【最新版】高中数学（新人教B版）习题+同步课件章末复习提升

章末复习提升

要点一　指数、对数的运算

指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的.对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算法则并结合对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧.

例1 (1)化简：÷·；

(2)求值：lg ＋2lg 2－.

解　(1)原式＝··ab＝·a·ab＝a.

(2)原式＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2

＝lg 5＋lg 2－2＝lg 10－2＝－1.

训练1 (1)化简：()－×()÷；

(2)求值：27－()2－2log23×log2＋log23×log34.

解　(1)原式＝×÷10＝2－1×103×10－＝2－1×10＝.

(2)原式＝(33)－(－5)2－3×log22－3＋×＝9－25－3×(－3)＋2＝－5.

要点二　幂、指数、对数函数的图像与性质

指数、对数、幂函数是中学数学中重要的函数，它们的图像和性质是考查的重点，应熟练掌握图像的画法及形状，熟记性质.

幂函数y＝xα的图像与性质与α的取值有关，α的值不确定时，要对它进行分类讨论.

例2 (1)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的图像可能是(　　)

(2)当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2＜logax恒成立，则a的取值范围是(　　)

A.(0，1)    B.(1，2)

C.(1，2]    D.

答案　(1)D　(2)C

解析　(1)由a>0且a≠1，幂函数f(x)＝xa的图像不过(0，1)点，故A错误；B项中由对数函数g(x)＝logax的图像知0<a<1，而此时幂函数f(x)＝xa的图像应是增长越来越慢的变化趋势，故B错误；D正确；C项中由对数函数g(x)＝logax的图像知a>1，而此时幂函数f(x)＝xa的图像应是增长越来越快的变化趋势，故C错误.

(2)如图所示，设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2＜logax恒成立，只需f1(x)＝(x－1)2在(1，2)上的图像在f2(x)＝logax的下方即可，当0＜a＜1时显然不成立.

当a＞1时，如图，只需f1(2)≤f2(2)，

即(2－1)2≤loga2.

∴loga2≥1，∴1＜a≤2，故选C.

训练2 (1)函数y＝2log4(1－x)的图像大致是(　　)

(2)若函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是(　　)

答案　(1)C　(2)B

解析　(1)法一　当x＝0时，y＝0，故可排除A，由1－x>0，得x<1，即函数的定义域为(－∞，1)，排除B，又易知函数在其定义域上是减函数，故选C.

法二　函数y＝2log4(1－x)的图像可由y＝log4x的图像经过如下步骤变换得到的：①函数y＝log4x的图像上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到函数y＝2log4x的图像；②把函数y＝2log4x的图像关于y轴对称得到函数y＝

2log4(－x)的图像；③把函数y＝2log4(－x)的图像向右平移1个单位，即可得到y＝2log4(1－x)的图像，故选C.

(2)由y＝logax的图像过点(3，1)，∴loga3＝1，∴a＝3.

A中，函数y＝在R上为减函数，不合题意；B中y＝x3，符合题意.

C中函数y＝(－x)3＝－x3在R上为减函数，不合题意；

D中y＝log3(－x)在(－∞，0)上为减函数，不合题意.

要点三　大小比较问题

数的大小比较常用方法：

(1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查指数函数、对数函数的图像与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用.常用的方法有单调性法、图像法、中间搭桥法、作差法、作商法.

(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较.

(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，再利用函数的性质比较大小.

例3 (1)设a＝log3，b＝，c＝2，则(　　)

A.a<b<c    B.c<b<a

C.c<a<b    D.b<a<c

(2)设x，y，z为正数，若log2x＝log3y＝log5z<－1，则(　　)

A.2x<3y<5z    B.5z<3y<2x

C.3y<2x<5z    D.5z<2x<3y

答案　(1)A　(2)B

解析　(1)a＝log3<0，0<b＝<1，

c＝2>1，

故有a<b<c.故选A.

(2)∵log2x＝log3y＝log5z<－1，

∴设k＝log2x＝log3y＝log5z，则k<－1，

则x＝2k，y＝3k，z＝5k，

则2x＝2k＋1，3y＝3k＋1，5z＝5k＋1，

设函数f(t)＝tk＋1，

∵k<－1，∴k＋1<0，

∴f(t)在(0，＋∞)上单调递减，

∴f(5)<f(3)<f(2)，

即5k＋1<3k＋1<2k＋1，

∴5z<3y<2x，故选B.

训练3 (多选)若a>b>1，0<c<1，则下列不等式成立的是(　　)

A.ac>bc    B.abc>bac

C.logac>logbc    D.alogbc>blogac

答案　ABC

解析　∵0<c<1，

∴y＝xc在(0，＋∞)上为增函数，

∵a>b>1，∴ac>bc，故A正确；

∵0<c<1，

∴y＝xc－1在(0，＋∞)上为减函数，

∵a>b>1，∴bc－1>ac－1，又ab>0，

∴abc>bac，故B正确；

∵0<c<1，

∴y＝logcx在(0，＋∞)上为减函数，

∵a>b>1，∴logca<logcb<0，

∴0>logac>logbc，故C正确；

由C知，0>logac>logbc，

∵a>b>1，∴alogbc<blogac<0，

故D错误.

要点四　函数性质的综合应用

由指数函数，对数函数与其他函数复合而成的函数，其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，然后由复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断.

例4 已知函数f(x)＝x－2m2＋m＋3(m∈N)为偶函数，且f(3)＜f(5).

(1)求m的值，并确定f(x)的解析式；

(2)若g(x)＝loga[f(x)－ax](a＞0，且a≠1)在[2，3]上为增函数，求实数a的取值范围.

解　(1)由f(3)＜f(5)，

得3－2m2＋m＋3＜5－2m2＋m＋3，

∴＜1＝.

∵y＝为减函数，

∴－2m2＋m＋3＞0，

解得－1＜m＜.

∵m∈N，

∴m＝0或1.

当m＝0时，f(x)＝x－2m2＋m＋3＝x3为奇函数，不合题意；

当m＝1时，f(x)＝x－2m2＋m＋3＝x2为偶函数.

综上，m＝1，此时f(x)＝x2.

(2)由(1)知，当x∈[2，3]时，

g(x)＝loga(x2－ax).

①当0＜a＜1时，y＝logau在其定义域内单调递减，要使g(x)在[2，3]上单调递增，则需u(x)＝x2－ax在[2，3]上单调递减，且u(x)＞0.

∴无解；

②当a＞1时，y＝logau在其定义域内单调递增，要使g(x)在[2，3]上单调递增，

则需u(x)＝x2－ax在[2，3]上单调递增，且u(x)＞0.

∴

解得a＜2.

∴实数a的取值范围为(1，2).

训练4 已知幂函数f(x)＝(m2－m－1)·x－2m－1在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x＋.

(1)求实数m的值，并简要说明函数g(x)的单调性；

(2)若不等式g(1－3t)＋g(1＋t)≥0恒成立，求实数t的取值范围.

解　(1)因为f(x)是幂函数，

所以m2－m－1＝1.

解得m＝－1或m＝2.

又因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，

所以－2m－1＞0，即m＜－，

所以m＝－1，则g(x)＝2x－.

因为y＝2x与y＝－均在R上单调递增，

所以函数g(x)在R上单调递增.

(2)易知g(x)的定义域为R.因为g(－x)＝2－x－＝－＝－g(x)，

所以g(x)是奇函数，所以不等式g(1－3t)＋g(1＋t)≥0可变为g(1－3t)≥－g(1＋t)＝g(－1－t).

由(1)知g(x)在R上单调递增，

所以1－3t≥－1－t，

解得t≤1.

要点五　函数模型的应用

建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤

(1)对实际问题进行抽象概括，确定变量之间的主被动关系，并用x，y分别表示.

(2)建立函数模型，将变量y表示为x的函数，此时要注意函数的定义域.

(3)求解函数模型，并还原为实际问题的解.

例5 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v＝log3，单位是m/s，θ是表示鱼的耗氧量的单位数.

(1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？

(2)某条鲑鱼想把游速提高1 m/s，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？

解　(1)由v＝log3可知，

当θ＝900时，v＝log3

＝log39＝1(m/s).

所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是1 m/s.

(2)设鲑鱼原来的游速、耗氧量为v1，θ1，提速后的游速、耗氧量为v2，θ2.

由v2－v1＝1，即log3－log3＝1，得＝9.

所以耗氧量的单位数为原来的9倍.

训练5　2014年我国人口总数约为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则预计________年我国人口将首次超过20亿(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，

lg 7≈0.845 1).

答案　2 043

解析　设x年我国人口将超过20亿，由已知条件得14(1＋1.25%)x－2 014>20，

x－2 014>＝≈28.7，

则x>2 042.7，即x最小为2 043.