人教版九年级上册22.1.1 二次函数优质课ppt课件

人教版初中数学九年级上册

22.1.7 二次函数字母系数与图象的关系 教学设计

一、教学目标：

1.理解并掌握二次函数字母系数与图象的关系.(难点）

2.能灵活利用二次函数字母系数与图象的关系解决相关问题.（重点）

二、教学过程：

复习回顾

（1）对称轴是直线_______，顶点是_________.

（2）如果a＞0时，那么当_______时，y最小值=________； 

（3）如果a＜0时，那么当_______时，y最大值=________.

（4）如果a＞0，当________时，y随x的增大而减小，当_______时，y随x的增大而增大；

（5）如果a＜0，当________时，y随x的增大而增大，当________时，y随x的增大而减小.

知识精讲

一次函数y=kx+b的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空：

探究：二次函数的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空：

二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系

典例解析

例1.在同一坐标系中一次函数y=ax-b和二次函数y=ax2+bx+c的图象可能为（  ）

【分析】解：A.由抛物线可知，a>0，x=−b/2a>0，得b<0，由直线可知，a>0，b>0，故本选项错误；

B．由抛物线可知，a>0，由直线可知，a<0，故本选项错误；

C．由抛物线可知，a<0，x=−b/2a>0，得b>0，由直线可知，a<0，b>0，故本选项正确；

D．由抛物线可知，a<0，由直线可知，a>0，故本选项错误．

故选：C．

【针对练习】在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx(a≠0)与y=ax+b的图象可能是（   ）

例2.如图，一次函数y1=x与二次函数y2=x2+bx+c的图像相交于P、Q两点，则函数y=x2+(b-1)x+c的图像可能是（  ）

解： 由=x2+bx+c图象可知，对称轴x=＞0，，

，抛物线与y轴的交点在x轴下方，故选项B，C错误，

抛物线的对称轴为，

∴，

∴抛物线y=x2+（b-1）x+c的对称轴在y轴的右侧，故选项D错误，

故选：A．

例3．二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：

且当时，其对应的函数值．有下列结论：

①；②和3是关于x的方程的两个根；③对称轴为；④；其中，正确结论的个数是（       ）

A．0 B．1 C．2 D．3

解：二次函数（a，b，c是常数，），

当时，，

当时，，

．

当时，其对应的函数值，

二次函数开口向下，．

，，，

．（①结论符合题意）

时，，

是关于x的方程的根．

对称轴，，（③结论不符合题意）

和3是关于x的方程的两个根．（②结论符合题意）

时，，

时，，

．

．（④结论不符合题意）

正确的结论有2个．

故选：C．

【针对练习】已知二次函数（，，是常数，且）的自变量与函数值的部分对应值如下表：

当时，与其对应的函数值，给出下列四个结论：①；②关于的方程的两个根是和2；③；④（为任意实数．）其中正确结论的个数是（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

解：由表格可知，该抛物线图象经过点，

∴ 该抛物线的对称轴为，；

∵ 当时，与其对应的函数值，

∴ 抛物线开口向上，

∴ ，

∴ ，故①正确；

由图象经过的点和抛物线对称性可知，，故②正确；

由当时，与其对应的函数值，

得到

∴ ，

当时，，

∴ ，故③错误；

由对称轴为，图象开口向上可得：

，

∴ ，故④正确；

故选：C．

例4.如图，抛物线过点，且对称轴为直线，有下列结论①；②：③抛物线经过点与点，则；④无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点；⑤，其中正确的结论是（       ）

A．①②③ B．③④⑤ C．②③④ D．②④⑤

解：由图象可知，抛物线开口向上，则a＞0，

∵ 对称轴为直线x＝1，

∴ ﹣＝1，

∴  b＝﹣2a＜0，

∴  b＜0，

∵  抛物线与y轴交于负半轴，

∴  c＜0，

∴  abc＞0，故①错误；

∵  抛物线y＝ax2+bx+c过点（﹣1，0），且对称轴为直线x＝1，

∴  抛物线y＝ax2+bx+c过点（3，0），

∴  当x＝3时，y＝9a+3b+c＝0，

∵  a＞0，

∴  10a+3b+c＞0，故②正确；

∵  对称轴为x＝1，且开口向上，

∴  离对称轴水平距离越大，函数值越大，

∵｜4－1｜＜｜﹣3－1｜，

∴  y1＜y2，故③错误；

当x＝﹣时，，

∵  当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，

∴  当x＝﹣时，y＝a•（﹣）2+b•（﹣）+c＝0，

即无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点（﹣，0），故④正确；

x＝m对应的函数值为y＝am2+bm+c，

x＝1对应的函数值为y＝a+b+c，

又∵x＝1时函数取得最小值，

∴  am2+bm+c≥a+b+c，即am2+bm≥a+b，

∵  b＝﹣2a，

∴  a＋b＝﹣a，

∴  am2+bm≥﹣a，

∴  am2+bm+a≥0，故⑤正确；

故选：D．

【针对练习】二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②2a＋b＜0；③a﹣b＋c＞0；④9a＋3b＋c＜0，其中正确的是（       ）

A．①③④ B．①②③ C．①③ D．②③

解：由抛物线的开口向上，得到a＞0，

∵ ﹣＞0，

∴  b＜0，

由抛物线与y轴交于负半轴，得到c＜0，

∴  abc＞0，选项①正确；

∵ 对称轴为直线x＝1，

∴ ﹣＝1，即b＝﹣2a，

∴  2a+b＝0，选项②错误；

根据图象知，当x＝﹣1时，y＞0，

即a﹣b+c＞0．选项③正确；

∵  抛物线对称轴为直线x＝1，

∴  x＝3与x＝﹣1时函数值相等，

又∵  x＝﹣1时，y＞0，

∴  x＝3时，y＝9a+3b+c＞0，选项④错误；

则其中正确的选项有①③．

故选：C．

例5.如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点，若，则下列四个结论：①，②，③，④．

正确结论的个数为（  ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

解：∵对称轴为直线x=1，-2<x1<-1，

∴3＜x2＜4，①正确，

∵ = 1，

∴b=- 2а，

∴3a＋2b= 3a-4a= -a，

∵a＞0，

∴3a+2b<0，②错误；

∵抛物线与x轴有两个交点，

∴b2 - 4ac > 0，根据题意可知x=-1时，y<0，

∴a－b＋c<0，

∴a＋c<b，

∵a＞0，

∴b=-2a<0，

∴a＋c<0，

∴b2 -4ac > a+ c，

∴b2＞a＋c＋4ac，③正确；

∵抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方，

∴a＞0，c<0，

∴a>c，

∵a-b＋c<0，b=-2a，

∴3a+c<0，

∴c<-3a，

∴b=–2a，

∴b＞c，以④错误；

故选B

例6.如图，已知抛物线的顶点是，与x轴交于点，给出以下结论：①；②；③若，则或；④．其中正确的结论个数是（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

解：∵抛物线开口向上，

∴，

∵对称轴为直线，

∴，

∵抛物线与y轴的交点在负半轴，

∴，

∴，故①错误；

∵抛物线与x轴交于，对称轴为，

∴抛物线与x轴的另一个交点为，

当x=2时，位于x轴上方，

∴，故②正确；

根据抛物线的对称轴为直线x=-1可知，当y=c时，x=-2或0，

根据二次函数图象，若，则或，故③正确；

当时，①，

当时，②，

+②得：，即，

∵对称轴为直线，

∴，

∴，

∴，

得：，解得，

∴，

即，故④正确；

综上分析可知，正确的有3个，故C正确．

故选：C．

课堂小结

1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？

达标检测

1．已知二次函数?=??2+??−?(?≠0)，其中?>0、?>0，则该函数的图象可能为（ ）

2．已知，在同一平面直角坐标系中，二次函数?=??2与一次函数?=??+?的图象如图所示，则二次函数?=??2+??+?的图象可能是（  ）

3．已知二次函数?=??2+??+?(?≠0)的图象如图所示，有下列结论：①???>0；②4?+2?+?>0；③?−?>?；④3?>−?；⑤?+?>?(??+?)（?≠1，m为实数），其中正确的结论有（ ）个．

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

4．已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，与x轴正半轴的交点为A（3，0），其部分图象如图所示，有下列结论：①abc>0；②2c﹣3b <0；③5a +b+2c=0；④若B（4/3，y1）、C（1/3，y2）、D（−1/3，y3）是抛物线上的三点，则y1<y2<y3．其中正确结论的个数有（　　）

A．1      B．2      C．3       D．4

5．如图所示，已知二次函数?=??2+??+?的图象与?轴交于?，?两点，与?轴交于点?，对称轴为直线?=1，直线?=−?+?与抛物线?=??2+??+?交于?，?两点，?点在?轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①a-b+c＜0；②2?+?+?>0；③?(??+?)≤?+?；④a＞-1，其中正确的有（  ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个