【最新版】高中数学（新人教B版）习题+同步课件章末检测卷（三）

章末检测卷(三)

(时间：120分钟　满分：150分)

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1．已知a＝e1＋2e2，b＝3e1－2e2，则3a－b＝(　　)

A．4e2    B．4e1 

C．3e1＋6e2    D．8e2

答案　D

解析　3a－b＝3(e1＋2e2)－(3e1－2e2)＝8e2.

2．若向量1＝(1，1)，2＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|＝(　　)

A.   B．2   C.   D.

答案　C

解析　F1＋F2＝(1，1)＋(－3，－2)＝(－2，－1)，|F1＋F2|＝＝.

3．如果向量a＝(k，1)，b＝(4，k)共线且方向相反，则k＝(　　)

A．±2    B．2 

C．－2    D．0

答案　C

解析　由题意设a＝λb(λ<0)，则有(k，1)＝(4λ，kλ)，

∴∴k＝－2.

4．设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则＋＋＋＝(　　)

A.    B．2

C．3    D．4

答案　D

解析　因为点M为平行四边形ABCD对角线的交点，所以点M是AC和BD的中点，由平行四边形法则知＋＝2，＋＝2，故＋＋＋＝4.

5．若向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，c＝(－1，2)，则c＝(　　)

A．－a＋b    B.a－b

C.a－b    D．－a＋b

答案　B

解析　令c＝λa＋μb，则　

∴∴c＝a－b.

6．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线．若＝(2，4)，＝(1，3)，则＝(　　)

A．(－2，－4)    B．(－3，－5)

C．(3，5)    D．(2，4)

答案　B

解析　∵＝＋，

∴＝－＝(－1，－1)．

∴＝－＝(－3，－5)．

7．如图，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，则＝(　　)

A．a＋b    B.a＋b

C.a＋b    D.a＋b

答案　D

解析　∵＝3，

∴＝＝(b－a)，

∴＝＋＝a＋(b－a)

＝a＋b.

8．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若第四象限的点P满足＝＋λ，则实数λ的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1)    B.

C.    D.

答案　C

解析　设P(x，y)，则＝(x－2，y－3)，

又＝＋λ＝(3，1)＋λ(5，7)

＝(3＋5λ，1＋7λ)，

所以(x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)，

所以即

因为点P在第四象限，所以

解得－1<λ<－.

故所求实数λ的取值范围是.

二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)

9．下列结论中正确的是(　　)

A．0＋0＝0

B．对任一向量a，0∥a

C．对于任意向量a，b，a＋b＝b＋a

D．对于任意向量a，b，|a＋b|>0

答案　BC

解析　对于A，0＋0＝0，A不正确；根据0的规定，B正确；根据向量加法交换律，C正确；对于D，a＝－b时，|a＋b|＝0，D不正确．

10．下列四个式子中一定能化简为的是(　　)

A．(＋)＋

B．(＋)＋(＋)

C．(＋)－

D．(－)＋

答案　ABD

解析　对于A，(＋)＋＝＋＋＝＋＝；对于B，(＋)＋(＋)＝＋(＋＋)＝＋0＝；对于C，(＋)－＝＋＋＝2＋；对于D，(－)＋＝＋＝，故选ABD.

11．下列结论正确的是(　　)

A．向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上

B．已知直线上有P1，P2，P三点，其中P1(2，－1)，P2(－1，3)，且＝，则点P的坐标为

C．向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，，k)．若A，B，C三点共线，则k的值为－2或11

D．已知平面内O，A，B，C四点，其中A，B，C三点共线，O，A，B三点不共线，且＝x＋y，则x＋y＝1

答案　BCD

解析　向量与是共线向量，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上，A错误；

对于B，设P(x，y)，由＝，得

(x－2，y＋1)＝(－1－x，3－y)，

则解得

B正确；

对于C，＝－＝(k，12)－(4，5)＝(k－4，7)，

＝－＝(k，12)－(10，k)

＝(k－10，12－k)．

因为A，B，C三点共线，所以∥，

所以(k－4)(12－k)－7(k－10)＝0，

整理得k2－9k－22＝0，解得k＝－2或k＝11，C正确；

对于D，∵A，B，C三点共线，∴存在λ∈R，使＝λ，∴－＝λ(－)，

∴＝(1－λ)＋λ，

∴x＝1－λ，y＝λ，

∴x＋y＝1，D正确．

12．下列说法中正确的是(　　)

A．模相等的两个向量是相等向量

B．若2＋＋3＝0，则S△AOC∶S△ABC＝1∶6

C．两个非零向量a，b，若|a－b|＝|a|＋|b|，则a与b共线且反向

D．若a∥b，则存在唯一实数λ使得a＝λb

答案　BC

解析　A错误；设AC的中点为M，BC的中点为D，因为2＋＋3＝0，所以2×2＋2＝0，即2＝－，所以O是线段MD上靠近点M的三等分点，可知O到AC的距离等于D到AC距离的，而B到AC的距离等于D到AC距离的2倍，故可知O到AC的距离等于B到AC距离的，根据三角形面积公式可知B正确；C中，当a与b共线且反向时，可知|a－b|＝|a|＋|b|成立，故C正确；D错误，例如b＝0.故选BC.

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)

13．已知＝(2，3)，＝(3，t)，||＝1，则t＝________．

答案　3

解析　∵＝－＝(3，t)－(2，3)＝(1，t－3)，||＝1，∴＝1，∴t＝3.

14．下面有三个命题：①共线的单位向量是相等向量；②若a，b，c满足a＋b＝c，则以|a|，|b|，|c|为边一定能构成三角形；③对任意的向量，必有|a＋b|≤|a|＋|b|.其中正确命题的序号是________．

答案　③

解析　共线也可能反向，故①不正确；当|a|＝0时，显然以|a|，|b|，|c|为边不能构成三角形，故②不正确；③正确．

15．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________．

答案　－4

解析　以a，b的公共起点为原点建立平面直角坐标系如图，

则a＝(2，2)，b＝(6，2)，

c＝(－1，－3)．

∵c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，

即(－1，－3)＝λ(2，2)＋μ(6，2)＝(2λ＋6μ，2λ＋2μ)，

∴解得

∴＝＝－4.

16.如图，O是△ABC的重心，＝a，＝b，D是边BC上一点，且＝3，OD＝λa＋μb，则λ＋μ＝________．

答案　

解析　如图，延长AO交BC于E，由已知O为△ABC的重心，则点E为BC的中点，且＝2，AE＝(＋)，由＝3得D是BC的四等分点，

则＝＋＝＋

＝×(＋)＋(－)

＝－a＋b，又＝λa＋μb，

则λ＝－，μ＝，

所以λ＋μ＝－＋＝.

四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)

17．(10分)已知向量a＝(1，2)，b＝(－3，1)．

(1)求与2a＋b同向的单位向量e；

(2)若向量c＝，请以向量a，b为基底表示向量c.

解　(1)∵2a＋b＝(2，4)＋(－3，1)

＝(－1，5)，

∴|2a＋b|＝＝，

∴与2a＋b同向的单位向量

e＝(2a＋b)＝.

(2)设c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，

则＝λ(1，2)＋μ(－3，1)

＝(λ－3μ，2λ＋μ)，

∴解得

∴c＝－2a＋b.

18．(12分)已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，及＝＋t.

(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？

(2)四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

解　(1)＝＋t＝(1，2)＋t(3，3)＝(1＋3t，2＋3t)．

若点P在x轴上，则2＋3t＝0，所以t＝－.

若点P在y轴上，则1＋3t＝0，所以t＝－.

若点P在第二象限，则

所以－<t<－.

(2)＝(1，2)，＝－

＝(3－3t，3－3t)．

若四边形OABP为平行四边形，

则＝，所以该方程组无解．故四边形OABP不能为平行四边形．

19．(12分)已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足＝e＋2f，＝－4e－f，＝－5e－3f.

(1)将用e，f表示；

(2)证明：四边形ABCD为梯形．

(1)解　＝＋＋＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.

(2)证明　因为＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2，即＝2，

所以根据数乘向量的定义，与同方向，且的长度为的长度的2倍，

所以在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC.所以四边形ABCD是梯形．

20．(12分)平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)．

(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；

(2)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d的坐标．

解　(1)a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)，

由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，解得k＝－.

(2)设d＝(x，y)，则d－c＝(x－4，y－1)，

又a＋b＝(2，4)，|d－c|＝，

∴

解得或

∴d的坐标为(3，－1)或(5，3)．

21．(12分)如图，在△ABC中，＝＋.

(1)求△ABM与△ABC的面积之比；

(2)若N为AB的中点，与交于点P，且＝x＋y(x，y∈R)，求x＋y的值．

解　(1)在△ABC中，＝＋，

则4＝3＋，

所以3(－)＝－，即3＝，

即M是线段BC靠近点B的四等分点．

故△ABM与△ABC的面积之比为.

(2)因为＝＋，∥，＝x＋y(x，y∈R)，

所以x＝3y.

因为N为AB的中点，所以＝，

所以＝－

＝x＋y－

＝＋y，＝－

＝x＋y－＝x＋(y－1).

因为∥，

所以(y－1)＝xy， 

即2x＋y＝1.

又x＝3y，所以x＝，y＝，

所以x＋y＝.

22．(12分)如图，已知△ABC的面积为14 cm2，D，E分别为边AB，BC上的点，且AD∶DB＝BE∶EC＝2∶1，AE交CD于点P，求△APC的面积．

解　设＝a，＝b为一组基底．

则＝＋＝a＋b，＝＋＝a＋b.

∵点A，P，E三点共线，

∴存在实数λ使得＝λ＝λa＋λb.

∵点D，P，C三点共线，

∴存在实数μ使＝μ＝μa＋μb.

又∵＝＋＝a＋μb，

∴⇒

∴S△PAB＝S△ABC＝14×＝8(cm2)，

S△PBC＝SABC＝×14＝2(cm2)，

故S△APC＝14－8－2＝4(cm2)．