数学必修 第二册5.4 统计与概率的应用图片ppt课件

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5.1.2　数据的数字特征
第一课时　最值、平均数、中位数、百分位数、众数
课标要求
1.理解数据的最值、平均数、中位数、百分位数、众数的意义和作用.2.会计算数据的这些数字特征，并能解决有关实际问题.
素养要求
通过本节课的学习，提高学生的数据分析和数学运算素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
内容索引
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1
1.思考　在电视大奖赛中，计算评委打分的平均值时，为什么要去掉一个最高分和一个最低分？ 提示　为了避免平均值受数据中个别极端值的影响，增大它在估计总体时的可靠性.
2.填空　(1)最值 一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反映的是这组数最极端的情况. (2)平均数
(3)中位数、百分位数①中位数：一般地，如果一组数有奇数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n＋1，则称_______为这组数的中位数；如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n，则称_____________为这组数的中位数.②百分位数：设一组数按照从小到大排列后为x1，x2，…，xn，计算i＝np%的值，如果i不是整数，设i0为大于i的最小整数，取______为p%分位数；如果i是整数，取____________为p%分位数.特别地，规定：0分位数是_____ (即最小值)，100%分位数是_____ (即最大值).
xn＋1
xi0
x1
xn
(4)众数：一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的______，出现次数______的数据称为这组数据的众数.
频数
最多
温馨提醒　(1)求中位数时一定要先对数据按大小排序，若最中间有两个数据，则中位数是这两个数据的平均数.(2)若有两个或两个以上的数据出现得最多，且出现的次数一样，则这些数据都称为众数；若一组数据中每个数据出现的次数一样多，则没有众数.
×
3.做一做　判断正误： (1)中位数是一组数据中间的数.( ) 提示　当数据的个数为奇数个时，中位数为中间的数；当数据个数为偶数个时，中位数为中间两个数字的平均值. (2)对于一组数据来说，众数是唯一的.( ) 提示　众数可能不唯一. (3)已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的25%分位数为6. ( ) 提示　这组数据共有6个数字，这组数据的25%分位数为5.
×
×
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
2
平均数、中位数、众数的计算
题型一
例1 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示：
分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数.(保留两位小数)
解　在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75.上面表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70；这组数据的平均数是
训练1 (1)某中学从甲、乙两个艺术班中选出7名学生参加市级才艺比赛，他们取得的成绩(满分100分)如下： 甲：78，79，80，8x，85，92，96；乙：76，81，81，8y，91，91，96. 其中甲班学生成绩的众数是85分，乙班学生成绩的中位数是83分，则x＋y的值为(　　) A.6 B.8 C.9 D.11
B
解析　由题意可知，因为甲班学生成绩的众数是85分，所以85出现的次数最多，可知x＝5.乙班学生成绩对应的数据分别为76，81，81，80＋y，91，91，96.由乙班学生成绩的中位数是83分，可知y＝3.所以x＋y＝8.
(2)已知样本数据x1，x2，…，x10，其中x1，x2，x3的平均数为a；x4，x5，…，x10的平均数为b，则样本数据的平均数为________.
解 ∵x1，x2，x3的平均数为a，∴x1，x2，x3的和为3a.∵x4，x5，…，x10的平均数为b，∴x4，x5，…，x10的和为7b.∴样本数据的和为3a＋7b，
中位数、百分位数的确定
题型二
例2 确定数据：1，2，2，2，2，3，3，3，5，5，6，6，8，8，9，10，10，12，13，13的中位数，78%分位数.
解　因为所给数据已从小到大排列，共为20个，而且i1＝20×50%＝10为整数，i2＝20×78%＝15.6不为整数，
训练2 确定数据0，0，0，0，1，1，2，3，4，5，6，6，7，7，10，14，14，14，14，15的28%分位数和75%分位数.
解　因为数据已从小到大排列，共有20个，而且i1＝20×28%＝5.6，不为整数，i2＝20×75%＝15是整数，因此，此数据的28%分位数为x6＝1，
题型三
平均数、中位数、众数的应用
例3 据报道，某公司有33名职工，他们所在部门及相应每人所创年利润(单位：万元)如下表所示：
(1)求该公司职工每人所创年利润的平均数、中位数、众数.
≈2.1(万元)，中位数为1.5万元，众数为1.5万元.
(2)假设部门A每人所创年利润从5.5万元提高到30万元，部门B每人所创年利润由5万元提高到20万元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少？(3)在(2)的条件下，你认为哪个统计量更能反映这个公司职工每人所创年利润的平均水平？
≈3.3(万元)，中位数为1.5万元，众数为1.5万元.
(3)中位数或众数均能反映该公司职工每人所创年利润的平均水平.这是因为公司中少数人每人所创年利润与大多数人每人所创年利润差别较大，这样导致平均数与中位数或众数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司职工每人所创年利润的平均水平.
平均数、中位数、众数均反映了样本数据的“集中趋势”，但各有侧重.(1)平均数与每一个样本数据都有关，任何一个样本数据的改变都可能会引起平均数的改变.(2)众数考查各数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，众数往往更能反映这组数据的集中趋势.(3)中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响.因此，若平均数受数据中的极端值影响较大时，估计的可靠性就较低，这时可用众数、中位数来表示这组数据的集中趋势.
训练3 某校甲班、乙班各有49名学生，两班在一次数学测验中的成绩(满分 100分)统计如下表：
(1)请你对下面的一段话给予简要分析：甲班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算是上游了！”
解　由中位数可知，85分排在第25名之后，从名次上讲，85分不算是上游，但也不能单以名次来判断学习成绩的好坏，小刚得了85分，说明他对这阶段的学习内容掌握较好.
(2)请你根据表中数据，对这两个班的测验情况进行简要分析，并提出教学建议.
解 甲班学生成绩的中位数为87分，说明高于或等于87分的学生占一半以上，而平均分为79分，说明两极分化严重，建议对学习有困难的同学多给一些帮助；乙班学生成绩的中位数为87分，说明学生成绩之间差别较小，成绩很差的学生少，但成绩优异的学生也很少，建议采取措施提高优秀率.
课堂小结
选择合适的数字特征体现数据的分布特点.(1)最值：反映一组数据的极端情况.(2)平均数：优点是代表性较好，是反映数据集中趋势的量，一般情况下可以反映出更多的关于样本数据全体的信息；缺点是任何一个数据的改变都会引起平均数的改变，数据越“离群”，对平均值的影响越大.(3)中位数和百分位数：优点是不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响，容易计算，便于利用中间数据的信息；缺点是对极端值不敏感.结合百分位数可更好地确定数据的分布特征.(4)当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题，当一组数据中个别数据较大时，可用中位数描述其中心位置.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
3
1.已知一组数据从小到大排列为－1，0，4，x，6，15，且这组数据的中位数是5，那么这组数据的众数为(　　) A.5 B.6 C.4 D.5.5
B
C
3.已知甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩分别为甲：9，12，1x，24，27，乙：9，15，1y，18，24(单位：分).其中x，y为两个不清楚的数据，若甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为(　　) A.2，5 B.5，5 C.5，8 D.8，8
C
4.某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各有1人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别是(　　) A.85分，85分，85分 B.87分，85分，86分 C.87分，85分，85分 D.87分，85分，90分
C
5.某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，则由此求出的平均数与实际平均数的差是(　　) A.3.5 B.－3 C.3 D.－0.5
B
6.在一次歌手大奖赛上，七位评委为某歌手打出的分数如下：9.4　8.4　9.4　9.9　9.6　9.4　9.7 去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数分别为________.
9.5
解析　7个数据中去掉一个最高分和一个最低分后，余下的5个数为：9.4　9.4　9.6　9.4　9.7则平均数为：
7.数据1，2，2，3，5，6，6，7，8，8的40%分位数为________，75%分位数为________.
4
7
解析　∵40%×10＝4，
∵75%×10＝7.5，∴75%分位数为第8个数据7.
8.某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班，其中甲班40人，乙班50人.现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是________分.
85
9.欧洲联盟委员会和荷兰环境评估署于2015年12月公布了20个国家和地区的二氧化碳排放总量及人均二氧化碳排放量，结果如下表：
则这些国家和地区人均二氧化碳排放量的四分位数是多少.
解　把这20个国家和地区的人均二氧化碳排放量按从小到大的顺序排列：1.7，2.0，2.6，3.9，5.3，5.7，6.2，6.2，6.4，7.3，7.4，7.5，10.2，10.7，12.6，12.7，15.7，16.6，16.6，16.9.因为i＝20×25%＝5为整数，
所以这20个国家和地区的人均二氧化碳排放量的三个四分位数为：
10.某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄(单位：岁)如下： 甲群　13，13，14，15，15，15，15，16，17，17； 乙群　54，3，4，4，5，5，6，6，6，57. (1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？
解　甲群市民年龄的平均数为
＝15(岁)，
中位数为15岁，众数为15岁.平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征.
(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？
中位数为5.5岁，众数为6岁.由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差.
D
12.某校年级组长为了解本校高三学生一模考试的数学成绩(单位：分)，随机抽取30名学生的一模数学成绩，如下所示： 110　144　125　63　89　121　145　123 74　96　97　 142　115　68　83　116　 139　124　85　98　132　147　128　133 99　117　107　113　96　141 估计该校高三学生一模数学成绩的25%分位数为________，50%分位数为________.
96
115.5
解析　把这30名学生的数学成绩按从小到大的顺序排列为63，68，74，83，85，89，96，96，97，98，99，107，110，113，115，116，117，121，123，124，125，128，132，133，139，141，142，144，145，147.因为25%×30＝7.5，50%×30＝15，所以这30名学生一模数学成绩的25%分位数为96，
13.以下是某地在甲、乙两个重要道路交叉口设置的电子监控在连续一周时间里抓拍到的每一天的车辆违章次数情况： 甲：6，8，9，10，9，9，12； 乙：7，9，8，11，10，9，11. (1)试分别求甲、乙两路口车辆违章次数的平均数、中位数、众数；
将各数按大小排序为：6，8，9，9，9，10，12，因此中位数为9，众数是9.乙路口车辆违章次数的平均数为
将各数按大小排序为：7，8，9，9，10，11，11，因此中位数是9，众数是9和11.
(2)分别求甲的25%分位数和乙的75%分位数.
解 将甲组数从小到大排列为：6，8，9，9，9，10，12，共7个数，因为7×25%＝1.75，所以甲组数的25%分位数为8.将乙组数从小到大排列为：7，8，9，9，10，11，11，因为7×75%＝5.25，所以乙的75%分位数为11.
14.高一三班有男同学27名、女同学21名，在一次语文测验中，男同学的平均分是82分，中位数是75分，女同学的平均分是80分，中位数是80分. (1)求这次测验全班平均分(精确到0.01)；
(2)估计全班成绩在80分以下(含80分)的同学至少有多少人？
解 因为男同学的中位数是75，所以至少有14人得分不超过75分.又因为女同学的中位数是80，所以至少有11人得分不超过80分.所以全班至少有25人得分在80分以下(含80分).
(3)分析男同学的平均分与中位数相差较大的主要原因是什么？
解 男同学的平均分与中位数的差别较大，说明男同学的得分两极分化现象严重，得分高的和低的相差较大.