人教B版 (2019)必修 第二册5.4 统计与概率的应用备课课件ppt

第二课时　实数指数幂

课标要求　1.理解无理数指数幂，了解指数幂的拓展过程.2.掌握实数指数幂的运算法则.

素养要求　1.通过学习无理数指数幂，提升数学抽象素养.2.通过实数指数幂运算法则的应用，提升数学运算素养.

1.思考　有理数指数幂的运算法则能适用于无理数指数幂吗？

提示　由于整数指数幂，分数指数幂，无理指数幂都有意义，对于任意实数，指数幂的运算法则仍然成立.

2.填空　(1)实数指数幂的运算法则

①asat＝as＋t；

②(as)t＝ast；

③(ab)s＝asbs.其中s，t∈R.

(2)拓展：＝as－t，＝，

其中a>0，b>0，s，t∈R.

温馨提醒　用实数指数幂进行化简的结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既含有分母又含有负指数.

3.做一做　判断正误：

(1)π∈R.(√)

(2)0的任何指数幂都等于0.(×)

提示　0的零次幂和0的负分数指数幂无意义.

题型一　根式与指数幂的互化

例1 将下列根式与分数指数幂进行互化：

①a－(a＞0)；②(p＞0)；③x3·(x＞0).

解　① a－＝.

②＝p·p＝p.

③x3·＝x3·x＝x.

思维升华　在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用实数指数幂的运算法则解题.

训练1 用下列根式化为分数指数幂的形式：

(1)(a＞0)；

(2)(a＞0，b＞0).

解　(1)原式＝＝a－.

(2)原式＝ab＝ab.

题型二　运用实数指数幂的运算法则化简求值

例2 化简与求值：

(1)2×3π×(2－×3π)；

(2)xy2·(x＞0，y＞0).

解　(1)原式＝2－×3π＋1

＝20×3π＋1＝3π＋1.

(2)原式＝x·y2·x－3·y－

＝x－3·y2－.

思维升华　实数指数幂运算的常用技巧

(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算.

(2)负指数幂化为正指数幂的倒数.

(3)底数是小数，要先化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.

训练2 计算下列各式：

(1)＋(0.1)－2＋＋3π0＋；

(2)；

(3)0.025 6－－＋×(2)－160.75.

解　(1)原式＝＋＋＋3＋＝＋100＋＋3＋＝＋103＝＋103＝3＋103＝106.

(2)原式＝52×5×5－×5－＝52＋－－＝5.

(3)原式＝2.5－1＋2××2×－23

＝1.5＋2＋－23＝1.5.

题型三　有关指数幂的条件求值问题

例3 (1)已知x＋x－＝，则x2＋x－2＝________.

(2)已知x＋x－1＝7，求值：①x＋x－；②x2－x－2.

(1)答案　7

解析　将x＋x－＝，两边平方得x＋x－1＋2＝5，

则x＋x－1＝3，两边再平方得x2＋x－2＋2＝9，

所以x2＋x－2＝7.

(2)解　①设m＝x＋x－，两边平方得

m2＝x＋x－1＋2＝7＋2＝9，

因为m>0，所以m＝3，

即x＋x－＝3.

②设n＝x－x－，

两边平方得n2＝x＋x－1－2

＝7－2＝5，因为n∈R，

所以n＝±，

即x－x－＝±.

所以x－x－1＝(x＋x－)(x－x－)＝±3，

x2－x－2＝(x＋x－1)(x－x－1)＝±21.

思维升华　(1)解决条件求值问题的一般方法是整体代入法.可将所求代数式恰当地变形，构造出与已知条件相同的结构或联系，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值.

(2)在结合已知条件化简时，要注意正确变形及平方差，立方和或差，完全平方等公式的应用.开方运算时还要注意符号问题.

训练3 (1)已知x＋x－＝，求的值.

(2)已知a＋a－＝3，求a＋a－的值.

解　(1)因为x＋x－＝，

∴(x＋x－)2＝7，即x＋x－1＋2＝7，

∴x＋x－1＝5.所以(x＋x－1)2＝25.

即x2＋x－2＝23.

原式＝＝.

(2)由a＋a－＝3，

得a＋a－1＝(a＋a－)2－2＝7，

故a＋a－＝(a)3＋(a－)3

＝(a－1＋a－1)

＝3×(7－1)＝18.

[课堂小结]

1.有条件的化简求值问题，通过将所求代数式变形，寻找与已知条件的关系，常使用“整体代入”法求值.

2.易错易混点：

(1)化简中注意隐含条件的挖掘，特别是出现偶次根式时，应注意被开方数(式)是否满足要求.

(2)对有条件的根式的化简与求值，应注意准确变形找到已知与所求式间的关系，再整体代入.

一、基础达标

1.化简[]的结果为(　　)

A.5    B.

C.－    D.25

答案　D

解析　[]＝()＝5×＝5＝25.

2.若102x＝25，则10－x＝(　　)

A.－    B.

C.    D.

答案　B

解析　102x＝(10x)2＝25，10x>0，

∴10x＝5，10－x＝＝.

3.(多选)下列运算中正确的是(　　)

A.a3·a4＝a7    B.(－a2)3＝a6

C.＝a    D.＝－π

答案　AD

解析　A中，a3·a4＝a3＋4＝a7，正确；

B中，(－a2)3＝－a6，错误；

C中，当a≥0时，＝a，当a<0时，＝－a，错误；

D中，＝－π，正确.故选AD.

4.已知x－2＋x2＝2，且x>1，则x2－x－2＝(　　)

A.2或－2    B.－2

C.    D.2

答案　D

解析　将x－2＋x2＝2两边平方得x－4＋x4＋2＝8，

所以x－4＋x4＝6，

所以x－4＋x4－2＝4，

即(x2－x－2)2＝4.

又x>1，故x2>x－2，

所以x2－x－2＝2.

5.设a－a－＝m，则＝(　　)

A.m2－2    B.2－m2

C.m2＋2    D.m2

答案　C

解析　将a－a－＝m两边平方得

＝m2，

即a－2＋a－1＝m2，

所以a＋a－1＝m2＋2，

即a＋＝＝m2＋2.

6.0.064－－π·π－＋[(－2)3]－＋16－＋0.01＝________.

答案　

解析　原式＝－π0＋＋＋0.1＝－1＋＋＋＝.

7.已知a－a－＝，则a＋a＝________.

答案　3

解析　因为＝a＋a－1＋2＝＋4＝5＋4＝9，又因为a＋a－>0，所以a＋a－＝3.

8.设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________.

答案　　2

解析　由根与系数的关系得

∴2α·2β＝2α＋β＝2－2＝，(2α)β＝2αβ＝2.

9.求值：－(－9.6)0－＋(1.5)－2＋[(－5)4].

解　原式＝－1－＋＋5＝－1－＋＋5＝.

10.化简下列各式：

(1)－＋＋

－(＋)π＋1×(－)π；

(2)÷·.

解　(1)原式＝－＋

＋－

(＋)[(＋)(－)]π＝－＋＋－

(＋)＝4－－.

(2)原式＝÷·a＝·

·a＝a·a·a＝a.

二、能力提升

11.(多选)下列命题中的真命题是(　　)

A.(2)2·()－π＝16

B.若＝，则实数a的取值范围是

C.若2x＝8y＋1，9y＝3x－9，则x＋y＝27

D.已知x>0，0≤r≤5且r∈N*，式子()5－r表示一个常数，则r＝3

答案　ABC

解析　(2)2 ·()－π＝2×2 ×a×2 ×a－2＝16，A正确；

因为＝

＝，

且＝，

所以|1＋2a|＝1＋2a，

即1＋2a≥0，解得a≥－，B正确；

因为2x＝8y＋1，所以2x＝23(y＋1)，

即x＝3(y＋1).

又9y＝3x－9，所以32y＝3x－9，即2y＝x－9，

由解得

故x＋y的值为27，C正确；

()5－r＝(－3)rxx－

＝(－3)rx.

若式子表示常数，则10－5r＝0，即r＝2.

∴当r＝2时，式子()5－r表示常数9，D错误.

12.已知a2－3a＋1＝0，则a－＋a的值为________.

答案　.

解析　由题意得a＞0.

∵a2－3a＋1＝0，

∴a＋＝3.

而(a－＋a)2＝a－1＋a＋2＝3＋2＝5，

∴a－＋a＝.

13.(1)已知2x＋2－x＝a(常数)，求16x＋16－x的值；

(2)已知x＋y＝12，xy＝9且x<y，求的值.

解　(1)∵4x＋4－x＝(2x)2＋(2－x)2

＝(2x＋2－x)2－2·2x·2－x＝a2－2，

∴(4x＋4－x)2＝16x＋16－x＋2＝(a2－2)2＝a4－4a2＋4，

∴16x＋16－x＝a4－4a2＋2.

(2)＝

＝.①

∵x＋y＝12，xy＝9，②

∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy

＝122－4×9＝108.

又∵x<y，

∴x－y＝－6.③

将②③代入①，得

＝＝－.

三、创新拓展

14.根据已知条件求下列各式的值：

(1)已知x＝，y＝，求－的值；

(2)已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根， 且a>b>0，求的值.

解　(1)－＝

－＝.

将x＝，y＝代入上式，得

＝＝－24＝－8.

(2)因为a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，

所以

因为a>b>0，所以>.

＝＝＝＝.

所以＝＝.