冀教版九年级上册24.2 解一元二次方程教案设计

24.2解一元二次方程（1）

教学目标

【知识与能力】

1.理解一元二次方程的概念.

2.掌握一元二次方程的一般形式,正确认识二次项系数、一次项系数及常数项.

3.体会一元二次方程是刻画实际问题的重要数学模型.

4.理解一元二次方程解的概念.

【过程与方法】

1.通过一元二次方程的引入,培养学生建模思想,归纳、分析问题及解决问题的能力.

2.体会数学来源于生活,又回归生活的理念.

3.由设未知数、列方程向学生渗透方程的思想,从而进一步培养学生数学思维能力.

【情感态度价值观】

1.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识.

2.激发学生学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养用数学的意识.

3.体会数学知识与现实世界的联系.

教学重难点

【教学重点】

一元二次方程的概念及一般形式.

【教学难点】  

1.由具体问题抽象出一元二次方程的转化过程.

2.正确识别一般式中的“项”及“系数”.

课前准备

多媒体课件

教学过程

一、新课引入：

导入一:

【课件展示】　一桶油漆可刷的面积为1500dm2,张明用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面,你能算出盒子的棱长吗?

【师生活动】　学生思考,教师引导回答下列问题:

(1)设其中一个盒子的棱长为xdm,则一个正方体的表面积为　　　　dm2; 

(2)题目中的等量关系为　　　　;因此,根据题意可列方程　　　　;化简可得　　　　. 

【师生活动】　学生在教师的引导下完成填空,教师及时引导和点拨.

追问:如何解这个方程?5和-5是方程的两个根,它们都符合问题的实际意义吗?

(棱长不能为负数,所以正方体的棱长为5dm)

【课件展示】

解:设其中一个盒子的棱长为xdm,则一个正方体的表面积为6x2dm2.

根据题意,得10×6x2=1500,整理,得x2=25,

根据平方根的意义,得x=±5.

即x1=5,x2=-5(不合题意,舍去).

答:其中一个盒子的棱长为5dm.

导入二:

1.什么是一个数的平方根?平方根有哪些性质?

2.计算:9的平方根是　　　　,的平方根是　　　　. 

3.若x2=36,则x的值是　　　　. 

4.什么是完全平方公式?

【师生活动】　共同复习平方根的概念和性质及完全平方公式.

[设计意图]　由实际问题导入新课,让学生体会数学来源于生活,又应用于生活,激发学生学习数学的兴趣,同时教师引导学生分析解决问题,为以后学习一元二次方程的应用打下基础.通过复习平方根的概念和性质及完全平方公式,让学生很自然地应用旧知识解决新问题.

二、新知构建：

　　[过渡语]　我们复习了平方根的定义,根据平方根的定义可以解某些特殊的一元二次方程,让我们尝试解这些方程吧.

试着做做

【课件展示】

1.根据平方根的意义,解下列方程:

(1)x2=4;

(2)(x+1)2=4.

【师生活动】　学生独立思考回答,教师规范书写.

解:(1)根据平方根的意义得x=±2,

∴x1=2,x2=-2.

(2)根据平方根的意义得x+1=±2,

∴x+1=2或x+1=-2,

∴x1=1,x2=-3.

【思考】　方程的左右两边满足什么形式时,利用平方根的意义,可以直接开平方解一元二次方程?

(方程左边是完全平方式的形式,方程右边是一个非负数.即(x+m)2=n,其中n≥0)

【师生活动】　学生独立思考后小组合作交流,教师对学生的展示进行点评、归纳.

【课件展示】

2.解下列方程:

(1)x2+2x+1=4;

(2)x2+2x-3=0.

教师引导分析,思考下列问题并回答:

(1)方程(2)与方程(1)的区别是什么?

(方程(1)左边可以化简成完全平方式,方程(2)左边不是完全平方式)

(2)把常数项移项,如何把方程(2)的左边化成与方程(1)的左边相同?

(移项,得x2+2x=3,根据等式的性质,方程两边同时加1可以化成与(1)的左边相同)

(3)能不能配方后解方程?

(配方后用直接开平方法可以求解)

【师生活动】　学生小组合作交流,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,小组代表板书解题过程,教师点评.

解:(1)原方程可化为(x+1)2=4,

∴x+1=±2,∴x+1=2或x+1=-2,

∴x1=1,x2=-3.

(2)原方程可化为x2+2x+1=4,

即(x+1)2=4,

∴x+1=±2,∴x+1=2或x+1=-2,

∴x1=1,x2=-3.

追加提问:通过上面的探究,解一元二次方程的基本策略是什么?

【师生活动】　学生思考,教师提示:由方程(x+1)2=4,得到方程x+1=2或x+1=-2,方程的次数有什么变化?将新知识化成原来学过的知识,是数学中常用的转化思想.

(“降次”是解一元二次方程的基本策略,解一元二次方程时就是把一个一元二次方程“降次”,达到转化为两个一元一次方程的目的)

[设计意图]　通过探究利用平方根的意义解一元二次方程的方法,学生做好新旧知识的衔接,同时练习的设计由浅入深,学生易于理解和掌握本节课的学习重点.引导学生对比练习(1)和(2)两个方程,发现它们之间的联系,从而找到解决问题的突破口,依据完全平方公式进行配方,体会从特殊到一般,从具体到抽象的思维过程.

做一做

【课件展示】　先把下列方程化为(x+m)2=n(m,n是常数,n≥0)的形式,再求出方程的根.

(1)x2+2x=48;

(2)x2-4x=12;

(3)x2-6x+5=0;

(4)x2+x-=0.

思路一

【课件展示】　根据完全平方公式填空:

(1)x2+2x+(　　)2=(x+　　　　)2; 

(2)x2-4x+(　　)2=(x-　　　　)2; 

(3)x2-6x+(　　)2=(　　)2;

(4)x2+x+(　　)2=(　　)2.

【师生活动】　学生独立思考后,小组讨论交流,共同完成,教师及时点评.教师强调:当一次项系数为负数或分数时,要注意运算的准确性.

【思考】

1.当二次项系数为1时,配方时常数项和一次项系数之间有什么关系?

(当完全平方式的二次项为1时,常数项是一次项系数一半的平方)

2.以上方程左边能不能化成完全平方的形式?

3.你能将以上方程左边化成完全平方形式后求出该方程的解吗?

【师生活动】　学生独立思考后,小组合作交流,教师对有困难的学生进行指导,小组代表展示,教师点评过程中强调易错点.

解:(1)原方程可化为x2+2x+1=49,

即(x+1)2=49,

∴x+1=±7,∴x+1=7或x+1=-7,

∴x1=6,x2=-8.

(2)原方程可化为x2-4x+4=16,

即(x-2)2=16,

∴x-2=±4,∴x-2=4或x-2=-4,

∴x1=6,x2=-2.

(3)原方程可化为x2-6x+9=4,

即(x-3)2=4,

∴x-3=±2,∴x-3=2或x-3=-2,

∴x1=5,x2=1.

(4)原方程可化为x2+x+=1,

即=1,

∴x+=±1,∴x+=1或x+=-1,

∴x1=,x2=-.

[设计意图]　通过复习利用完全平方知识填空,学生归纳、猜想、验证二次项系数为1时,常数项与一次项系数之间的关系,为用配方法解一元二次方程的学习打下基础,同时培养学生归纳猜想能力.通过练习,巩固将方程左边化为完全平方式后,直接开平方解一元二次方程的方法,为归纳配方法解方程做好铺垫.

思路二

【思考】

1.观察方程(1)和(2),你能否将方程左边配成完全平方形式?

2.方程(1)(2)左边化成完全平方式时,方程右边怎样变化才能使方程仍然成立?

3.方程(3)(4)怎样转化成方程(1)(2)的形式?

4.你能将方程(3)(4)的左边化成完全平方形式吗?

5.请你尝试求出以上方程的解.

【师生活动】　学生独立思考后,给学生足够的时间进行小组合作交流,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,小组代表板书解答过程,教师进行点评.

解决过程同思路一.

[设计意图]　通过教师提出的问题,学生有目的地进行合作交流,寻找解一元二次方程的新的方法,培养学生勇于探索的精神及合作意识,课件展示解答过程,达到规范学生做题习惯的目的.

归纳总结:

【课件展示】

通过配方,把一元二次方程变形为一边为含未知数的一次式的平方,另一边是常数,当常数为非负数时,利用开平方,将一元二次方程转化为两个一元一次方程,从而求出原方程的根,这种解一元二次方程的方法叫做配方法.

【思考】　你能归纳出配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤吗?

【师生活动】　小组合作交流,共同探究,教师对学生的展示进行归纳总结.

【课件展示】

配方法解一元二次方程的步骤:

(1)移项(常数项移到方程右边);

(2)配方(方程两边都加上一次项系数的一半的平方);

(3)开平方;

(4)解出方程的根.

[设计意图]　通过小组合作归纳结论,培养学生合作意识和归纳总结能力.

例题讲解

【课件展示】

　用配方法解下列方程:

(1)x2-10x-11=0;

(2)x2+2x-1=0;

【师生活动】　学生独立完成,小组内交流答案,比一比哪个小组所用时间短,并且正确率高,教师在巡视过程中帮助个别有困难的学生.

解:(1)移项,得x2-10x=11.

配方,得x2-10x+52=11+52,

即(x-5)2=36.

两边开平方,得x-5=±6.

所以x1=11,x2=-1.

(2)移项,得x2+2x=1.

配方,得x2+2x+12=1+12,

即(x+1)2=2,

两边开平方,得x+1=±.

所以x1=-1+,x2=-1-.

[设计意图]　通过练习进一步巩固配方法解一元二次方程的步骤,通过比赛形式训练学生的计算能力,培养学生的竞争意识.

做一做:

【课件展示】　对于方程2x2+4x+1=0,如何用配方法求解呢?

教师引导分析:

(1)该方程能不能按上边的方法先移项,然后直接配方?

(观察方程移项后,二次项系数不为1,所以不能直接配方)

(2)观察该方程和上边方程有什么区别?

(二次项系数不为1)

(3)如何把二次项系数化为1?

(根据等式的基本性质,方程两边同时除以二次项系数可得)

(4)根据上边的分析,尝试完成解方程.

【师生活动】　小组讨论交流,共同探究解方程的方法,教师对有困难的学生给予适当提示.

小组交流后学生板书解题过程,教师指导点拨.

解:移项,得2x2+4x=-1,

二次项系数化为1,得x2+2x=-,

配方,得x2+2x+1=-+1,

(x+1)2=,∴x+1=±,

∴x1=-1+,x2=-1-.

思考并回答:用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么?

[设计意图]　几个问题的设计是层层递进的,化解了教学的难度,学生在探索、交流的过程中掌握了知识,培养了数学思维和分析问题、解决问题的能力,同时再次培养学生的归纳总结能力.

【课件展示】

　用配方法解方程:2x2+3=6x.

【师生活动】　学生独立完成后小组交流答案,教师在巡视过程中帮助有困难的学生.

解:移项,并将二次项系数化为1,

得x2-3x=-.

配方,得x2-3x+-,

即.

两边开平方,得x-=±.

所以x1=,x2=.

[知识拓展]　

1.直接开平方法是解一元二次方程的最基本的方法,主要解形如(ax+b)2=c(c≥0)的一元二次方程,解方程的理论依据是平方根的定义.

2.利用直接开平方法解一元二次方程时,要注意开方的结果.

3.方程(ax+b)2=c中,当c<0时,方程没有实数根.

4.配方法是对二次项和一次项配方,所以一般先把常数项移到方程右边,再利用等式的性质将方程两边都加上一次项系数一半的平方(二次项系数必须为1).

5.用配方法解一元二次方程,实质就是对一元二次方程变形,转化成直接开平方法所需要的形式.配方为了降次,利用平方根的定义把一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.

三、课堂小结：

1.依据平方根的概念可解形如(ax+b)2=c(c≥0)的一元二次方程.

2.通过配方,把一元二次方程变形为一边为含未知数的一次式的平方,另一边是常数,当常数为非负数时,利用开平方,将一元二次方程转化为两个一元一次方程,从而求出原方程的根,这种解一元二次方程的方法叫做配方法.

2.解一元二次方程的基本思路:降次——把一元二次方程化为(x+h)2=k(k≥0)的形式后两边开平方,使原方程变为两个一元一次方程,

3.用配方法解一元二次方程的一般步骤:

(1)移项(把常数项移到方程的右边);(2)把二次项系数化为1(方程两边同时除以二次项系数a);(3)配方(方程两边都加上一次项系数一半的平方);(4)开平方(根据平方根意义,方程两边开平方);(5)求解(解一元一次方程).