初中数学冀教版九年级上册24.1 一元二次方程教案设计

24.1 一元二次方程

教学目标

【知识与能力】

1.理解一元二次方程的概念.

2.掌握一元二次方程的一般形式,正确认识二次项系数、一次项系数及常数项.

3.体会一元二次方程是刻画实际问题的重要数学模型.

4.理解一元二次方程解的概念.

【过程与方法】

1.通过一元二次方程的引入,培养学生建模思想,归纳、分析问题及解决问题的能力.

2.体会数学来源于生活,又回归生活的理念.

3.由设未知数、列方程向学生渗透方程的思想,从而进一步培养学生数学思维能力.

【情感态度价值观】

1.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识.

2.激发学生学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养用数学的意识.

3.体会数学知识与现实世界的联系.

教学重难点

【教学重点】

一元二次方程的概念及一般形式.

【教学难点】  

1.由具体问题抽象出一元二次方程的转化过程.

2.正确识别一般式中的“项”及“系数”.

课前准备

多媒体课件

教学过程

一、新课导入：

导入一:

【课件展示】　教材章前图,请同学们阅读章前问题,并回答下列问题:

一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端A处到地面的距离为8m.如果梯子的顶端沿墙面下滑1m,那么梯子的底端B在地面上滑动的距离也是1m吗?你能列方程解决这个问题吗?

学生分析等量关系:A'B'2=A'C2+B'C2.

设梯子的底端在地面上滑动的距离xm,于是得方程102=(8-1)2+(6+x)2.

整理得x2+12x-15=0.

【问题】　这个方程是不是我们前边学过的方程?

导入二:

【课件展示】　观察下列方程:

(1)3x-2=0,(2)x2+2x-3=0,(3)x+=0,(4)x2-5=0.

哪些是我们学过的一元一次方程?其他方程与一元一次方程有什么不同?

【师生活动】　复习方程、一元一次方程及方程的解的概念.

【学生活动】　小组合作交流,观察新方程,分析元和次,尝试为新方程定义.

[设计意图]　让学生在实际问题中建立一元二次方程模型,体会数学来源于生活,通过复习一元一次方程的概念,让学生用类比的方法从已有的知识体系中自然地构建出新知识.

二、新知构建：

　　[过渡语]　方程是一类重要的数学模型,在现实生活中具有广泛的应用.在学习了一元一次方程、二元一次方程组和分式方程的基础上,现在我们来学习一元二次方程.

共同探究一　教材中观察与思考中的实际问题,设未知数,建立方程模型

【课件展示】　如图所示,某学校要在校园内墙边的空地上修建一个长方形的存车处,存车处的一面靠墙(墙长22m),另外三面用90m长的铁栅栏围起来.如果这个存车处的面积为700m2,求这个长方形存车处的长和宽.

思路一

教师引导学生思考并回答:

长方形存车处的长与宽之间的数量关系为　　　　,该问题中的等量关系为　　　　. 

(1)设长方形存车处的宽(靠墙的一边)为xm,则它的长为　　　　m,长方形存车处的面积为　　　　. 

由此,我们可以列出方程　　　　,化简得　　　　. 

(2)设长方形存车处的长(与墙垂直的一边)为xm,则它的宽为　　　　m,长方形存车处的面积为　　　　. 

由此,我们可以列出方程　　　　,化简得　　　　. 

【师生活动】　教师引导分析,学生回答,通过所设未知数,根据题意列出方程,老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型,整理所列出的方程.

【课件展示】

解:(1)设长方形存车处的宽(靠墙的一边)为xm,则它的长为m.

根据题意,可得方程·x=700.

整理,得x2-90x+1400=0.

(2)设长方形存车处的长(与墙垂直的一边)为xm,则它的宽为(90-2x)m.

根据题意,可得方程(90-2x)·x=700.

整理,得x2-45x+350=0.

思路二

小组活动,共同探究,思考下列问题:

(1)分析题意,题中的已知条件是什么?

(2)分析题意,题中的等量关系是什么?

(3)如何设未知数,根据题中等量关系怎样列方程?

(4)分析下面小明和小亮列方程的做法,他们的解题思路和所列方程是否正确?

【课件展示】

小明的做法:

设长方形存车处的宽(靠墙的一边)为xm,则它的长为m.

根据题意,可得方程·x=700.

整理,得x2-90x+1400=0.

小亮的做法:

设长方形存车处的长(与墙垂直的一边)为xm,则它的宽为(90-2x)m.

根据题意,可得方程(90-2x)·x=700.

整理,得x2-45x+350=0.

【师生活动】　教师先出示问题(1)~(3),学生讨论交流后出示问题(4),学生再进行交流.教师在巡视过程中及时解决疑难问题,学生讨论后小组展示结果,教师及时补充和点评.

[设计意图]　师生共同分析探讨实际问题中的等量关系,列出方程,为引出一元二次方程的概念做铺垫,同时提高学生建立方程模型解决生活中实际问题的能力.

共同探究二　共同归纳概念

请口答下面问题.

(1)上面方程整理后含有几个未知数?

(2)上面方程中未知数x的最高次数是几次?

(3)方程两边都是整式吗?

(4)你能类比一元一次方程的概念,给出一元二次方程的定义吗?

【学生活动】　小组合作交流,类比一元一次方程定义,尝试给出一元二次方程的定义.

老师点评归纳:一元二次方程满足三个条件:(1)都只含一个未知数x;(2)它们的最高次数都是2次;(3)方程两边都是整式.

【课件展示】　只含有一个未知数,并且未知数的最高次数为2的整式方程,叫做一元二次方程.

[设计意图]　学生通过合作交流,类比一元一次方程的定义得出一元二次方程的定义,体会类比思想在数学中的应用,同时培养学生归纳总结能力及合作交流能力.

　　[过渡语]　我们了解了一元二次方程的有关概念,现在同学们比一比谁理解得更透彻吧.

【课件展示】　请抢答下列各式是否为一元二次方程:

(1)2x2=9;

(2)2x2-1=3y;

(3)4x2+3=2x;

(4)=0;

(5)5x2-2x+3;

(6)2x(x+2)=5x-2;

(7)3x(x-1)=3x2-5.

【师生活动】　学生以抢答的形式来完成该题,并让学生说出判断理由.教师对学生给出的答案作出点评和归纳,并让学生归纳判断易错点——先化简再判断.

[设计意图]　通过抢答进一步强化一元二次方程的概念满足的三个条件,同时提高学生学习数学的兴趣和积极性.

共同探究三　一元二次方程的一般形式

【思考1】　类比一元一次方程的一般形式,你能不能写出一元二次方程的一般形式?

【课件展示】

一元二次方程的一般形式为:ax2+bx+c=0(a≠0).

其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项.

【思考2】

(1)任何一个一元二次方程是否都可以整理成一般形式?

(2)一元二次方程的二次项系数为什么不能为0?

(任何一个一元二次方程都能化成一般形式;当一元二次方程的二次项系数a=0,b≠0时,方程为一元一次方程)

【师生活动】　学生独立思考后,小组合作交流,教师对学生的展示进行点评、归纳.

[设计意图]　通过概括一元二次方程的一般形式,让学生理解掌握数学符号语言在数学中的应用,更深入地理解一元二次方程的概念,同时强调了一元二次方程概念中的易错点.

　　[过渡语]　我们又知道了一元二次方程的一般形式,试试我们能不能完成以下问题.

【课件展示】

做一做:

将下列一元二次方程化为一般形式,并指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项.

(1)4x2=3(x+4);

(2)(2x-3)(3x-2)=10;

(3)·=7;

(4)(2x-1)(2x+1)=(3x+1)2.

〔解析〕　一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0),因此,通过去分母、去括号、移项、合并同类项等法则先将一元二次方程进行整理,再根据有关概念求解.

解:(1)原方程可化为:4x2-3x-12=0.

其中二次项系数为4,一次项系数为-3,常数项为-12.

(2)原方程可化为:6x2-13x-4=0.

其中二次项系数为6,一次项系数为-13,常数项为-4.

(3)原方程可化为:2x2+x-48=0.

其中二次项系数为2,一次项系数为1,常数项为-48.

(4)原方程可化为:5x2+6x+2=0.

其中二次项系数为5,一次项系数为6,常数项为2.

追问:求一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项时应注意什么?

(一是先化简成一般形式;二是书写系数时不要遗漏前边的符号)

【师生活动】　学生独立思考回答,教师进行点评归纳.

[设计意图]　通过做一做,让学生了解求一元二次方程的项或项的系数时,先化成一元二次方程一般形式再求解,加深对一元二次方程一般形式的理解.

共同探究四　一元二次方程的根

【思考】

1.什么是一元二次方程的解?

(使一元二次方程两边相等的未知数的值,叫做一元二次方程的解)

板书:一元二次方程的解也叫做这个方程的根.

2.如何判定一个数值是不是一元二次方程的根?

(将这个数值代入一元二次方程,如果方程左右两边相等,则该数值是方程的根;如果方程左右两边不相等,则该数值不是方程的根)

【课件展示】

做一做:

在下列各题中,括号内未知数的值,哪些是它前面方程的根?

(1)x2-3x-4=0(x=0,x=-1,x=4);

(2)(x+2)(x-2)=12(x=-1,x=-4,x=4);

(3)2y2-y-1=0.

【师生活动】　学生独立完成并回答,教师点评.

[设计意图]　通过做一做让学生真正理解和掌握一元二次方程的根的概念.

[知识拓展]　

1.判断一个方程是一元二次方程需同时满足三个条件:(1)是整式方程;(2)只含有一个未知数;(3)未知数的最高次数是2.同时要注意二次项系数不能为0.

2.一元二次方程的一般形式的特点是方程的右边为0,左边是关于未知数的二次整式.

3.一元二次方程的项或系数是针对一元二次方程的一般形式而言的,所以写项或系数时,要先化成一般形式,并且都包括前边的符号.

4.判断一个数值是不是一元二次方程的根的方法:将这个数值代入一元二次方程,如果方程左右两边相等,则该数值是方程的根;如果方程左右两边不相等,则该数值不是方程的根.

5.如果已知a是一元二次方程的根,把x=a代入方程,方程左右两边相等,可以求待定系数的值,整体思想是常用的数学思想.

三、课堂小结：

1.一元二次方程概念需要满足三个条件:

(1)是整式方程;

(2)只含有一个未知数;

(3)未知数的最高次数是2.

2.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0),易错点是忽略强调a≠0.

3.确定一元二次方程的项与系数时一定先化成一般形式,书写时应注意包括前边的符号.

4.一元二次方程的解也叫一元二次方程的根.

5.根据实际问题列一元二次方程的关键是读懂题意,找到题目中的等量关系.

6.本节课用到了类比思想、整体思想解决数学问题.