数学九年级上册24.2 解一元二次方程教学设计

24.2解一元二次方程（2）

教学目标

【知识与能力】

1.理解一元二次方程求根公式的推导过程.

2.会用根的判别式判断一元二次方程的根的情况.

3.熟练地使用求根公式解一元二次方程.

【过程与方法】

1.通过探究一元二次方程的求根公式,提高学生的观察能力、分析问题能力,同时培养学生的数学建模意识.

2.通过正确、熟练地使用求根公式解一元二次方程,提高学生的综合运算能力.

3.通过探究求根公式的推导及应用过程,获得成功的数学体验,增强学好数学的信心.

【情感态度价值观】

1.探究公式的过程中,小组之间的交流合作,进一步发展学生合作交流的意识和能力,让学生体验数学活动充满着创造和乐趣.

2.发展学生独立思考、勇于探索的创新精神,向学生渗透转化思想,让学生感受数学中的内在美.

教学重难点

【教学重点】

根的判别式及用公式法解一元二次方程.

【教学难点】  

一元二次方程求根公式的推导过程.

课前准备

多媒体课件

教学过程

一、新课导入：

导入一:

韦达是16世纪法国最伟大的数学家之一,当比利时数学家提出一个一元45次的方程的求解问题向各国数学家挑战时,法国国王把这个问题交给了韦达,韦达当时就得出一解,回家后一鼓作气,很快又得出22解,答案公布,震惊世界.像这种高次方程,有没有一个通法,也就是说:对于每个次数的一元方程能否找出一公式来求解,一直是各国数学家都想解决的一个问题.我们今天就来研究一下,一元二次方程是否可找出一个公式,我们在解这类方程的时候按公式代入就行了呢?

导入二:

【课件展示】　用配方法解下列方程.

(1)x2-6x-15=0

(2)4x2-3x+2=0

【师生活动】　学生独立完成后,小组内交流答案.师生共同复习配方法解一元二次方程的一般步骤.

【课件展示】

(1)移项,得x2-6x=15,

配方,得x2-6x+9=15+9,

即(x-3)2=24,

开方得x-3=±2,

∴x-3=2或x-3=-2,∴x1=3+2,x2=3-2.

(2)移项,得4x2-3x=-2,

二次项系数化为1,得x2-x=-,

配方,得x2-x+=-,

即=-,

∵-<0,∴原方程无实数根.

[设计意图]　通过数学家的故事,激发学生学习数学的兴趣,激发学生学习本节课的求知欲;通过对旧知识的回顾,学生再次经历了配方法解方程的全过程,为本节课配方法探究一元二次方程的求根公式做好铺垫,同时让学生获得成功的喜悦,调动学生的学习热情,唤醒学生的思维,为后面的探索奠定了良好的基础.

二、新知构建：

　　[过渡语]　我们复习了配方法解一元二次方程的一般步骤,如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),你能否用上面配方法的步骤求出它的两根?

共同探究一　用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0)

【课件展示】　按照配方法解方程的一般步骤,将方程ax2+bx+c=0(a≠0)左边配成完全平方形式.

思路一

教师引导分析填空.

移项,得　　　　. 

将二次项系数化为1,得　　　　. 

配方,得x2+x+　　　　=-+　　　　. 

整理,得　　　　. 

于是,得到.

思路二

【师生活动】　学生独立思考后进行推导,并针对自己推导过程中的问题小组讨论交流,教师在巡视过程中帮助有困难的学生.

课件展示推导过程,有错误的学生及时改正.

解:移项,得ax2+bx=-c,方程中的二次项系数化为1,得x2+x=-.

配方,得x2+x+=-.

即.

共同探究二　一元二次方程的求根公式

问题1

一元二次方程(x+m)2=n一定有根吗?

【师生活动】　学生思考回答,教师及时指导和补充.

问题2

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)配方后的方程一定有根吗?

【师生活动】　学生小组讨论,共同探究,规范书写过程.教师继续板书过程.

∵4a2>0,

∴(1)当b2-4ac>0时,>0,

x+=±.

方程有两个不相等的实数根:

x1=,x2=.

(2)当b2-4ac=0时,=0,

=0.

方程有两个相等的实数根:

x1=x2=-.

(3)当b2-4ac<0时,<0,而≥0,方程没有实数根.

[设计意图]　让学生亲身经历一元二次方程求根公式的推导,有利于求根公式的掌握,学生在发现问题、共同交流的过程中,培养了分析问题、解决问题的能力,同时规范了学生的数学语言,体会了数学中的分类思想.

归纳总结:

【思考】

(1)不解方程,你能判断一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况吗?

(2)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么?

【师生活动】　学生小组合作交流,师生共同得出结论.

(课件展示同时板书)

对于一元二次方程ax2+bx+c=0:

(1)当b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;

(2)当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;

(3)当b2-4ac<0时,方程没有实数根.

我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式.

当b2-4ac≥0时,一元二次方程ax2+bx+c=0的两实数根可以用x=.

求出的这个式子叫做一元二次方程的求根公式.利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.

教师强调:

(1)用一元二次方程根的判别式可以判定一元二次方程根的情况;

(2)一元二次方程的根由系数a,b,c决定;

(3)用公式法解一元二次方程时,先将方程化成一般形式,确定a,b,c的值,然后代入公式求解.

[设计意图]　通过小组合作交流,既加深了学生对根的判别式和求根公式的认识,又培养了学生的合作意识和归纳总结能力,同时达到了熟练记忆求根公式的目的,为熟练判断一元二次方程根的情况及应用公式解方程提供了理论依据.

　　[过渡语]　我们学习了一元二次方程根的判别式及公式法解一元二次方程,下面让我们通过例题检验一下学习情况吧.

例题讲解

【课件展示】

　(教材41页例3)不解方程,判别下列方程根的情况:

(1)x2+3x+2=0;

(2)x2-4x+4=0;

(3)2x2-4x+5=0.

【师生活动】

教师提问:不解方程,如何判断一元二次方程根的情况?学生回答后教师点评,然后学生迅速演算或口算出b2-4ac,从而判断出根的情况,看谁做得既快又准确,学生回答后教师课件展示解答过程.

解:(1)这里a=1,b=3,c=2.

∵b2-4ac=32-4×1×2=1,

∴原方程有两个不相等的实数根.

(2)这里a=1,b=-4,c=4.

∵b2-4ac=(-4)2-4×1×4=0,

∴原方程有两个相等的实数根.

(3)这里a=2,b=-4,c=5.

∵b2-4ac=(-4)2-4×2×5=-24<0,

∴原方程没有实数根.

【课件展示】

　(教材41页例4)用公式法解下列方程:

(1)4x2+x-3=0;

(2)x2-2x-5=0.

【师生活动】　学生独立思考后完成,小组内交流答案,教师在巡视中指导有困难的学生,学生展示答案后教师点评规范解题过程.

解:(1)这里a=4,b=1,c=-3.

∵b2-4ac=12-4×4×(-3)=49>0,

∴x=,

即x1=,x2=-1.

(2)这里a=1,b=-2,c=-5.

∵b2-4ac=(-2)2-4×1×(-5)=24>0,

∴x==1±,

即x1=1+,x2=1-.

追问:你能总结公式法解一元二次方程的步骤吗?

(将所给方程化成一般形式;找出系数a,b,c;计算判别式b2-4ac;代入求根公式)

[设计意图]　通过例题让学生熟练掌握根的判别式及公式法解方程,看谁判断速度快,激发学生的竞争意识,培养学习兴趣;演示解方程的过程,规范答题格式,培养学生严谨的学习态度.

[知识拓展]　公式法解一元二次方程的一般步骤:

(1)将所给的方程变成一般形式,注意移项要变号,尽量让a>0;

(2)找出系数a,b,c,注意各项的系数包括符号;

(3)计算b2-4ac,若结果为负数,方程无解;

(4)若结果为非负数,代入求根公式,算出结果.

三、课堂小结：

1.用根的判别式判定一元二次方程的根的情况:当b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;当b2-4ac<0时,方程没有实数根.

2.求根公式:当b2-4ac≥0时,一元二次方程ax2+bx+c=0的两实数根为x=.

3.公式法解一元二次方程的步骤.

4.用公式法解方程应注意的问题:

先将方程化为一般形式,确定a,b,c的值时注意符号,当b2-4ac≥0时,将a,b,c的值代入求根公式