高中数学人教B版 (2019)必修 第二册5.4 统计与概率的应用习题课件ppt

进阶训练6　(范围：5.3～5.4)

一、基础达标

1.我国古代数学名著中有“米谷粒分”题，现有类似的题：粮仓开仓收粮，有人送来532石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得54粒内夹谷6粒，则这批米内夹谷约为(　　)

A.59石   B.60石   C.61石   D.62石

答案　A

解析　532×＝59≈59(石).

2.掷一枚硬币两次，记事件A＝“第一次出现正面”，B＝“第二次出现反面”，则有(　　)

A.A与B相互独立

B.P(AB)＝P(A)＋P(B)

C.A与B互斥

D.P(AB)＝

答案　A

解析　对于A，由题意得事件A的发生与否对事件B的发生没有影响，事件B的发生与否对事件A的发生也没有影响，所以A与B相互独立，所以A正确.

对于C，由于事件A与B可以同时发生，所以事件A与B不互斥，故C不正确.

对于B，D，由于A与B相互独立，

因此P(AB)＝P(A)·P(B)＝≠P(A)＋P(B)，所以B，D不正确.

3.某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织4位同学参加.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学，且所发信息都能收到，则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为(　　)

A.   B.   C.   D.

答案　C

解析　设甲同学收到李老师的信息为事件A，收到张老师的信息为事件B，A，B相互独立，P(A)＝P(B)＝＝，则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为1－P( )＝1－[1－P(A)][1－P(B)]＝1－×＝.故选C.

4.某公交线路某区间内共设置四个站点(如图)，分别记为A0，A1，A2，A3，现有甲、乙两人同时从A0站点上车，且他们中的每个人在站点Ai(i＝1，2，3)下车是等可能的.则甲、乙两人不在同一站点下车的概率为(　　)

A.   B.   C.   D.

答案　A

解析　设事件A＝“甲、乙两人不在同一站点下车”，由题意得甲、乙两人同时在A1站下车的概率为×；甲、乙两人同时在A2站下车的概率为×；甲、乙两人同时在A3站下车的概率为×.所以甲、乙两人在同一站下车的概率为3××＝，则P(A)＝1－＝.故选A.

5.某高校进行自主招生，先从报名者中筛选出400人参加笔试，再按笔试成绩择优选出100人参加面试.现随机调查24名笔试者的成绩，如表所示：

据此估计允许参加面试的分数线大约是(　　)

A.75    B.80

C.85    D.90

答案　B

解析　因为参加笔试的400人中择优选出100人，所以每个人被择优选出的概率P＝.因为随机调查24名笔试者，所以估计能够参加面试的人数为24×＝6.观察表格可知，分数在[80，85)的有5人，分数在[85，90]的有1人，故允许参加面试的分数线大约为80分，故选B.

6.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39，32，33名成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示.现随机选取一名成员，他至少参加2个小组的概率为________，他至多参加2个小组的概率为________.

答案　　

解析　由题意，可知一共有6＋8＋10＋7＋11＋10＋8＝60(名)成员参加课外兴趣小组.随机选取一名成员，恰好参加2个小组的概率P(A)＝＋＋＝，恰好参加3个小组的概率P(B)＝＝，则他至少参加2个小组的概率为P(A)＋P(B)＝＋＝，至多参加2个小组的概率为1－P(B)＝1－＝.

7.下列事件不是随机事件的是________.

①东边日出西边雨；

②下雪不冷化雪冷；

③清明时节雨纷纷；

④梅子黄时日日晴.

答案　②

解析　②是必然事件，其余都是随机事件.

8.体育课上定点投篮项目测试规则：每位同学有3次投篮机会，一旦投中，则停止投篮，视为合格，否则一直投3次为止.每次投中与否相互独立，某同学一次投篮投中的概率为p，若该同学本次测试合格的概率为0.784，则p＝________.

答案　0.4

解析　由题意可得p＋p(1－p)＋p(1－p)2＝0.784，

整理可得p3－3p2＋3p－0.784＝0，即(p－0.4)(p2－2.6p＋1.96)＝0，该方程存在唯一的实数根p＝0.4.

9.交强险是车主须为机动车购买的险种.若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用(基本保费)是a元，在下一年续保时，实行费率浮动制，其保费与上一年度车辆发生道路交通事故情况相联系，具体浮动情况如下表：

据统计，某地使用某一品牌6座以下的车大约有5 000辆，随机抽取了100辆车龄满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保情况，统计得到如下表格：

以这100辆该品牌汽车的投保类型的频率视为概率，按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格为a＝950元.

(1)求m的值，并估计该地本年度使用这一品牌6座以下汽车交强险费大于950元的辆数；

(2)试估计该地使用该品牌汽车的续保人本年度的保费不超过950元的概率.

解　(1)易得m＝25，估计该地本年度使用这一品牌6座以下汽车交强险费大于950元的辆数为5 000×＝250.

(2)法一　保费不超过950元的类型为A1，A2，A3，A4，所求概率约为＝0.95.

法二　保费超过950元的类型为A5，A6，概率约为＝0.05，因此保费不超过950元的概率约为1－0.05＝0.95.

10.随着互联网的发展，移动支付(又称手机支付)越来越普通，某学校兴趣小组为了了解移动支付在大众中的熟知度，对15～65岁的人群随机抽样调查，调查的问题是“你会使用移动支付吗？”其中，回答“会”的共有n个人.把这n个人按照年龄分成5组：第1组[15，25)，第2组[25，35)，第3组[35，45)，第4组[45，55)，第5组[55，65].然后绘制成如图所示的频率分布直方图.其中，第1组的频数为20.

(1)求n和x的值；

(2)从第1，3，4组中用分层抽样的方法抽取6人，求从第1，3，4组抽取的人数；

(3)在(2)抽取的6人中再随机抽取2人，求所抽取的2人来自同一个组的概率.

解　(1)由题意可知，n＝＝100，

由10×(0.020＋0.036＋x＋0.010＋0.004)＝1，解得x＝0.030.

(2)第1，3，4组频率之比为0.020∶0.030∶0.010＝2∶3∶1，

则从第1组抽取的人数为6×＝2，

从第3组抽取的人数为6×＝3，

从第4组抽取的人数为6×＝1.

(3)设第1组抽取的2人为A1，A2，第3组抽取的3人为B1，B2，B3，第4组抽取的1人为C，则从这6人中随机抽取2人有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)(A1，C)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C)，(B2，B3)，(B2，C)，(B3，C)，共有15个样本点.其中符合“抽取的2人来自同一个组”的样本点有(A1，A2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共4个样本点.

所以抽取的2人来自同一个组的概率P＝.

二、能力提升

11.在如图所示的电路图中，开关a，b，c闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是(　　)

A.   B.   C.   D.

答案　B

解析　设开关a，b，c闭合的事件分别为A，B，C，则灯亮这一事件E＝ABC∪AB∪AC，且A，B，C相互独立，

ABC，AB，AC互斥，所以

P(E)＝P((ABC)∪(AB)∪(AC))

＝P(ABC)＋P(AB)＋P(AC)

＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P()＋P(A)P()P(C)

＝××＋××＋××＝.

12.设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)＝(　　)

A.   B.   C.   D.

答案　D

解析　由题意，P()P()＝，

P()P(B)＝P()P(A).

设P(A)＝x，P(B)＝y，x，y∈[0，1]，

∴∴x＝.

13.某电视台问政直播节目首场内容是“让交通更顺畅”.A、B、C、D四个管理部门的负责人接受问政，分别负责问政A、B、C、D四个管理部门的现场市民代表(每一名代表只参加一个部门的问政)人数的条形图如图所示.为了了解市民对某市实施“让交通更顺畅”几个月来的评价，对每位现场市民都进行了问卷调查，然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取20份进行统计，统计结果如下表所示：

(1)若市民甲选择的是A部门，求甲的调查问卷被选中的概率；

(2)若想从调查问卷被选中且填写不满意的市民中再选出2人进行电视访谈，求这2人中至少有1人选择的是D部门的概率.

解　(1)由条形图可得分别负责问政A，B，C，D四个管理部门的现场市民代表共有200人，其中负责问政A部门的市民为40人，由分层抽样可得从A部门问卷中抽取了20×＝4(份).设事件M为“市民甲的调查问卷被选中”，所以P(M)＝＝.故若甲选择的是A部门，甲的调查问卷被选中的概率是.

(2)由图表可知分别负责问政A，B，C，D四个部门的市民分别接受调查的人数为4，5，6，5，其中不满意的人数分别为1，1，0，2.记对A部门不满意的市民为a；对B部门不满意的市民为b；对C、D部门不满意的市民为c，d.设事件N为“从填写不满意的市民中选出2人，至少有1人选择的是D部门”.从填写不满意的市民中选出2人，有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，共6个基本事件；而事件N有(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，共5个基本事件，

所以P(N)＝.

故这2人中至少有1人选择的是D部门的概率是.

三、创新拓展

14.在奥运知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲答对这道题的概率是，甲、乙两人都回答错误的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是，设每人回答问题正确与否是相互独立的.

(1)求乙答对这道题的概率；

(2)求甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率.

解　(1)记甲、乙、丙三人独自答对这道题分别为事件A，B，C，设乙答对这道题的概率P(B)＝x.

由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此A，B，C是相互独立事件。由题意，并根据相互独立事件同时发生的概率公式，得P(·)＝P()·P()

＝×(1－x)＝，

解得x＝.

所以乙答对这道题的概率为P(B)＝.

(2)设“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”为事件M，丙答对这道题的概率P(C)＝y.

由(1)，并根据相互独立事件同时发生的概率公式，

得P(B·C)＝P(B)·P(C)

＝×y＝，

解得y＝.

甲、乙、丙三人都回答错误的概率为

P(··)＝P()·P()·P()

＝××＝.

因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”是对立事件，

所以所求事件概率为P(M)＝1－＝.