湘教版九年级上册2.2 一元二次方程的解法第1课时教案

2.2 一元二次方程的解法

第1课时

教学目标

【知识与能力】

1、知道根据平方根的定义解形如(x+h) 2=m的方程，它的依据是数的开方；

2、会用平方根的定义解形如(x－a) 2=b (b≥0)的方程；

3、在把(x－a) 2=b (b≥0)看成x 2=b (b≥0)的过程中，引导学生体会“换元”的数学方法。

【过程与方法】

经历探索形如(x+h) 2=m的方程的解法，体会一元二次方程降次的思想和换元的思想。

【情感态度价值观】

让学生通过探索一元二次方程的解法的过程，体验将复杂问题简单化，从而提高学习数学的学习兴趣。

教学重难点

【教学重点】

根据平方根的定义解形如(x+h) 2=m的方程。

【教学难点】

用平方根的定义解形如(x－a) 2=b (b≥0)的方程。

课前准备

无

教学过程

一、一预学：

要求学生复述平方根的意义。

(1)文字语言表示：如果一个数的平方的等于a，这个数叫a的平方根。

(2)用式子表示：若x 2=a，则x叫做a的平方根。

一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；

零的平方根是零；

负数没有平方根。

求适合等于x 2=4的x 的值。

说明：学生不难看出本题的解(x=2或x=－2)，教学中要注意引导学生观察这个方程的特点，探索解这个方程与已学知识(数的开方)的联系。在求出方程 x2－4 = 0 的解以后，引导学生总结：解这样的方程，就是要“求一个数，使它的平方是4”，即求4的平方根，可用开平方的方法。这个过程体现了数学常用的一种重要的数学思想方法——化归。事实上，解决数学问题的过程，就是一系列的转化过程，把未知的转化为已知的，最终使问题解决。

二、探究：

    问题1  如果一元二次方程：aX2 + bX + c = 0 (a≠0)的一次项系数b、常数项c中至少有一个为0，那么就能得到那些特殊的一元二次方程？

 (1) ax2 = 0      (2) ax2 + c = 0      (3) ax2+ bx = 0

问题2  怎样解方程ax2 = 0？

(可以3x2 = 0为具体例子，学生根据平方根的定义，得到x=0。应指出3x2 = 0有两个相等的实数根，即x=0，x=0 ；这与一元一次方程3x=0有一个根x=0是有区别的，进而指出：方程ax2 = 0有两个相等的实数根x=x=0)

问题3  怎样解方程ax2 + c = 0  (a≠0)？

可以(1) x2－4 = 0，(2) 2x2－50 = 0，(3) 2x2+50= 0等方程为例，由学生把它们变形为x2=－的形式，用平方根的定义来求解。接着指出：这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法，其中适合方程(3)的实数x不存在，所以原方程无实数解。

进而引导学生归纳方程ax2+c = 0的解的情况：当a、c异号时，方程ax2+c = 0有两个不相等的实数根；当a、c同号时，方程ax2+c = 0没有实数根。

说明：以上教学设计让学生经历由简单到复杂的研究过程，对于一元二次方程的解有全面了解；通过对方程ax2 + c = 0  (a≠0)解的情况的讨论，体会分类的思想；最后设计的几个过程，让学生判断、求解，体现了“换元”的思想方法。

三、精讲

例1 课本例2

在讲解例1时注意：

1、对于形如“(x－a) 2=b (b≥0)”型的方程，教科书给出的例子是解方程(x+3) 2=2 。这时，只要把x+3看作一个整体，就可以转化为x 2=b (b≥0)型的方法去解决，这里渗透了“换元”的方法。

2、在对方程(x+3) 2=2 两边同时开平方后，原方程就转化为两个一次方程。要向学生指出，这种变形实质上是将原方程“降次”。“降次”也是一种数学方法

例2  不解方程，说出下列方程根的情况：

(1) 1－3x2 = 2x2；   （2） －4x2+1 = 0；   （3） －0. 5x2－2 = 0.

(通过训练，使学生明确一元二次方程的解有三种情况)

例2 解下列方程：

(1) (1－x)2 = 1；（2） (1+x)2－2 = 0；（3）(2x+1) 2+3 = 0；（4）x2－2x+1= 4.

(渗透换元思想训练)

四、课堂练习：

 五、课堂小结：

1、直接开平方法可解下列类型的一元二次方程：x 2=b (b≥0)；(x－a) 2=b (b≥0)。解法的根据是平方根的定义。要特别注意，由于负数没有平方根，所以上述两式中规定了b≥0。当b﹤0时，方程无解。

2、求解形如x 2=b (b≥0)的方程，实质上是“求一个数x，使它的平方是b”，所以用“直接开平方法”；对于形如(x－a) 2=b (b≥0)的方程，只要把x+a看作一个整体X，就可转化为x 2=b (b≥0)的形式，这就是“换元”的方法

六、作业：