把4x分成x和3x
＝（x2+x）+（3x+3）…………………将原式分成两组
＝x（x+1）+3（x+1）………………对每一组分别提取公因式
＝（x+3）（x+1）………………………继续提公因式
请类比上面的示例，分解因式：x2+5x+6
【分析】把5x分成2x和3x，将原式分成两组，对每一组分别提取公因式，继续提公因式即可得出答案．
【解答】解：原式＝（x2+2x）+（3x+6）
＝x（x+2）+3（x+2）
＝（x+2）（x+3）．
【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，阅读型，把5x分成2x和3x是解题的关键．
25．（14分）伴随2022年北京冬奥会的进行，冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”深受广大人民的喜爱．某单位准备购进吉祥物系列商品冰墩墩毛绒玩具和雪容融钥匙扣共20个．在某官方旗舰店看到冰墩墩毛绒玩具每个180元，雪容融钥匙扣每个70元．
（1）该单位准备用不超过3000元的资金购进冰墩墩毛绒玩具和雪容融钥匙扣，问最多可以购进冰墩墩毛绒玩具多少个？
（2）若购进雪容融钥匙扣的数量不超过冰墩墩毛绒玩具数量的3倍，求此时所用的最少资金．
【分析】设购进冰墩墩毛绒玩具x个，则购进雪容融钥匙扣（20﹣x）个，
（1）根据题意可得：180x+70（20﹣x）≤3000，解出不等式取最大整数即可；
（2）根据购进雪容融钥匙扣的数量不超过冰墩墩毛绒玩具数量的3倍，得20﹣x≤3x，解得x范围，即可得到答案．
【解答】解：设购进冰墩墩毛绒玩具x个，则购进雪容融钥匙扣（20﹣x）个，
（1）根据题意得：180x+70（20﹣x）≤3000，
解得x≤14，
∵x为整数，
∴x最大取14，
答：最多可以购进冰墩墩毛绒玩具14个；
（2）∵购进雪容融钥匙扣的数量不超过冰墩墩毛绒玩具数量的3倍，
∴20﹣x≤3x，
解得x≥5，
当x＝5时，所用的资金最少为5×180+（20﹣5）×70＝1950（元），
答：此时所用的最少资金是1950元．
【点评】本题考查一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出不等式．
26．（14分）阅读并填空将三角尺（△MPN，∠MPN＝90°）放置在△ABC上（点P在△ABC内），如图1所示，三角尺的两边PM、PN恰好经过点B和点C．我们来探究：∠ABP与∠ACP是否存在某种数量关系．
（1）特例探索：
若∠A＝50°，则∠PBC+∠PCB＝ 90 度；∠ABP+∠ACP＝ 40 度；
（2）类比探索：
∠ABP、∠ACP、∠A的关系是 ∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A ；
（3）变式探索：
如图2所示，改变三角尺的位置，使点P在△ABC外，三角尺的两边PM、PN仍恰好经过点B和点C，则∠ABP、∠ACP、∠A的关系是 ∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A ．
【分析】（1）利用三角形内角和定理即可解决问题．
（2）结论：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．利用三角形内角和定理即可证明．
（3）不成立；存在结论：∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A．利用三角形内角和定理即可解决问题．
【解答】解：（1）∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝130°，
∵∠P＝90°，
∴∠PBC+∠PCB＝90°，
∴∠ABP+∠ACP＝130°﹣90°＝40°，
故答案为：90，40；
（2）结论：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．
证明：∵（∠PBC+∠PCB）+（∠ABP+∠ACP）+∠A＝180°，
∴90°+（∠ABP+∠ACP）+∠A＝180°，
∴∠ABP+∠ACP+∠A＝90°，
∴∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．
故答案为：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A；
（3）结论：∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A，
理由是：设AB交PC于O，如图2：
∵∠AOC＝∠POB，
∴∠ACO+∠A＝∠P+∠PBO，即∠ACP+∠A＝90°+∠ABP，
∴∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A，
故答案为：∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A．
【点评】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
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