初中数学冀教版九年级上册25.5 相似三角形的性质教学设计及反思

25.5相似三角形的性质（2）

教学目标

【知识与能力】

1.了解相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方.

2.能应用相似三角形的性质进行有关周长、面积的计算.

【过程与方法】

1.经历相似三角形性质的推理过程,进一步深化对相似三角形的认识.

2.通过探究、讨论、猜想、证明,让学生经历探索相似三角形性质的过程,体会探索研究问题的思路和方法.

3.经历探索相似三角形性质的过程,提高分析问题和解决问题的能力及归纳总结能力.

【情感态度价值观】

1.经历观察、引导、实践、猜想、证明等数学活动过程,发展合情推理能力和初步演绎推理能力.

2.在学习和探究过程中,体验由特殊到一般的认知规律,通过学生之间的合作交流,在合作中体验成功的喜悦,树立学习的自信心.

教学重难点

【教学重点】

相似三角形的性质定理的探索及应用.

【教学难点】  

相似三角形性质的归纳推理.

课前准备

多媒体课件

教学过程

一、新课导入：

导入一:

复习提问:

1.相似三角形有哪些判定方法?

2.相似三角形有什么性质?

【师生活动】　学生独立思考回答,教师点评.

导入二:

【课件展示】　某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题,马路旁原有一个面积为100平方米、周长为80米的三角形绿化地.由于马路的拓宽,绿地被削去一个角,变成了一个梯形,原绿化地一边BC的长由原来的30米变为18米.那么被削去的部分的面积有多少?你能解决这个问题吗?

【教师活动】　教师展示课件,导出课题.

[导入语]　通过今天的学习,我们利用相似三角形的性质可以解决有关周长、面积的问题.

二、新知构建：

　　[过渡语]　上节课我们探究了相似三角形的对应线段比等于相似比,那么相似三角形的周长比、面积比与相似比有什么关系呢?让我们一起去探究.

一起探究　相似三角形的周长比、面积比与相似比之间的关系

思路一

活动一:

根据图上标出的数据,回答下列问题:

【思考】

(1)根据图中数据易知两个直角三角形相似,相似比是多少?

(2)计算这两个三角形的周长,它们的周长比与相似比有什么关系?

(3)计算两个三角形的面积,它们的面积比与相似比有什么关系?

【师生活动】　学生独立完成后回答教师提出的问题.

活动二:

(1)猜想1:任意相似三角形的周长比与相似比有什么关系?

(2)你能证明猜想1的结论吗?

(3)猜想2:任意相似三角形的面积比与相似比有什么关系?

(4)你能证明猜想2的结论吗?

【师生活动】　学生思考后,小组合作交流,共同探究证明方法,板书证明过程,教师及时帮助有困难的学生,并点评学生的解答,规范学生的证明格式,师生共同归纳相似三角形的性质.

【课件展示】

相似三角形的性质定理:

相似三角形的周长比等于相似比.

相似三角形的面积比等于相似比的平方.

已知:如图所示,ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为k,AD,A'D'分别为BC,B'C'边上的高.

求证:=k,=k2.

证明:∵ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为k,

∴=k,=k.

∴AB=kA'B',AC=kA'C',BC=kB'C'.

∴=k,

·=k2.

活动三:

你能用几何语言描述上述相似三角形的性质吗?

【师生活动】　学生独立思考回答,教师点评,课件展示正确结论.

【课件展示】　如上图所示,ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为k,则=k,=k2.

思路二

【课件展示】　如图所示,ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为k,AD,A'D'分别为BC,B'C'边上的高.

(1)ΔABC的周长和ΔA'B'C'的周长的比与它们的相似比有什么关系?请说明理由.

(2)ΔABC的面积和ΔA'B'C'的面积的比与它们的相似比有什么关系?请说明理由.

【师生活动】　教师给学生足够的时间思考、小组合作交流,共同探索相似三角形的周长比、面积比与相似比之间的关系及证明思路,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,学生探究出结论后,完成证明过程,教师对学生的展示进行点评,师生共同归纳相似三角形的性质.

【课件展示】

相似三角形的性质定理:

相似三角形的周长比等于相似比.

相似三角形的面积比等于相似比的平方.

已知:如图所示,ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为k,AD,A'D'分别为BC,B'C'边上的高.

求证:=k,=k2.

证明:∵ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为k,

∴=k,=k,

∴AB=kA'B',AC=kA'C',BC=kB'C'.

∴=k,

·=k2.

追加思考:

你能用几何语言描述上述相似三角形的性质吗?

【师生活动】　学生独立思考回答,教师点评,课件展示正确结论.

【课件展示】　如上图所示,ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为k,则=k,=k2.

[设计意图]　思路一让学生经历由特殊到一般的探究过程,通过计算、观察、猜想、证明等数学活动,让学生经历知识的形成过程,有助于理解掌握相似三角形的性质;思路二主要通过小组合作交流,探究相似三角形的性质,培养学生的合作意识,严格地推理论证性质定理,培养了学生严谨的学习态度,同时培养了学生的归纳总结能力.

例题讲解

　　[过渡语]　我们探究了相似三角形的性质,应用这些性质可以直接解决一些有关问题,我们一起尝试解决下列问题.

　(教材86页例2)如图所示,在ΔABC中,D,E,F分别为BC,AC,AB边的中点.求:

(1)ΔDEF的周长与ΔABC的周长之比.

(2)ΔDEF的面积与ΔABC的面积之比.

〔解析〕　由三角形的中位线定理可以得到ΔDEF三边与ΔABC三边之间的数量关系,根据相似三角形的判定定理可得两个三角形相似,且相似比为1∶2,由相似三角形的周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方,可得结论.

【师生活动】　学生在教师的引导分析下回答问题,然后独立完成解答,小组成员交流答案,小组代表板书过程,教师点评,规范学生书写过程.

【课件展示】

解:∵D,E,F分别为BC,AC,AB的中点,

∴DE∥AB,EF∥BC,DF∥AC,

且DE=AB,EF=BC,DF=AC.

∴.

∴ΔDEF∽ΔABC.

∴ΔDEF的周长与ΔABC的周长之比为1∶2,

ΔDEF的面积与ΔABC的面积之比为1∶4.

[设计意图]　通过经历对例题的探究过程,加深学生对相似三角形的性质的理解和掌握,达到巩固知识的目的,提高学生应用意识,增强学习数学的自信心,培养学生分析问题、解决问题的能力.

[知识拓展]　相似三角形的性质可用于有关角的计算、线段长的计算以及三角形的周长和面积的计算等,还可以用于证明两角相等、两条线段相等等.

三、课堂小结：

相似三角形的性质:

(1)相似三角形的对应边成比例;

(2)相似三角形的对应角相等;

(3)相似三角形的对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线)的比等于相似比;

(4)相似三角形的周长比等于相似比;

(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.