（人教A版2019选择性必修第一册）专题03 立体几何中的动点问题和最值问题

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专题03  立体几何中的动点和最值问题题型一  立体几何中的动点问题1．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，下列说法正确的是　　A．直线直线 B．过点的的平面，则平面截正方体所得的截面周长为 C．若线段上有一动点，则到直线的距离的最小值为 D．动点在侧面及其边界上运动，且，则与平面成角正切的取值范围是2．如图，在正方体中，是棱上的动点，下列说法正确的是　　A．对任意动点，在平面内不存在与平面平行的直线 B．对任意动点，在平面内存在与平面垂直的直线 C．当点从运动到的过程中，二面角的大小不变 D．当点从运动到的过程中，点到平面的距离逐渐变大3．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，，且，则下列结论中正确的有　　A．当点运动时，总成立 B．当向运动时，二面角逐渐变小 C．二面角的最小值为 D．三棱锥的体积为定值4．如图，在棱长为6的正方体中，为棱上一点，且，为棱的中点，点是线段上的动点，则　　A．无论点在线段上如何移动，都有异面直线，的夹角为 B．三棱锥的体积为108 C．直线与所成角的余弦值 D．直线与平面所成最大角的余弦值为5．在棱长为1的正方体中，是线段上一个动点，则下列结论正确的有　　A．存在点使得异面直线与所成角为 B．存在点使得异面直线与所成角为 C．存在点使得二面角的平面角为 D．当时，平面截正方体所得的截面面积为6．已知正方体的棱长为4，是棱上的一条线段，且，点是棱的中点，点是棱上的动点，则下面结论中正确的是　　A．与一定不垂直 B．二面角的正弦值是 C．的面积是 D．点到平面的距离是常量7．在长方体中，，点为棱上靠近点的三等分点，点是长方形内一动点（含边界），且直线，与平面所成角的大小相等，则　　A．平面 B．三棱锥的体积为4 C．存在点，使得 D．线段的长度的取值范围为，8．已知正方体棱长为2，如图，为上的动点，平面．下面说法正确的是　　A．直线与平面所成角的正弦值范围为 B．点与点重合时，平面截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大 C．点为的中点时，若平面经过点，则平面截正方体所得截面图形是等腰梯形 D．已知为中点，当的和最小时，为的中点9．如图，在正四棱柱中，，，是侧面内的动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为　　A． B． C．2 D．10．在正三棱柱中，，点满足，其中，，，，则　　A．当时，△的周长为定值 B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当时，有且仅有一个点，使得 D．当时，有且仅有一个点，使得平面11．如图，已知四边形为直角梯形，为矩形，平面平面，，，，．（1）若点为中点，求证：平面；（2）若点为线段上一动点，求与平面所成角的取值范围．12．如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，上的动点，且．（1）求证：；（2）当取得最大值时，求二面角的余弦值． 题型二  立体几何中的最值问题13．在四面体中，是边长为2的正三角形，，二面角的大小为，则下列说法正确的是　　A． B．四面体的体积的最大值为 C．棱的长的最小值为 D．四面体的外接球的表面积为14．已知长方体的高，，，，则当最大时，二面角的余弦值为　　A． B． C． D．15．如图，在棱长为4的正方体中，是棱上的动点，是棱的中点．当平面与底面所成的锐二面角最小时，　　．16．四棱锥的底面是边长为的菱形，面，，，分别是，的中点．（1）求证：平面平面；（2）是上的动点，与平面所成的最大角为，求二面角的余弦值．17．如图，在直三棱柱中，底面三角形为直角三角形，其中，，，，，分别为和的中点．（1）求证：平面；（2）当点在线段上移动时，求直线与平面所成角正弦的最大值．18．如图，矩形所在的平面与半圆弧所在的平面垂直，，，是上异于，的动点．（1）证明：平面平面；（2）设和平面所成角为，求的最大值．19．已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，为棱上的点，．（1）证明：；（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小？20．如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．（1）证明：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．21．如图，在四棱锥中，四边形为矩形，平面，，与平面所成角为，为上一点且．（1）证明：；（2）设平面与平面的交线为，在上取点使，为线段上一动点，求平面与平面所成二面角的余弦值的最大值．22．如图，四边形为直角梯形，其中，，，为腰上的一个动点．为等腰直角三角形，，平面平面．（1）求证：；（2）当直线与平面所成角最大时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．