2023年新高考数学函数压轴小题专题突破 专题11 零点嵌套问题

专题11 零点嵌套问题

1．已知函数有三个不同的零点，，（其中，则的值为　　

A． B． C． D．1

【解析】解：令，分离参数得，

令，

由，得或．

当时，；当时，；当时，．

即在，上为减函数，在上为增函数．

，

，令，

则，即，

，，

对于，

则当时，；当时，．而当时，恒大于0．

画其简图，

不妨设，则，，

．

故选：．

2．已知，，是函数三个不同的零点，且，设，2，，则　　

A．1 B． C． D．

【解析】解：令得，

令，则，．

即．

令，则，

在上单调递增，在上单调递减，

且当时，，当时，，

（e），

当时，关于的方程有两大于1的解，当时，关于的方程只有一小于1的解．

当时，关于的方程有唯一解．

有三个不同的零点，

关于的方程在，和上各有1个解．

不妨设两解为，，则，，

若，则，此时方程的另一解为，

原方程只有两解，不符合题意；

同理也不符合题意；

设，则，，

．

故选：．

3．已知函数有三个不同的零点，，．其中，则的值为　　

A．1 B． C． D．

【解析】解：令，则，

故当时，，是增函数，

当时，，是减函数，

可得处取得最小值，

，，画出的图象，

由可化为，

故结合题意可知，有两个不同的根，

故△，故或，

不妨设方程的两个根分别为，，

①若，，

与相矛盾，故不成立；

②若，则方程的两个根，一正一负；

不妨设，结合的性质可得，，，，

故

又，，

．

故选：．

4．已知函数有三个不同的零点，，（其中，则的值为　　

A．1 B． C． D．

【解析】解：令，则，

当时，，函数在单调递增，当时，，在单调递减，且，

由题意，必有两个根，且，

由根与系数的关系有，，，

由图可知，有一解，有两解，，且，

故．

故选：．

5．若关于的方程有三个不相等的实数解，，，且，其中，为自然对数的底数，则的值为　　

A． B． C． D．1

【解析】解：由方程

，

令，则有．

，

令函数，，

在递增，在递减，

其图象如下，

要使关于的方程有三个不相等的实数解，，，且

结合图象可得关于的方程一定有两个实根，，

且，，

．

．

．

故选：．

6．若关于的方程有三个不相等的实数解，，，且，其中，为自然对数的底数，则的值为　　

A． B． C． D．1

【解析】解：由方程，

令，则有．

，

令函数，，

在递增，在递减，

其图象如下，

要使关于的方程有3个不相等的实数解，，，且

结合图象可得关于的方程一定有两个实根，，

且，

．

．

．

故选：．

7．若关于的方程有三个不相等的实数解、、，其中，，则的值为　　

A． B．4 C． D．

【解析】解：令，函数的图象如下：

方程．即，

要使方程有三个不相等的实数解、、，，

则方程一定有两个实根，，

可验证或1不符合题意，

所以方程一定有两个实根，，且．

且，，

 则．

．

则，

故选：．

8．若存在正实数，使得关于的方程有两个不同的根，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是　　

A． B． 

C．，， D．，

【解析】解：由题意得，，

令，，

则，，

当时，（e），

当时，（e），

（e），

，

而时，，

则要满足，

解得：，

故选：．

9．若存在正实数，使得关于的方程成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是　　

A． B． 

C． D．

【解析】解：由得

，

即，

即设，则，

则条件等价为，

即有解，

设，

为增函数，

（e），

当时，，

当时，，

即当时，函数取得极小值为：（e），

即（e），

若有解，

则，即，

则或，

实数的取值范围是，．

故选：．

10．已知函数，若存在，使得关于的方程有解，其中为自然对数的底数则实数的取值范围是　　

A． B． 

C． D．

【解析】解：由可得，

即，即，

令，则方程有解．

设，则，

显然为减函数，又（e），

当时，，当时，，

在上单调递增，在上单调递减，

的最大值为（e），

，解得或．

故选：．

11．已知恰有三个不同零点，则的取值范围为　，　．

【解析】解：令，分离参数得，

令，

由，得或．

当时，；当时，；当时，．

即在，上为减函数，在上为增函数．

时，有极小值（1）；时，有极大值（e）；

设，则；

这是因为对于函数，，有，

当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；

即时函数有极大值，也是最大值，故，，，即得；

；

当恰有三个不同零点，即与有三个不同的交点；

．

故答案为：，．

12．已知函数有三个不同的零点，，（其中，则的值为　1　．

【解析】解：由分离参数得，

令，

由，得或．

当时，；

当时，；

当时，．

即在，上为减函数，在上为增函数．

而当，，当，，

又（1），（e）；

结合函数的单调性可得，实数的取值范围为，．

则，

，令，

则，即，

，，

对于，

则当时，；当时，．而当时，恒大于0．

画其简图，

不妨设，则，

故答案为：1