2021-2022学年四省八校高三（下）开学数学试卷（理科）（Word解析版）

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绝密★启用前2021-2022学年四省八校高三（下）开学数学试卷（理科）第I卷（选择题）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）若集合A={x∈R|1-xx>2}，B={x|log2(x+1)<1}，则A∩B=(    )A. (-∞,13) B. (-1,13) C. (0,13) D. (13,1)已知a∈R，复数z=3+i1+ai(i为虚部单位)为纯虚数，则z的共轭复数的虚部为(    )A. 1 B. -1 C. i D. -i已知α，β∈R，则“cosα=cosβ”是“存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ”的(    )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件设函数f(x)=|x|ln1+x1-x，则函数的图象可能为(    )A. B. C. D. “烂漫的山花中，我们发现你．自然击你以风雪，你报之以歌唱．命运置你于危崖，你馈人间以芬芳．不惧碾作尘，无意苦争春，以怒放的生命，向世界表达倔强．你是岸畔的桂，雪中的梅”.这是给感动中国十大人物之一的张桂梅老师的颁奖词，她用实际行动奉献社会，不求回报，只愿孩子们走出大山．受张桂梅老师的影响，有大量志愿者到乡村学校支教，现有6名志愿者要到4个学校参加支教活动，要求甲、乙两个学校各安排一个人，剩下两个学校各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有(    )A. 156种 B. 168种 C. 172种 D. 180种已知log5[log15(log5z)]=log3[log13(log3y)]=log2[log12(log2x)]=0，则下列关系中成立的是(    )A. x0,(φ)≤π2)对于∀x∈R都有f(π3-x)=-f(x)，f(2π3-x)=f(x)恒成立，在区间(-π12,π12)上f(x)无最值．将f(x)横坐标变为原来的6倍，图像左移2π3个单位，上移3个单位得到g(x)，则下列选项正确的是(    )A. g(x)在[4π3,11π3]上单调递增B. 当x=-8π3时g(x)取得最小值为-1C. g(x)的对称中心为x=π3+2kπ(k∈Z)D. g(x)右移m个单位得到h(x)，当m=2π3时，h(x)为偶函数在△ABC中，且BD=λBC，AE=μAC，其中λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，∠B=π3，5AB=4BC，则(    )A. 当λ=13时，AD=13AB+23ACB. 当λ=45时，AB⋅BD=-8C. 当μ=12时，|BE|=212D. 当μ=49时，∠ABE=π6已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M为DD1的中点，N为底面ABCD内一动点，则下列命题正确的个数是(    )①若MN=5，则点N的轨迹长度为π；②若N到平面BB1C1C与直线AA1的距离相等，则N的轨迹为抛物线的一部分；③若N在线段AC上运动，则D1N⊥DB；④若N在线段AC上运动，则MN//DB1．A. 1 B. 2 C. 3 D. 4在x轴上方作圆与x轴相切，切点为D(2,0)，分别从点A(-2,0)、B(2,0)，作该圆的切线AM和BM，并相交于点M，则点M的横坐标的取值范围(    )A. (-∞,-2)∪(2,+∞) B. (-∞,-2]∪[2,+∞)C. (-∞,-3)∪(3,+∞) D. (-∞,-3]∪[3,+∞)已知函数f(x)=aexlnx(a≠0)，若∃x∈[3,+∞)，f(x)b>0)的左、右焦点，若椭圆E上存在点P满足PF1⋅PF2=a22，则椭圆E离心率的取值范围(    )A. (12,22) B. [12,22] C. (0,12) D. (0,12]第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）若一几何体三视图如图所示，则其内接长方体体积的最大值为______．已知(x2+2x)n的展开式中，第四项的系数与倒数第四项的系数之比为12，则展开式中二项式系数最大的项的系数为______．在△ABC中，已知2cos2B-cosA=1，则|AB||BC|的取值范围为______．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉线”，直线l与y轴及双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线的三个不同交点构成集合M，且M恰为某三角形的外心，重心，垂心所成集合，若l的斜率为-1，则该双曲线的离心率可以是①265；②2；③52；④3；⑤10；⑥23．以上结论正确的是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）已知数列{an}中，a1=1，a2=3，an+2+2an-2n+1=3an+1(n∈N*)．(1)设bn=an+1-an2n，求证：{bn}是等差数列；(2)求{an}的通项．如图，多面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为2的正方形，上底面A1B1C1D1为直角梯形，且CC1=B1C1=C1D1=2A1D1=2，BB1//CC1//DD1，CC1⊥平面ABCD，F为棱CC1上的一个动点，设由点A1，A，F构成的平面为α．(1)当F为CC1的中点时，在多面体中作出平面α截正方体的截面图形，并指明与棱的交点位置；(2)求当点D到平面α的距离取得最大值时直线AD与平面α所成角的正弦值．某校高三2班第一小组有男生4人，女生2人，为提高中小学生对劳动教育重要性的认识，现需从中抽取2人参加学校开展的劳动技能学习，学校提供了：除草、翻地、播种、浇水四个项目．规定女生等可能的从中选择1个或者2个项目进行劳动学习，男生等可能的从中选择1个或者2个或者3个项目进行劳动学习，每参加1个劳动项目的学习获得10分，求：(1)在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率；(2)记该小组得分为X，求X的期望．如图，已知椭圆C1：x24+y2=1，曲线C2：y=x2-1与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与相交于A，B，直线MA，MB分别与交于点D，E．(1)证明：以DE为直径的圆经过点M；(2)记△MAB，△MDE的面积分别为S1，S2，若S1=λS2，求λ的取值范围．已知函数f(x)=lnx+ax2-x．(1)当a=1时，求f(x)的单调区间；(2)存在x≥1，使得f(x)≥12x3+1成立，求整数a的最小值．在平面直角坐标系中，曲线C1经过伸缩变换x'=3xy'=2y得到曲线C2，曲线C2的方程为x=1+cosαy=sinα(α为参数)，以坐标原点为极点建立极坐标系，曲线C3是由过极点且关于极轴对称的两条射线组成的图形AOB，其中∠AOB=π2．(1)请写出曲线C1的普通方程和曲线C3的极坐标方程；(2)已知点P在曲线C2上，|OP|=3，延长AO，BO分别与曲线C2交于M点N点，求△PMN的面积．已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|．(1)求不等式f(x)≥0的解集；(2)若f(x)的最大值为m，且logab=-45m，求a+4b的最小值．答案和解析1.【答案】C 【解析】解：集合A={x∈R|1-xx>2}={x|3x-1x<0}={x|01，ln1+x1-x>0，f(x)>0，可排除选项A．故选：C．首先判断f(x)的奇偶性，可得图象的对称性，再考虑x>0时，f(x)的符号，可得结论．本题考查函数的图象的判断，注意运用函数的奇偶性和函数值的符号，考查数形结合思想和推理能力，属于基础题．5.【答案】A 【解析】解：根据题意，设剩下的2个学校为丙学校和丁学校，先计算小李和小王不受限制的排法数目：先在6位志愿者中任选1人，安排到甲学校，有C61=6种情况，再在剩下的5个志愿者种任选1人，安排到乙学校，有C51=5种情况，最后将剩下的4个志愿者平均分成两组，全排列安排到剩下的2个学校，有C42C22A22×A22=6种情况，则小李和小王不受限制的排法有6×5×6=180种，若小李和小王在一起，则两人取丙学校或丁学校，有2种情况，在剩下的4位志愿者种任选1个，安排到甲学校，有C41=4种情况，再在剩下的3个志愿者中任选1人，安排到乙学校，有C31=3种情况，最后2个安排到剩下的学校，有1种情况，则小李和小王在一起的排法有2×3×4=24种，所以小李和小王不在一起的排法有180-24=156种，故选：A．利用间接法来求得不同的安排方案的数量即可．本题考查了排列、组合及简单计数问题，属于基础题．6.【答案】C 【解析】解：由题意可知，z=515，y=313，x=212，∴y6=32=9，x6=23=8，∴y>x，z10=52=25，x10=25=32，∴x>z，y>x>z，故选：C．分别将x，y，z表示出来，即可比较．本题考查了指数的运算，学生的数学运算能力，属于基础题．7.【答案】D 【解析】解：由题意得：T4=π3-π6=π6，∴T=2π3=2πω，则ω=3，∴f(π6)=2sin(π2+φ)=2cosφ=0，φ=π2+kπ(k∈Z)，∴f(x)=2cos3x，则g(x)=2cos(12x+π3)+3，对于A，令2kπ+π≤12x+π3≤2kπ+2π，k∈Z，可得4π3+4kπ≤x≤10π3+4kπ，k∈Z，可得f(x)在[4π3+4kπ,10π3+4kπ]，k∈Z上单调递增，可得当k=0时，函数增区间为[4π3,10π3]，故A错误；对于B，g(-8π3)=2cos[12×(-8π3)+π3]+3=2cosπ+3=1，故B错误；对于C：令12x+π3=kπ+π2，可得x=2kπ+π3，(k∈Z)，可得g(x)的对称中心为(π3+2kπ,3)(k∈Z)，故C错误；对于D，由题意可得h(x)=g(x-m)=2cos(12x+π3-m2)+3，可得当m=2π3时，h(x)=2cos(12x)+3为偶函数，故D正确．故选：D．根据已知条件求得f(x)的解析式，然后根据三角函数的单调性、最值、对称性、三角函数图象变换、三角函数的奇偶性等知识对选项进行分析，从而确定正确选项．本题考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律以及三角函数的图象和性质，考查了函数思想，属于中档题．8.【答案】D 【解析】解：当 λ=13时，BD=13BC，则AD=AB+BD=AB+13BC=AB+13(AC-AB)=23AB+13AC，故A错误；当 λ=45时，BD=45BC，则AB⋅BD=AB⋅(45BC)=45×|AB|⋅|BC|cos2π3=-825BC2，由于|BC|不定，故B错误；当μ=12时，BE=12(BA+BC)，故|BE|=12(BA+BC)2=12BA2+BC2+2BA⋅BC=124125BC2+45BC2=6110|BC|，由于|BC|不定，故C错误；当μ=49时，AE=49AC，BE=AE-AB=49AC-AB=49(AB+BC)-AB=-59AB+49BC)，故|BE|=(-59AB+49BC)2=439|BC|，故BA⋅BE=BA⋅(-59AB+49BC)=59|AB|2-49AB⋅BC=2445BC2，所以cos∠ABE=BA⋅BE|BA|⋅|BE|=2445BC245|BC|×439|BC|=32，由于0<∠ABE<π3，故∠ABE=π6，故D正确，故选：D．根据向量的加减法运算可判断A；根据数量积的运算法则可求得AB⋅BD，从而判断B；先表示出BE=12(BA+BC)，再根据向量模的计算求得|BE|，可判断C；根据向量的夹角公式可求得∠ABE，判断D．本题考查平面向量的数量积运算，考查学生的运算能力，属于中档题．9.【答案】C 【解析】解：①连接DN、MN， ∵DM⊥平面ABCD，∴DM⊥DN，∴DN=5-1=2，∴点N的轨迹是以D为圆心，2为半径的圆的14，∴点N轨迹长度为圆的周长的14，为14×2π×2=π，故①正确；②如图，过N作NE⊥BC与E，连接AN： ∵平面ABCD⊥平面BB1C1C且两平面交于BC，∴NE⊥平面BB1C1C，∴NE即为N到平面BB1C1C的距离；∵AA1⊥平面ABCD，∴AA1⊥AN，∴AN就是N到直线AA1的距离；若N到平面BB1C1C与直线AA1的距离相等，即NE=NA，根据抛物线的定义可知N的轨迹是以A为焦点，BC为准线的抛物线的一部分，故②正确；③连接AD1CD1DC1： ∵CDD1C1是正方形，∴DC1⊥CD1，∵B1C1⊥平面CDD1C1，∴B1C1⊥CD1，∵DC1∩B1C1=C1，∴CD1⊥平面DB1C1，∴CD1⊥DB1，同理可证AD1⊥DB1，∵AD1∩CD1=D1，∴DB1⊥平面ACD1，∴DB1⊥D1N，∴③正确；④连接AC和BD交于O，连接MO， ∵ABCD时正方形，∴OB=OD，又M是DD1的中点，∴在三角形BDD1中，BD1//MO，∴若N在线段AC上运动，只有当N为AC中点O才满足MN//BD1，故④错误．∴正确的命题是：①②③，正确的个数为：3．故选：C．①连接DN、MN，求出DN，根据圆的定义可求N的轨迹，根据圆的周长可求轨迹长度；②根据几何关系可知N到平面BB1C1C的距离即为N到直线BC的距离，N到直线AA1的距离即为NA，根据抛物线的定义即可判断N的轨迹；③连接AD1CD1，证明DB1⊥平面ACD1即可；④连接连接AC和BD交于O，连接MO，则BD1//MO，由此即可判断．本题主要考查立体几何中的轨迹问题，线面平行的判定等知识，属于中等题．10.【答案】A 【解析】解：当M在第一象限时，设直线AM、BM与圆分别相切于点E、F，由题可知，|ME|=|MF|，|AE|=|AD|，|BF|=|BD|，又∵|AM|=|AE|+|ME|，|BM|=|BF|+|MF|，∴|AM|-|BM|=|AE|+|ME|-(|BF|+|MF|) =|AD|-|BD|=22<|AB|，由双曲线的定义可知，M在以A、B为焦点的双曲线的右支上(不能取顶点)，此时M的横坐标xM>2；当M在第三象限时，同理可得|MA|-|MB|=(|ME|-|AE|)-(|MF|-|BF|) =|ME|-|MF|+|BF|-|AE|=|BD|-|AD|=-22．由双曲线的定义可知，M在以A、B为焦点的双曲线的左支上(不能取顶点)，此时M的横坐标xM<-2．综上所述，点M的横坐标的取值范围是(-∞,-2)∪(2,+∞)．故选：A．根据题意作出图象，根据几何关系研究动点M的轨迹即可．本题考查圆的切线方程，考查双曲线定义的应用，考查数形结合思想，是中档题．11.【答案】D 【解析】解：因为f(x)aex，即a<(xex)max，因为xex=lnexex≤lne3e3=3e3，所以a<(xex)max=3e3，即a的取值范围是(0,3e3)．故选：D．先将不等式f(x)aex，然后分离参数求出a的取值范围．本题考查利用导数求函数的最值，考查学生的运算能力，属于中档题．12.【答案】B 【解析】解：设P(x0,y0)，则x02a2+y02b2=1，且F1(-c,0)，F2(c,0)，所以PF1⋅PF2=(-c-x0,-y0)⋅(c-x0,-y0)=x02-c2+y02=x02-c2+b2(1-x02a2)=c2x02a2+b2-c2=a22，整理可得：x02=a2c2(a22-b2+c2)=a2c2(a22-a2+2c2)=a2c2(2c2-a22)，因为0≤x02≤a2，所以0≤a2c2(2c2-a22)≤a2，整理可得：14≤c2a2≤12，即离心率e∈[12,22]，故选：B．设P的坐标，由椭圆的方程可得左右焦点的坐标，求出数量积PF1⋅PF2的表达式，由P的横坐标的坐标可得a，c的关系，进而求出椭圆的离心率的范围．本题考查椭圆的性质的应用及数量积的运算性质的应用，属于基础题．13.【答案】1627 【解析】解：根据三视图可判断该几何体为圆锥，且圆锥的底面半径为1，高为2， 其内接长方体如图，底面矩形的边长为a，b，对角线长为c，高为x，根据轴截面图得出：2-x2=c21，解得c=2-x，其中00，∴y=t-1t在(1,2)上单调递增，∴00)，令x=0，可得y=t，设直线l与y轴的交点A(0,t)，双曲线的渐近线方程为y=±bax，与直线y=x+t联立，可得B(ata+b,bta+b),C(ata-b,-bta-b)，由三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，当A，B，C依次为三角形的外心、重心、垂心，且它们依次位于同一条直线上，可得AB=12BC，即为ata+b=12(ata-b-ata+b)，化为a=2b,e=ca=1+b2a2=52；当A，C，B依次为三角形的外心、重心、垂心，且它们依次位于同一条直线上，可得AC=12CB，即为ata-b=12(ata+b-ata-b)，化为a=-2b不成立；当B，A，C依次为三角形的外心、重心、垂心，且它们依次位于同一条直线上，可得BA=12AC，即为-ata+b=12(ata-b-0)，化为b=3a,e=ca=1+b2a2=10；当C，A，B依次为三角形的外心、重心、垂心，且它们依次位于同一条直线上，可得CA=12AB，即为-ata-b=12(ata+b-0)，化为b=-3a不成立；当C，B，A依次为三角形的外心、重心、垂心，且它们依次位于同一条直线上，可得CB=12BA，即为ata+b-ata-b=-12ata+b，化为a=5b,e=ca=1+b2a2=265；当B，C，A依次为三角形的外心、重心、垂心，且它们依次位于同一条直线上，可得BC=12CA，即为ata-b-ata+b=-12ata-b，化为a=-5b不成立．故答案为：①③⑤．设直线方程y=-x+t(t>0)，可求出三个交点，结合条件列出等式进而可得a，b的关系式，即可判断．本题考查了双曲线的性质，属于中档题． 17.【答案】解：(1)证明：由已知可得an+2-an+1=2(an+1-an)+2n+1，即an+2-an+12n+1-an+1-an2n=1，故bn+1-bn=1，所以{bn}为等差数列，且其首项为b1=a2-a121=1，其公差为1；(2)由(1)知bn=an+1-an2n=1+(n-1)⋅1=n，则an+1-an=n⋅2n，则(a2-a1)+(a3-a2)+⋅⋅⋅+(an-an-1)=1×21+2×22+⋅⋅⋅+(n-1)⋅2n-1，故an-a1=1⋅21+2⋅22+⋯+(n-1)⋅2n-1①，2(an-a1)=1⋅22+2⋅23+⋯+(n-1)②，①-②得an=(n-2)⋅2n+3．所以{an}的通项公式为an=(n-2)⋅2n+3．  【解析】(1)由已知可得an+2-an+1=2(an+1-an)+2n+1，即an+2-an+12n+1-an+1-an2n=1，故bn+1-bn=1，结合b1=a2-a121=1可证明{bn}是等差数列；(2)由(1)知bn=an+1-an2n=1+(n-1)⋅1=n，则an+1-an=n⋅2n，进一步利用累加法即可即可求出{an}的通项公式．本题考查数列的递推公式，涉及累加法，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题． 18.【答案】解：(1)取BC的中点E，取CE的中点N，则CN=14CB，连接C1E，FN，由题意可得C1E//AA1，因为F为CC1的中点，所以C1E//FN，所以FN//AA1，所以N∈α，连接AN并延长交DC延长线于M，连接MF并延长交C1D1于Q，连接A1Q，则平面α截正方体的截面为五边形AA1QFN，如图所示． 因CN=14CB，所以CM=14DM，所以CM=13DC，因为△CMF≅△C1QF，所以C1Q=CM，因为CD=C1D1，所以C1Q=13C1D；(2)如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，延长AA1与z轴交于P点， 设CF=a，(0≤a≤2)，则A(2,0,0)，A1(1,0,2)，F(0,2,x)，∴AA1=(-1,0,2)，AF=(-2,2,a)，DA=(2,0,0)，设平面α的一个法向量为m=(x,y,z)，则m⋅AA1=-x+2z=0m⋅AF=-2x+2y+az=0，令z=2，可求得m=(4,4-a,2)，设点D到平面α的距离为d，则d=8(a-4)2+20，当a=2时，dmax=263，此时m=(4,2,2)，设直线AD与平面α所成角为θ，则sinθ=|cos〈m,DA〉|=|m⋅DA|m||DA||=8216+4+4=63，此时，直线AD与平面α所成角的正弦值为63．  【解析】(1)取BC的中点E，取CE的中点N，连接C1E，FN，连接AN并延长交DC延长线于M，连接MF并延长交C1D1于Q，连接A1Q，从而可求出截面图形；(2)以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设CF=a，(0≤a≤2)，求出平面α的一个法向量m，然后表示出点D到平面α的距离为d，由其最大值可求出a，再利用向量的夹角公式可求得结果．本题考查了平面的基本性质以及直线与平面所成的角的求解，属于中档题． 19.【答案】解：(1)设“至少有一名女生参加劳动学习”为事件A，“恰有一名女生参加劳动学习”为事件B．根据超几何分布原理得：P(AB)=C41C21C62，P(A)=C41C21+C22C62．由条件概率的计算公式得：P(B|A)=P(AB)P(A)=89．(2)根据题意女生参加劳动学习可获得：12×10+12×20=15，男生参加劳动学习可获得：13×10+13×20+13×30=20．设恰有Y人女生参加劳动学习，则男生2-Y人参加劳动学习，则Y的分布列为： 则有：E(Y)=23，又X=15Y+20(2-Y)=40-5Y，∴E(X)=40-5×23=1103．  【解析】(1)设“至少有一名女生参加劳动学习”为事件A，“恰有一名女生参加劳动学习”为事件B．根据超几何分布原理分别求得P(AB)，P(A)，直接利用条件概率的计算公式即可求得；(2)设恰有Y人女生参加劳动学习，则男生2- Y人参加劳动学习，求出Y的分布列和数学期望，由X=40-5Y即可求出E(X)．本题主要考查条件概率和离散型随机变量的分布列和期望，属于基础题． 20.【答案】(1)证明：若直线l的斜率不存在，则该直线与y轴重合，此时直线l与曲线C2只有一个交点，不合乎题意．所以，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx．由y=kxy=x2-1得x2-kx-1=0，设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则x1、x2是上述方程的两个实根，于是x1+x2=k，x1x2=-1．又因为点M(0,-1)，所以kMAkMB=y1+1x1⋅y2+1x2=(kx1+1)(kx2+1)x1x2=k2x1x2+k(x1+x2)+1x1x2=-k2+k2+1x1x2=-1，所以MA⊥MB，即∠DME=90°，所以DE为直径的圆经过点M．(2) 解：由已知，设MA的斜率为k1(k1>0)，则MA的方程为y=k1x-1，由y=k1x-1y=x2-1解得x=0y=-1或x=k1y=k12-1，则点A的坐标为(k1,k12-1)，又直线MB的斜率为-1k1，同理可得点B的坐标为(-1k1,1k12-1)．所以S1=12|MA|⋅|MB|=121+k12⋅|k1|⋅1+1k12⋅|-1k1|=1+k122|k1|，由y=k1x-1x2+4y2-4=0得(1+4k12)x2-8k1x=0，解得x=0y=-1或x=8k11+4k12y=4k12-11+4k12，则点D的坐标为(8k11+4k12,4k12-11+4k12)，又直线MB的斜率为-1k1，同理可得点E的坐标(-8k14+k12,4-k124+k12)，于是S2=12|MD|⋅|ME|=121+k12⋅8|k1|1+4k12⋅1+1k12⋅8|k1|4+k12=32(1+k12)|k1|(1+4k12)(4+k12)，因此S1S2=(1+4k12)(k12+4)64k12=164(4k12+4k12+17)≥164×(24k12⋅4k12+17)=2564，当4k12=4k12时，即当k1=1时，等号成立，所以λ≥2564，所以λ的取值范围为[2564,+∞)．  【解析】(1)分析可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx，设点A(x1,y1)、B(x2,y2)，将直线l的方程与曲线C2的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理计算得出kMAkMB=-1，可得出MA⊥MB，即可证得结论成立；(2)设MA的斜率为k1(k1>0)，则MA的方程为y=k1x-1，将直线MA的方程分别与曲线C2、C1的方程联立，可求得点A、D的坐标，同理可得出点B、E的坐标，可求得S1、S2，进而可得出λ的表达式，利用基本不等式可求得λ的取值范围．本题主要考查圆恒过定点问题，直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中等题． 21.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=lnx+x2-x，该函数的定义域为(0,+∞)，则f'(x)=1x+2x-1≥21x⋅2x-1=22-1>0，当且仅当x=22时，等号成立，故函数f(x)的增区间为(0,+∞)，无单减区间．(2)存在x≥1，使得lnx+ax2-x≥12x3+1成立，即a≥12x+1x+1-lnxx2，令g(x)=12x+1x-lnx+1x2，其中x≥1，则a≥g(x)min，g'(x)=12-1x2+2lnx-3x3=12x3-x+2lnx-3x3，令h(x)=12x3-x+2lnx-3，则h'(x)=32x2-1+2x=3x3-2x+42x，令m(x)=3x3-2x+4，m'(x)=9x2-2>0对任意的x≥1恒成立，故函数m(x)在[1,+∞)上为增函数，则m(x)≥m(1)=5，即h'(x)>0对任意的x≥1恒成立，则函数h(x)为增函数．因为h(32)=-4516+2ln32<0,h(2)=2ln2-1>0，所以存在t∈(32,2)，使得h(t)=g'(t)=12t3-t+2lnt-3=0，当x∈(1,t)时，g'(x)<0，此时函数g(x)单调递减，当x∈(t,+∞)时，g'(x)>0，此时函数g(x)单调递增，所以g(x)min=g(t)=12t3+1-lnt+tt2=12t3+1+t+14t3-12t-32t2=3t3+2t-24t2,t∈(32,2)，设φ(t)=34t+12t-12t2，则φ'(t)=34-12t2+1t3=3t3-2t+44t3，令p(t)=3t3-2t+4，则p'(t)=9t2-2>0对任意的t∈(32,2)恒成立，故函数p(t)在(32,2)上为增函数，则p(t)>p(32)>0，即φ(t)>0对任意的t∈(32,2)恒成立，故函数φ(t)在(32,2)为增函数，故φ(32)<φ(t)<φ(2)，即8972<φ(t)<138，即897232，∴x=32时，f(x)max=52，∴m=52，∴logab=-2(a>0且a≠1，b>0)，∴b=1a2，∴a+4b=a+4a2=a2+a2+4a2≥33a2⋅a2⋅4a2=3，当且仅当a2=4a2，即a=2时取到等号，∴a+4b的最小值为3． 【解析】(1)通过对f(x)变形可得，|x+1|≥|2x-3|，再两边同时平方，即可求解．(2)先求出f(x)的最大值m，再结合基本不等式的公式，即可求解．本题主要考查绝对值不等式的解法，考查计算能力，属于基础题．Y012P615815115