（人教A版2019选择性必修第一册）专题10 椭圆方程及其简单几何性质中档题突破

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  专题10  椭圆方程及其简单几何性质中档题突破题型一  椭圆的定义1．如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是　　A． B． C． D．【解答】解：由题意可得：方程表示焦点在轴上的椭圆，所以，并且，解得：．故选：．2．方程，化简的结果是　　．【解答】解：方程，表示平面内到定点、的距离的和是常数的点的轨迹，它的轨迹是以、为焦点，长轴，焦距的椭圆；，，；椭圆的方程是，即为化简的结果．故答案为：．3．方程表示焦点在轴的椭圆，那么实数的取值范围是　　．【解答】解：椭圆方程化为．焦点在轴上，则，即．又，．故答案为：4．已知两定点，，直线，在上满足的点有　　个．A．0 B．1 C．2 D．0或1或2【解答】解：由椭圆的定义可知，点的轨迹是以，为焦点的椭圆，故，，，其方程是，把代入椭圆方程并整理得：，由△，在上满足的点有1个．故选：．5．方程表示椭圆的必要不充分条件是　　A． B． C．，， D．【解答】解：由方程表示椭圆，可得，，且，解得且，故是方程表示椭圆的必要条件．但由，不能推出方程表示椭圆，例如时，方程表示圆，不是椭圆，故是方程表示椭圆的必要条件，而不是充分条件，故选：． 题型二  椭圆的标准方程6．已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，且与轴垂直，点与点关于原点对称，直线与椭圆的另一个交点为，若，则的方程为　　A． B． C． D．【解答】解：设，，，，则由题意可得，，可得，所以可得，所以，由题意且与轴垂直，可得，，所以，所以，因为，又因为，所以，所以，所以，而，，，所以椭圆的方程为：，故选：．7．求与椭圆有相同的离心率且经过点的椭圆方程．【解答】解　由题意，当焦点在轴上时，设所求椭圆的方程为，椭圆过点，，椭圆标准方程为．当焦点在轴上时，设方程为，椭圆过点，，椭圆标准方程为．故所求椭圆标准方程为或．8．分别求满足下列条件的椭圆标准方程：（1）中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，；（2）离心率，且与椭圆有相同焦点．【解答】解：（1）设椭圆方程为，且由解得，．所以椭圆方程为．（2）由于所求椭圆与椭圆有相同焦点，设其标准方程为，则，所以．由，则．所以．所以所求椭圆的标准方程为．9．点在焦点为和的椭圆上，若△面积的最大值为16，则椭圆标准方程为　　A． B． C． D．【解答】解：由题意，，即，△面积的最大值为16，，即，，．则椭圆的标准方程为．故选：．10．已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点．若，，则椭圆的方程为　　A． B． C． D．【解答】解：，且，，，，，，，，则在轴上．在△中，，在△中，由余弦定理可得，根据，可得，解得，．椭圆的方程为：．故选：．11．已知椭圆的焦点分别为，点在椭圆上，若，则三角形的面枳为　　A． B． C． D．【解答】解：椭圆的焦点分别为，点在椭圆上，则：，若，所以，．利用余弦定理：，所以，则：．故选：．12．如果椭圆的弦被点平分，那么这条弦所在直线的方程是　　．【解答】解：设弦的两端点，，，，斜率为，则，，两式相减得，即，弦所在的直线方程，即．故答案为：．13．如图，已知椭圆的中心为原点，，为的左焦点，为上一点，满足，且，则椭圆的方程为　　A． B． C． D．【解答】解：由题意可得，设右焦点为，由知，，，所以，由知，，即．在中，由勾股定理，得，由椭圆定义，得，从而，得，于是，所以椭圆的方程为．故选：．14．已知中心在原点的椭圆的右焦点为，离心率等于，则的方程是　　．【解答】解：由题意设椭圆的方程为．因为椭圆的右焦点为，所以，又离心率等于，所以，则．所以椭圆的方程为．故答案为：． 题型三  椭圆的性质15．点为椭圆上一点，、分别是圆和上的动点，则的取值范围是　，　．【解答】解：依题意，椭圆的焦点分别是两圆和的圆心，所以，，则的取值范围是，故答案为：，．16．点，为椭圆的两个焦点．点为椭圆内部的动点．则△周长的取值范围为　　A． B．， C． D．，【解答】解：设椭圆的半焦距为，椭圆，，，，即，△周长为，当在之间时，最小值为2，但此时构不成三角形，故，当在椭圆上时，，△周长取得最大值，但点为椭圆内部的动点．故，△周长的取值范围为．故选：．17．已知，是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上的一个动点，则△的内切圆的半径的最大值是　　A．1 B． C． D．【解答】解：由椭圆，得，，，则，如图，，，则，要使△内切圆半径最大，则需最大，，△内切圆半径的最大值为．故选：．18．已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上，点在圆上，则的最小值为　　A．4 B．5 C．7 D．8【解答】解：圆，则圆心为椭圆的右焦点，又椭圆，则，，，由椭圆的定义可知，，则，所以，当，，三点共线时，取最大值1，所以的最小值为．故选：．19．已知点和，是椭圆上的动点，则最大值是　　A． B． C． D．【解答】解：椭圆，所以为椭圆右焦点，设左焦点为，则由椭圆定义，于是．当不在直线与椭圆交点上时，、、三点构成三角形，于是，而当在直线与椭圆交点上时，在第一象限交点时，有，在第三象限交点时有．显然当在直线与椭圆第三象限交点时有最大值，其最大值为．故选：． 题型四  椭圆的离心率问题20．已知动点到两个定点，的距离之和为，则点轨迹的离心率的取值范围为　　A．， B．， C．， D．【解答】解：由已知到两定点，的距离之和为的点的轨迹是一个椭圆，其中心坐标为，长轴长为，焦距为2，故，，所以离心率，，综上知，点轨迹的离心率的取值范围为，故选：．21．在椭圆中，，分别是其左右焦点，是椭圆上一点，若，则该椭圆离心率的取值范围是　　A． B． C． D．【解答】解：根据椭圆定义，将设代入得，根据椭圆的几何性质，，故，即，故，即，又，故该椭圆离心率的取值范围是．故选：．22．已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围是　　A． B． C． D．【解答】解：设，，则，，由，，化为，，整理得，，，解得，故选：．23．已知椭圆的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为　　A． B． C． D．【解答】解：以线段为直径的圆的圆心为坐标原点，半径为，圆的方程为，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，整理可得，即，即，从而，则椭圆的离心率，故选：．24．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点．若，，则的离心率为　　A． B． C． D．【解答】解：如图所示，以，为邻边作平行四边形，对角线，交于点，则，所以，则，则在三角形中，，由余弦定理可得：，即，整理可得：，解得，所以，且由勾股定理可得，又为的中点，则三角形为等腰三角形，所以，由椭圆的定义可得：，解得，故选：．25．椭圆的上、下顶点分别为、，右顶点为，右焦点为，，则椭圆的离心率为　　A． B． C． D．【解答】解：椭圆的上、下顶点分别为，，右顶点为，右焦点为，，可得，，．故选：．26．已知，是椭圆的左、右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，且，则的离心率为　　A． B． C． D．【解答】解：因为且，所以三角形为等边三角形，所以可得在轴上，设为，可得，①又因为②，由①②可得：，故选：．27．设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是　　A．， B．， C．， D．，【解答】解：点的坐标为，设，，则，，故，，，又对称轴，当时，即时，则当时，最大，此时，故只需要满足，即，则，所以，又，故的范围为，，当时，即时，则当时，最大，此时，则，解得，所以，又，故不满足题意，综上所述的的范围为，，故选：．28．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆上一点，点是线段上一点，且，，则该椭圆的离心率为　　A． B． C． D．【解答】解：设，，则，由余弦定理得，即，所以，因为，所以，整理得，即，整理得，所以，，，故选：．29．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为上一点，，△的内切圆与外接圆的半径分别为，，若，则的离心率为　　A． B． C． D．【解答】解：设，则．因为，所以，则，则．由等面积法可得，整理得，因为，所以，故．故选：．30．已知是椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为　　A． B． C． D．【解答】解：设椭圆的右焦点，连接，，根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形，则，且由，可得，所以，则，由余弦定理可得，即，椭圆的离心率，故选：．31．，为椭圆上的两点，，为其左、右焦点，且满足，当时，椭圆的离心率为 　　．【解答】解：设，由，得，再由椭圆定义可得：，，在中，由余弦定理可得，即，整理可得．在△中，由余弦定理可得：，即，整理得，即．故答案为：．