高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.4 幂函数背景图ppt课件

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4.4　幂函数
课标要求
素养要求
以五个常见幂函数为载体，归纳出幂函数的图像与性质，发展学生的数学抽象、逻辑推理素养.
问题导学预习教材必备知识探究
内容索引
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1
一、幂函数的概念1.思考　幂函数y＝xα与指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)有什么区别？ 提示　幂函数y＝xα的底数为自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，指数函数y＝ax中，底数是常数，指数是自变量.
2.填空　一般地，函数__________称为幂函数，其中α是常数. 温馨提醒　判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数的形式，满足：(1)指数为常数，(2)底数为自变量，(3)底数系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5，…形式的函数都不是幂函数.
y＝xα
3.做一做　下列所给的函数中是幂函数的为(　　) A.y＝2x5 B.y＝x3＋1 C.y＝x－3 D.y＝3x
C
解析　选项C符合y＝xα的形式，对于A，系数不为1，B中含有常数项，而D不符合y＝xα的形式.
(2)五个幂函数的性质
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
增函数
增函数
减函数
增函数
增函数
减函数
减函数
(3)幂函数y＝xα随着α的不同，定义域，值域，奇偶性，单调性也不尽相同，要根据α的值判断.温馨提醒　(1)在第一象限内，直线x＝1的右侧，y＝xα的图像由上到下，指数α由大变小；在第一象限内，直线x＝1的左侧，y＝xα的图像由上到下，指数α由小变大.(2)当α＞0时，幂函数的图像都经过(0，0)和(1，1)点，在第一象限内，当0＜α＜1时，曲线上凸；当α＞1时，曲线下凸；当α＜0时，幂函数的图像都经过(1，1)点，在第一象限内，曲线上凸.
3.17－1>3.71－1
3.做一做　3.17－1与3.71－1的大小关系为________________.
解析　由于幂函数y＝x－1在(0，＋∞)上单调递减，∴3.17－1>3.71－1.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
2
幂函数的概念及应用
B
题型一
例1 (1)在函数y＝x－2，y＝2x2，y＝(x＋1)2，y＝3x中，幂函数的个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 (2)若f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则m＝________.
5或-1
解析　(1)根据幂函数定义可知，只有y＝x－2是幂函数，所以选B.(2)因为f(x)是幂函数，所以m2－4m－4＝1，即m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1.
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③xα系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5，…形式的函数都不是幂函数.反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式.
训练1 (1)若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝16，则f(－4)＝________. (2)已知y＝(2a＋b)xa＋b＋(a－2b)是幂函数，则a＝________，b＝________.
16
解析　(1)设f(x)＝xα，∵f(4)＝16，∴4α＝16，解得α＝2，∴f(x)＝x2，∴f(－4)＝(－4)2＝16.C
幂函数的图像及其应用
B
题型二
B
解决幂函数图像问题应把握的两个原则(1)依据图像高低判断幂的指数大小，相关结论为：①在(0，1)上，幂的指数越大，幂函数图像越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，幂的指数越大，幂函数图像越远离x轴(简记为指大图高).(2)依据图像确定幂的指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图像(类似于y＝x－1或y＝x或y＝x3)来判断.
训练2 (1)如图给出四个幂函数的图像，则图像与函数大致对应的是(　　)
B
解析　由②的图像关于y轴对称，应为偶函数，排除C、D.由①知，图像在第一象限内，下凸，递增的较快，故指数大于1.
D
A.－1＜m＜4 B.0或2C.1或3 D.0，1，2或3
(2)幂函数y＝xm2－3m－4(m∈Z)的图像如图所示，则m的值为(　　)
解析　由图像在第一象限内为减函数，∴m2－3m－4＜0，解得－1＜m＜4.又图像关于y轴对称，∴m2－3m－4为偶数，又m∈Z，所以取0，1，2，3都适合.
题型三
利用幂函数的性质比较大小
解　(1)因为幂函数y＝x0.3在(0，＋∞)上是增函数，
(2)因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是减函数，
比较幂值大小的三种基本方法(1)直接法：当幂的指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较.(2)转化法：当幂的指数不相同时，可以先转化为相同幂指数，再运用单调性比较大小.(3)中间量法：常用0和1作为中间量.
训练3 比较下列各组数的大小： (1)与；(2)－3.143与－π3；
(2)∵y＝x3是R上的增函数，且3.14<π，∴3.143<π3，∴－3.143>－π3.
题型四
幂函数性质的综合应用
解　∵m2＋m＝m(m＋1)，m∈N*，∴m与m＋1中必定有一个为偶数，∴该函数的定义域为[0，＋∞)，由幂函数的性质，知该函数在定义域上单调递增.
∴m2＋m＝2，
解决幂函数的综合问题，应注意以下两点：(1)充分利用幂函数的图像、性质，如图像所过定点、单调性、奇偶性等；(2)注意运用常见的思想方法，如分类讨论、数形结合思想.
训练4 已知幂函数y＝f(x)＝x－2m2－m＋3，其中m∈{m|－2解　因为m∈{m|－2课堂小结
1.幂函数y＝xα，首先分析定义域，值域和奇偶性，由此确定图像的位置，其次确定曲线的类型，分α＜0，0＜α＜1，和α＞1三种情况下，曲线的基本形状，用口诀来记忆“正抛物负双曲，大竖直小横铺”，即α＞0时的图像是抛物线型，α＞1时，图像是竖直抛物线，0＜α＜1时的图像是横卧抛物线型，α＜0时的图像是双曲线型.2.易错易混点：(1)对于y＝xα，α＞1与0＜α＜1时在第一象限的图像区分不清. (2)幂函数y＝xα与指数函数y＝ax区别不清.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
3
BC
B
解析　y＝x3的定义域和值域都为R，A正确；
ABC
4.若幂函数f(x)＝xm－2(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，则m的值为(　　) A.0 B.1 C.2 D.0或1
A
解析　因为f(x)＝xm－2(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，所以m－2<0，故m<2.又因为m∈N，所以m＝0或m＝1，当m＝0时，f(x)＝x－2，f(－x)＝f(x)，符合题意；当m＝1时，f(x)＝x－1，f(－x)≠f(x)，不符合题意.综上知，m＝0.
解析　∵f(x)为幂函数，
A
∴f(x)在(0，＋∞)上递增，且a>b>0，∴f(a)>f(b).故选A.
解析　设幂函数y＝f(x)＝xα，α为常数.
x3
又f(10－2a)(3，5]
所以3②
解析　对于①f(x)＝x－1是一个奇函数，值域是{y|y∈R，且y≠0}，在(－∞，0)上是减函数，所以三个性质中有两个不正确；对于②，f(x)＝x－2是一个偶函数，其值域是{y|y∈R，且y>0}，在(－∞，0)上是增函数，所以三个性质中有两个正确，符合条件；同理，可判断③④中函数不符合条件.
9.已知函数f(x)＝(m2＋2m)xm2＋m－1，m为何值时，函数f(x)分别是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数？
(3)若函数f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，
解 在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－1的图像，可得函数h(x)的图像如图所示.
根据函数h(x)的解析式及图像可知，函数h(x)的最大值为1，单调递增区间为(0，1]，单调递减区间为(－∞，0)和(1，＋∞).
C
ABC
解　因为函数y＝x3m－9在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－9＜0，解得m＜3.又因为m∈N*，所以m＝1，2.又因为函数y＝x3m－9的图像关于y轴对称，所以3m－9为偶数，故m＝1.
所以a＋1＞3－2a＞0或3－2a＜a＋1＜0或a＋1＜0＜3－2a，
14.(多选)已知π为圆周率，e为自然对数的底数，则(　　) A.πe>3e B.3e－2π<3πe－2 C.logπe>log3e D.πlog3e>3logπe
AD
解析　对于A，函数y＝xe在(0，＋∞)上单调递增，所以πe>3e，故A正确.对于B，3e－2π<3πe－2，两边同时除以3π可得3e－3<πe－3，由函数y＝xe－3在(0，＋∞)上单调递减，可得B错误.