数学必修 第二册6.2.2 直线上向量的坐标及其运算集体备课ppt课件

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1.理解平面向量的坐标的定义及向量的运算与坐标的关系.2.掌握平面直角坐标系内两点之间的距离公式，中点坐标公式.3.掌握向量平行的坐标表示.
1.通过学习平面向量的坐标定义及向量的坐标运算，提升学生的数学抽象、数学运算素养.2.通过学习平面直角坐标系内两点之间的距离公式、中点坐标公式，向量平行的坐标表示，培养学生的逻辑推理、数学运算素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
一、直线上向量的坐标及运算1.思考　直线上向量a的坐标为5，则a的终点坐标是5吗？提示　a的坐标为5，表示向量终点的坐标减去始点坐标，当a的始点为原点时，终点坐标为5，否则不是.
2.填空　(1)直线上向量的坐标
(2)直线上向量的坐标运算
温馨提醒　数轴上向量的坐标及长度计算的方法(1)数轴上向量的坐标的求法：先求出(或寻找已知)相应点的坐标，再计算向量的坐标；(2)数轴上向量的长度的求法：先求出向量的坐标，再计算该向量的长度.
二、平面向量的坐标及运算1.思考　在平面内，若a＝(2，3)，用平面内的正交基底{e1，e2}如何表示？提示　a＝2e1＋3e2，其中e1，e2分别是与x轴和y轴正方向同方向的单位向量.
2.填空　(1)平面向量的坐标①向量垂直：平面上两个非零向量a与b，如果它们所在直线互相______，就称向量a与b垂直，记作________.规定零向量与任意向量都垂直.②正交基底：如果平面向量的基底{e1，e2}中，____________，就称这组基底为正交基底；在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解.③向量的坐标：给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a＝____________.
(x1＋x2，y1＋y2)
(x1－x2，y1－y2)
温馨提醒　向量的坐标运算主要是利用向量的加法、减法、数乘向量的运算法则进行的，在进行坐标运算时，应先将向量用坐标表示出来，类比数的运算进行.求向量的坐标一般转化为点的坐标，结合图形求解，向量的坐标和这个向量终点的坐标不一定相同，当且仅当向量的起点是原点时，向量的坐标和这个向量的终点坐标才相同.
3.做一做　已知平面直角坐标系内的两点A(－1，2)，B(2，6)，则AB＝________；若AB的中点为M，则M的坐标为________.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
解　①∵A，B，C三点的坐标分别为1，7，－3，
题型一　直线上的向量坐标及坐标运算
解 ②设点D的坐标为x，
即点D的坐标为1.③设点E的坐标为y，
解得y＝5或y＝9，即点E的坐标为5或9.
(2)已知直线上向量a的坐标为－3，b的坐标为4，求下列向量的坐标：
解 ①a－b的坐标为－3－4＝－7.
1.求直线上向量坐标的方法：(1)将向量用单位向量表示出来；(2)将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标.2.直线上向量的坐标及长度计算的方法(1)直线上向量的坐标的求法：先求出(或寻找已知)相应点的坐标，再计算向量的坐标.(2)直线上向量的长度的求法：先求出向量的坐标，再计算该向量的长度.
训练1 (1)如图所示，求出向量a，b的坐标.
解　(1)因为向量a的起点在原点，因此由a的终点坐标可知a的坐标为－1；把向量b的起点平移到原点，则其终点坐标为2，故b的坐标为2.
例2 已知边长为1的正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，AB与x轴正半轴成30°角.
题型二　平面向量的坐标表示
解　设B(x1，y1)，D(x2，y2).
确定平面向量坐标的常用方法.(1)将向量用单位向量e1，e2表示出来；(2)将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标；(3)已知两点求向量的坐标时，用终点坐标减去起点坐标.
训练2 (1)已知{e1，e2}为单位正交基底且a＝3e1＋4e2，b＝－3e1，则a，b的坐标分别为_______________.
(3，4)，(－3，0)
解析　由平面向量坐标的定义知a＝(3，4)，b＝(－3，0).
题型三　向量坐标形式的线性运算
例3 (1)已知a＝(2，1)，b＝(－3，4)，求a＋b，a－b，3a＋4b的坐标.
解　a＋b＝(2，1)＋(－3，4)＝(－1，5)，a－b＝(2，1)－(－3，4)＝(5，－3)，3a＋4b＝3(2，1)＋4(－3，4)＝(6，3)＋(－12，16)＝(－6，19).
解 由A(2，－4)，B(－1，3)，C(3，4)，得
＝2(－1，－8)＋3(－4，－1)＝(－2，－16)＋(－12，－3)＝(－14，－19).设点M的坐标为(x，y)，
∴点M的坐标为(－11，－15).
平面向量坐标的线性运算的方法(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
(－1－m，－7－n)
＝－(－1，4)－(m，n)－(2，3)＝(－1－m，－7－n).
题型四　向量平行的坐标表示
(2)已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
解 法一　ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4).当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一的实数λ，使ka＋b＝λ(a－3b)，即(k－3，2k＋2)＝λ(10，－4)，
法二　由法一知ka＋b＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(10，－4).∵ka＋b与a－3b平行，∴(k－3)×(－4)＝10(2k＋2)，
1.此类题目应充分利用“若b＝λa(λ∈R)，则b∥a”或向量共线坐标的条件进行判断，特别是利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配.2.由向量共线求参数的值的方法
解　若A，B，C三点共线，
∴(4－k)(k－12)＝－7(10－k)，∴k2－9k－22＝0，解得k＝－2，或k＝11.∴k＝－2或11时，A，B，C三点共线.
1.平面向量坐标的线性运算的方法(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.2.两向量平行的坐标表示的应用(1)已知两个向量的坐标判定两向量平行.(2)已知两个向量平行，求点或向量的坐标、求参数的值、求轨迹方程.要注意方程思想的应用.3.易错点：(1)混淆向量的坐标与点的坐标.(2)记混向量平行时的坐标关系.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
2.已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，则2a－b＝(　　)A.(5，7) B.(5，9)C.(3，7) D.(3，9)
解析　2a－b＝(4，8)－(－1，1)＝(5，7).
4.(多选)已知向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则b可能是(　　)A.(4，8) B.(4，－8)C.(－4，－8) D.(－4，8)
解析　由a∥b，得b＝λa，又|b|＝4|a|，∴λ＝±4.∴b＝(4，－8)或(－4，8).
6.在平面直角坐标系内，已知i，j是两个互相垂直的单位向量，若a＝i－2j，则向量用坐标表示为a＝________.
解析　由向量坐标的定义知a＝(1，－2).
8.已知向量a＝(2，－3)，b＝(1，2)，p＝(9，4)，若p＝ma＋nb，则m＋n＝________.
解析　∵a＝(2，－3)，b＝(1，2)，∴ma＋nb＝m(2，－3)＋n(1，2)＝(2m＋n，－3m＋2n).
解　设点P的坐标为(x，y)，
＝(3，1)＋λ(5，7)＝(3＋5λ，1＋7λ).
若点P在第一、三象限的角平分线上，
(2)点P在第三象限内.
解 若点P在第三象限内，
解　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8).3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42).
(2)满足a＝mb＋nc的实数m，n；
解 ∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
(3)M，N的坐标及MN的长度.
11.(多选)已知向量a＝(x，3)，b＝(－3，x)，则下列叙述中，不正确的是(　　 )A.存在实数x，使a∥bB.存在实数x，使(a＋b)∥aC.存在实数x，m，使(ma＋b)∥aD.存在实数x，m，使(ma＋b)∥b
解析　由a∥b得x2＝－9无解，故A错.a＋b＝(x－3，3＋x)，由(a＋b)∥a，得3(x－3)－x(3＋x)＝0，即x2＝－9，无实数解，故B错误；ma＋b＝(mx－3，3m＋x)，由(ma＋b)∥a，得(3m＋x)x－3(mx－3)＝0，即x2＝－9，无实数解，故C错误；由(ma＋b)∥b，得－3(3m＋x)－x(mx－3)＝0，即m(x2＋9)＝0，所以m＝0，x∈R，故D正确.
解析　以向量a，b的公共点为坐标原点，建立如图所示直角坐标系，
可得a＝(－1，1)，b＝(6，2)，c＝(－1，－3)，因为c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，
13.平面内给定三个向量a＝(3，－2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1).(1)求满足c＝xa＋yb的实数x，y；
解　由题意知，c＝(4，1)，xa＋yb＝(3x－y，－2x＋2y)，
(2)若(a＋kb)∥(c－2a)，求实数k.
解 ∵a＝(3，－2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)，∴a＋kb＝(3－k，－2＋2k)，c－2a＝(－2，5)，则(a＋kb)∥(c－2a)时，5(3－k)＋2(－2＋2k)＝0，解得k＝11.
即7x＋4y＝20.①
即7x－16y＝－20.②