【最新版】高中数学（新人教B版）习题+同步课件章末检测卷（一）

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章末检测卷(一)
(时间：120分钟　满分：150分)
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
D
解析　由4－x2≥0得－2≤x≤2，∴A＝[－2，2].由1－x>0得x<1，∴B＝(－∞，1).∴A∩B＝[－2，1)，故选D.
解析　y＝ax的反函数为f(x)＝logax，又f(2)＝loga2＝1，∴a＝2，∴f(x)＝log2x.
A
3.若a>b，则(　　) A.ln(a－b)>0 B.3a<3b C.a3－b3>0 D.|a|>|b|
C
解析　法一　由函数y＝ln x的图像(图略)知，当0b时，3a>3b，故B不正确；因为函数y＝x3在R上单调递增，所以当a>b时，a3>b3，即a3－b3>0，故C正确；当b3b，|a|<|b|，故排除A，B，D.故选C.
4.已知函数f(x)＝log2|ax－2|(a≠0)的图像关于直线x＝2对称，则函数f(x)图像的大致形状为(　　)
A
解析　因为函数f(x)＝log2|ax－2|(a≠0)的图像关于直线x＝2对称，所以f(0)＝f(4)，即log2|0－2|＝log2|4a－2|，得a＝1，所以f(x)＝log2|x－2|，易知f(x)＝log2|x－2|在(2，＋∞)上单调递增，从而排除B，D.又当x＝2时，函数f(x)无意义，所以排除C，故选A.
5.据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与时间x(年)近似满足关系y＝alog3(x＋2)，观测发现2017年冬(作为第1年)有越冬白鹤3 000只，估计到2023年冬有越冬白鹤(　　) A.4 000只 B.5 000只 C.6 000只 D.7 000只
C
解析　当x＝1时，由3 000＝alog3(1＋2)，得a＝3 000，所以到2023年冬，即第7年，y＝3 000×log3(7＋2)＝6 000.故选C.
C
7.如图，函数f(x)的图像为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(　　)
C
A.{x|－1＜x≤0} B.{x|－1≤x≤1}C.{x|－1＜x≤1} D.{x|－1＜x≤2}
解析　令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函数g(x)的图像如图，
解析　因为f(x)是定义域为R的偶函数，
C
且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.)
BC
定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).在(0，＋∞)上是减函数，且为奇函数.
10.设a，b，c是均不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是(　　) A.logab·logca＝logcb B.loga(bc)＝logab·logac C.loga(b＋c)＝logab＋logac D.logab＝logacbc
AD
11.已知函数f(x)＝log2(1＋x)＋log2(1－x)，则下列性质正确的是(　　) A.定义域为[－1，1] B.偶函数 C.奇函数 D.在(－1，0)上是增函数
BC
∴g(1)≠g(－1)，g(1)≠－g(－1)，∴函数g(x)既不是奇函数也不是偶函数，A错误；
∴f(x)是奇函数，B正确；
∴g(x)＝[f(x)]＝{－1，0}，D错误.故选BC.
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分.)
解析　当x∈(－∞，1]时，f(x)∈(0，3]；当x∈(1，＋∞)时，f(x)∈(－∞，－1).∵f(x)＝2，∴3x＝2⇒x＝log32.
14.设函数f(x)＝ex＋ae－x(a为常数).若f(x)为奇函数，则a＝________；若f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是__________.
-1
(－∞，0]
解析　∵f(x)＝ex＋ae－x为奇函数，∴f(－x)＋f(x)＝0.即e－x＋aex＋ex＋ae－x＝0，∴(a＋1)(ex＋e－x)＝0.∴a＝－1，若f(x)是R上的增函数，∵y1＝ex在R上是增函数，所以y2＝ae－x也要在R上是增函数，∴a≤0.
15.若a＝log0.20.3，b＝log26，c＝log0.24，则a，b，c的大小关系为________.
b>a>c
解析　因为f(x)＝log0.2x在(0，＋∞)上为减函数，且0.2<0.3<1<4.则log0.20.2>log0.20.3>log0.21>log0.24，即1>a>0>c.同理，log26>log22＝1，可知b＞a＞0.
②法一(函数单调性法)　当x>0时，f(x)＝2x－6＋ln x.显然f(x)在(0，＋∞)上单调递增.又f(1)＝2×1－6＋ln 1＝－4<0，f(3)＝2×3－6＋ln 3＝ln 3>0，所以f(1)·f(3)<0，故函数f(x)＝2x－6＋ln x在(0，＋∞)内有且只有1个零点.综上，函数f(x)共有2个零点.
2
法二(数形结合法)　当x>0时，由f(x)＝0，得2x－6＋ln x＝0，即ln x＝6－2x.
如图，分别作出函数y＝ln x和y＝6－2x的图像.
显然，由图可知，两函数图像只有一个交点，且在y轴的右侧，故当x>0时，f(x)＝0只有一个解.综上，函数f(x)共有2个零点.
四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
(2)由方程log3(6x－9)＝3，得6x－9＝33＝27，∴6x＝36＝62，∴x＝2.经检验，x＝2是原方程的解.∴原方程的解为x＝2.
(2)若函数g(x)＝(log2x)2－2log2x－1，且x∈A，求函数g(x)的最大值、最小值和对应的x值.
所以t∈[－1，2]，所以y＝t2－2t－1，t∈[－1，2].因为y＝t2－2t－1＝(t－1)2－2的对称轴为t＝1∈[－1，2]，所以当t＝1时，y有最小值－2.所以当t＝－1时，y有最大值2.所以当x＝2时，g(x)的最小值为－2.
19.(12分)已知函数y＝log4(2x＋3－x2)， (1)求函数的定义域； (2)求y的最大值，并求取得最大值时的x值.
解　(1)由真数2x＋3－x2>0，解得－1解　因为f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，
所以f(0)＝0，即1－a＝0，得a＝1(经验证符合题意).
设x∈[0，1]，则－x∈[－1，0]，
即当x∈[0，1]时，f(x)＝2x－4x.
(2)求f(x)在[0，1]上的最大值.
所以当2x＝1，即x＝0时，f(x)最大值为0.
解　由x2－logmx＜0，得x2＜logmx，
在同一坐标系中作y＝x2和y＝logmx的草图，如图所示.
22.(12分)某企业拟共用10万元投资甲、乙两种商品.已知各投入x万元时，甲、乙两种商品可分别获得y1，y2万元的利润，利润曲线P1∶y1＝axn，P2∶y2＝bx＋c，如图所示.
(1)求函数y1，y2的解析式；
P2∶y2＝bx＋c过点(0，0)，(4，1)，
(2)为使投资获得最大利润，应怎样分配投资额？
解 设用x万元投资甲商品，那么投资乙商品为(10－x)万元，总利润为y万元.
此时投资乙商品为10－x＝10－6.25＝3.75万元，故用6.25万元投资甲商品，3.75万元投资乙商品，才能获得最大利润.