2021-2022学年福建省泉州市鲤城区北大培文学校高二（下）期末数学试卷（Word解析版）

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绝密★启用前2021-2022学年福建省泉州市鲤城区北大培文学校高二（下）期末数学试卷第I卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）已知集合A={x|x<1}，B={x|3x<1}，则(    )A. A∩B={x|x<0} B. A∪B=RC. A∪B={x|x>1} D. A∩B=⌀已知正数x，y满足2x+1y=1，则x+2y的最小值为(    )A. 8 B. 4 C. 2 D. 0集合{α|kπ+π4≤α≤kπ+π2,k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是(    )A. B. C. D. 函数y=2|x|sin2x的图象可能是(    )A. B. C. D. 曲线y=2sinx+cosx在点(π,-1)处的切线方程为(    )A. x-y-π-1=0 B. 2x-y-2π-1=0C. 2x+y-2π+1=0 D. x+y-π+1=06名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有(    )A. 120种 B. 90种 C. 60种 D. 30种(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为(    )A. 12 B. 16 C. 20 D. 24在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食(1斗=10升)，三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？(    )A. 257，507，1007 B. 2514，257，507C. 1007，2007，4007 D. 507，1007，2007二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）下列函数在定义域内是增函数的有(    )A. y=x13 B. y=2x-1x,x≤-1x2+4x+3,x>-1C. y=2x-2-x D. y=12x2-2x+lnx若圆C1：x2+y2=1与圆C2：(x-a)2+(y-b)2=1的公共弦AB的长为1，则下列结论正确的有(    )A. a2+b2=1B. 直线AB的方程为2ax+2by-3=0C. AB中点的轨迹方程为x2+y2=34D. 圆C1与圆C2公共部分的面积为2π3-32已知三个正态分布密度函数φi(x)=12πσe-(x-μi)22σi2(x∈R,i=1,2,3)的图象如图所示，则下列结论正确的是(    )A. σ1=σ2 B. μ1>μ3 C. μ1=μ2 D. σ2<σ3如图，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点A，B是“六芒星”(如图)的两个顶点，动点P在“六芒星”上(内部以及边界)，若OP=xOA+yOB，则x+y的取值可能是(    )A. -6 B. 1 C. 5 D. 9第II卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）i是虚数单位，复数9+2i2+i=           ．已知扇形的圆心角为π4，半径为22，则扇形的面积为          ．函数y=cos2x-sin2x的最小正周期是______．已知点M(-1,1)和抛物线C：y2=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB=90°，则k=          ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）(本小题10.0分)已知公差不为0的等差数列{an}中，a1=1，a4是a2和a8的等比中项．(1)求数列{an}的通项an；(2)令bn=1an⋅an+1，求数列{bn}的前n项和Tn．(本小题12.0分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2acosA=bcosC+ccosB．(1)求角A的大小；(2)若a=23,b+c=6，求△ABC的面积．(本小题12.0分)如图3，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB/​/CD，AB=2AD=2CD=6，PD=35，E为PA上一点，且PE=2AE．(1)证明：平面EBC⊥平面PAC；(2)求直线PB与平面BEC所成角的正弦值．(本小题12.0分)2019年4月，江苏省发布了高考综合改革实施方案，试行“3+1+2”高考新模式.为调研新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三年级800名学生的选科情况，部分数据如表：(1)根据所给数据完成上述表格，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关；(2)该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学生中抽取5人，组成数学学习小组.一段时间后，从该小组中抽取3人汇报数学学习心得.记3人中男生人数为X，求X的分布列和数学期望E(X)．附：χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．(本小题12.0分)已知函数f(x)=ex-x-1．(Ⅰ)求f(x)的极值；(Ⅱ)若f(x)≤x2+(a-1)x在x∈(0,+∞)时有解，求实数a的取值范围．(本小题12.0分)椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，其中F2(2,0)，O为原点．椭圆上任意一点到F1，F2距离之和为23．(1)求椭圆的标准方程及离心率；(2)过点P(0,2)的斜率为2的直线l交椭圆于A、B两点．求△OAB的面积．答案和解析1.【答案】A 【解析】【分析】本题考查交集和并集的求法，考查指数不等式的解法，属于基础题．先求出集合B，再求出A∩B和A∪B，由此能求出结果．【解答】解：∵集合A={x|x<1}，B={x|3x<1}={x|x<0}，∴A∩B={x|x<0}，所以A正确，D错误，A∪B={x|x<1}，所以B和C都错误，故选A．  2.【答案】A 【解析】解：∵2x+1y=1，∴x+2y=(x+2y)⋅(2x+1y)=4+4yx+xy≥4+24yx×xy=8，当且仅当4yx=xy即x=2y=4时等号成立，∴x+2y的最小值为8．故选：A．先把x+2y转化成x+2y=(x+2y)⋅(2x+1y)展开后利用均值不等式即可求得答案，注意等号成立的条件．本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．基本不等式一定要把握好“一正，二定，三相等”的原则．属于中档题．3.【答案】C 【解析】【分析】本题考查象限角、轴线角的表示方法，体现了数形结合、分类讨论的数学思想．先看当k取偶数时，角的终边所在的象限，再看当k取奇数时，角的终边所在的象限，把二者的范围取并集．【解答】解：当k取偶数时，比如k=0时，π4≤α≤π2，故角的终边在第一象限．当k取奇数时，比如k=1时，5π4≤α≤3π2，故角的终边在第三象限．综上，角的终边在第一、或第三象限．故选 C．  4.【答案】D 【解析】【分析】本题考查函数的性质和赋值法的应用，属于基础题．直接利用函数的奇偶性和特殊值求出结果．【解答】解：根据函数的解析式y=2|x|sin2x，2|-x|sin(-2x)=-2|x|sin2x=-y，得到函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除A和B．当x=π2时，函数的值为0，故排除C．故选D．  5.【答案】C 【解析】【分析】本题考查利用导数研究在曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，属于基础题．求出原函数的导函数，得到导函数在x=π时的函数值，即切线斜率，再由点斜式直线方程得答案．【解答】解：由y=2sinx+cosx，得y'=2cosx-sinx，∴y'|x=π=2cosπ-sinπ=-2，∴曲线y=2sinx+cosx在点(π,-1)处的切线方程为y+1=-2(x-π)，即2x+y-2π+1=0．故选：C．  6.【答案】C 【解析】解：因为每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，甲场馆从6人中挑一人有：C61=6种结果；乙场馆从余下的5人中挑2人有：C52=10种结果；余下的3人去丙场馆；故共有：6×10=60种安排方法；故选：C．让场馆去挑人，甲场馆从6人中挑一人有：C61=6种结果；乙场馆从余下的5人中挑2人有：C52=10种结果；余下的3人去丙场馆；相乘即可求解结论．本题考查排列组合知识的应用，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】A 【解析】【分析】本题考查二项式定理，以及二项展开式的特定项系数，属于基础题．利用二项展开式的通项直接求解即可．【解答】解：(1+x)4的展开式的通项为Tr+1=C4rxr，则(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为：1×C43+2×C41=12．故选：A．  8.【答案】D 【解析】【分析】本题考查等比数列的前3项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．设羊、马、牛吃的青苗分别为a1，a2，a3，则{an}是公比为2的等比数列，由此利用等比数列的性质能求出羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食．【解答】解：设羊、马、牛吃的青苗分别为a1，a2，a3，则{an}是公比为2的等比数列，∴a1+a2+a3=a1+2a1+4a1=7a1=50，解得a1=507，∴羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿507升，1007升，2007升粮食．故选：D．  9.【答案】ACD 【解析】解：因为13>0，所以y=x13单调递增，又因为y=x13为奇函数，所以y=x13在R上单调递增，故选项A正确，当x≤-1时，y=2x-1x=2-1x，在(-∞,-1]单调递增，当x>-1时，y=x2+4x+3在(-1,+∞)单调递增，但2-1(-1)>(-1)2+4×(-1)+3，所以y=2x-1x,x≤-1x2+4x+3,x>-1在R上不是单调递增函数，故选项B不正确，y=2x在R上单调递增，y=-2-x在R上单调递增，所以y=2x-2-x在R上单调递增，故选项C正确，y'=x-2+1x=x2-2x+1x≥0恒成立，所以y=12x2-2x+lnx在(0,+∞)单调递增，故选项 D正确，故选：ACD．由题意逐一考查所给的函数是否在定义域内具有单调性即可．本题主要考查了由函数的性质，或利用导数判断函数的单调性，属于基础题．10.【答案】BC 【解析】解：两圆方程相减可得直线AB的方程为a2+b2-2ax-2by=0，即2ax+2by-a2-b2=0，因为圆C1的圆心为C1(0,0)，半径为1，且公共弦AB的长为1，则C1(0,0)到直线2ax+2by-a2-b2=0的距离为32，所以a2+b24(a2+b2)=32，解得a2+b2=3，所以直线AB的方程为2ax+2by-3=0，故A错误，B正确；由圆的性质可知直线C1C2垂直平分线段AB.所以C1(0,0)到直线2ax+2by-a2-b2=0的距离即为AB中点与点C1的距离，设AB中点坐标为(x,y)，因此(x-0)2+(y-0)2=32，即x2+y2=34，故C正确；因为AB=C1A=C1B=1，所以∠BC1A=π3，即圆C1中弧AB所对的圆心角为π3，所以扇形的面积为π2π×π×12=π6，三角形C1AB的面积为12×1×1×32=34，所以圆C1与圆C2公共部分的面积为2×(π6-34)=π3-32，故D错误．故选：BC．两圆方程相减求出直线AB的方程，进而根据弦长求得a2+b2=3，即可判断AB选项；然后由圆的性质可知直线C1C2垂直平分线段AB进而可得C1(0,0)到直线2ax+2by-a2-b2=0的距离即为AB中点与点C1的距离，从而可求出AB中点的轨迹方程，因此可判断C选项；对应扇形的面积减去三角形的面积乘以2即可求出圆C1与圆C2公共部分的面积，即可判断D选项．本题考查圆与圆的位置关系，考查学生的运算能力，属于中档题．11.【答案】AD 【解析】解：根据题意，因为x=μ是对称轴，观察图象可知：μ1<μ2=μ3，而y=φ1(x)与y=φ2(x)的图象可以相互平移得到，且y=φ3(x)的图象显得更“矮胖”，故σ1=σ2<σ3．故选：AD．根据正态分布曲线的性质，即对称轴为x=μ；σ表示的是标准差，反映在图象的“高瘦”或“矮胖”，由此分析选项，即可得答案．本题考查正态分布曲线的性质，注意正态曲线的含义，属于基础题．12.【答案】BC 【解析】解：如图，设OA=a，OF=b，求x+y的最大值，只需考虑图中6个顶点的向量即可，讨论如下：(1)若点P在A点处，∵OA=a，∴(x,y)=(1,0)；(2)若点P在B点处，∵OB=OF+FB=b+3a，∴(x,y)=(3,1)；(3)若点P在C点处，∵OC=OF+FC=b+2a，∴(x,y)=(2,1)；(4)若点P在D点处，∵OD=OF+FE+ED=b+a+(b+2a)=3a+2b，∴(x,y)=(3,2)；(5)若点P在E点处，∵OE=OF+FE=b+a，∴(x,y)=(1,1)；(6)若点P在F点处，∵OF=b，∴(x,y)=(0,1)．∴x+y的最大值为3+2=5．根据其对称性，可知x+y的最小值为-5．故x+y的取值范围是[-5,5]，观察选项，选项B、C均符合题意．故选：BC．根据题意，画出图形，结合图形，得出求x+y的最大值时，只需考虑图中6个顶点的向量即可，分别求出即得结论．根据其对称性，可知x+y的最小值．本题考查了平面向量的加法运算及其几何意义问题，解题时应根据题意，画出图形，结合图形解答问题．13.【答案】4-i 【解析】【分析】本题考查复数的四则运算，属于基础题．利用复数的四则运算法则，直接计算即可得出答案．【解答】解： 9+2i2+i=(9+2i)(2-i)(2+i)(2-i)=18+2+4i-9i22+1=4-i，故答案为：4-i．  14.【答案】π 【解析】【分析】本题考查了扇形的面积计算公式，属于基础题．利用S扇形=12α⋅R2即可得出．【解答】解：S扇形=12α⋅R2=12×π4×(22)2=π．故答案为π．  15.【答案】π 【解析】解：∵y=cos2x-sin2x=cos2x，∴最小正周期T=2πω=2π2=π．∴故答案为：π．根据已知条件，结合三角函数的二倍角公式，以及周期公式，即可求解．本题考查了三角函数的二倍角公式，以及周期公式，属于基础题．16.【答案】2 【解析】【分析】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用，解题的难点是本题具有较大的计算量．由已知可求过A，B两点的直线方程为y=k(x-1)，然后联立直线与抛物线方程组可得，k2x2-2(2+k2)x+k2=0，可表示出x1+x2，x1x2，y1+y2，y1y2，由∠AMB=90°，再由MA⋅MB=0，代入整理可求k．【解答】解：∵抛物线C：y2=4x的焦点为F(1,0)，∴过A，B两点的直线方程为y=k(x-1)，联立y2=4xy=k(x-1)可得，k2x2-2(2+k2)x+k2=0，Δ=[2(2+k2)]2-4k4=16+16k2>0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=4+2k2k2，x1x2=1，∴y1+y2=k(x1+x2-2)=4k，y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=-4，∵M(-1,1)，∴MA=(x1+1,y1-1)，MB=(x2+1,y2-1)，∵∠AMB=90°，∴MA⋅MB=0∴(x1+1)(x2+1)+(y1-1)(y2-1)=0，整理可得，x1x2+(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+2=0，∴1+2+4k2-4-4k+2=0，即k2-4k+4=0，∴k=2，故答案为2．  17.【答案】解：(1)设等差数列{an}的公差为d．由于a42=a2⋅a8，所以(1+3d)2=(1+d)(1+7d)，解得d=1．所以an=n．(2)由(1)得bn=1n(n+1)=1n-1n+1，所以Tn=(11-12)+(12-13)+⋯+(1n-1n+1)=1-1n+1=nn+1． 【解析】(1)直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式；(2)利用裂项相消法在数列求和中的应用求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法的求和，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)因为2acosA=bcosC+ccosB所以由正弦定理可得2sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)，又B+C=π-A所以2sinAcosA=sin(π-A)=sinA，因为A∈(0,π)，所以sinA≠0所以cosA=12，所以A=π3；(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，得b2+c2-bc=12，又b+c=6，所以bc=8，由三角形面积公式S=12bcsinA得三角形ABC的面积为23． 【解析】(1)已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据sinA不为0求出cosA的值，即可确定A的度数；(2)利用余弦定理列出关系式，利用完全平方公式变形后，将a与b+c的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC面积即可．本题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．19.【答案】(1)证明：在四棱锥P-ABCD中，∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC，∵在直角梯形ABCD中，AB/​/CD，AB⊥AD，AB=2AD=2CD=6 ∴AB=6，AD=CD=3，∴AC=BC=32，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，又PA∩AC=A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC，∵BC⊂平面EBC，∴平面EBC⊥平面PAC；(2)解：建立如图空间直角坐标系： ∵PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PA⊥AD，∵AD=3，PD=35，∴PA=6，∵E为PA上一点，且PE=2AE，∴AE=2，易知B(0,6,0)，C(3,3,0)，P(0,0,6)，E(0,0,2)，则BC=(3,-3,0)，BE=(0,-6,2)，BP=(0,-6,6)，设n=(x,y,z)是平面BCE的法向量，则n⋅BC=0n⋅BE=0，即3x-3y=0-6y+2z=0，所以可取n=(1,1,3)，∵cos〈n,BP〉=n⋅BP|n|⋅|BP|=2211，∴sinθ=|cos〈n,BP〉|=2211，∴直线PB与平面BEC所成角的正弦值为2211． 【解析】(1)根据线面垂直的定义可证PA⊥BC，利用勾股定理可证AC⊥BC，进而说明BC⊥平面PAC；(2)利用空间向量求线面夹角sinθ=|cos〈n,BP〉|．本题考查了面面垂直的证明和线面角的计算，属于中档题．20.【答案】解：(1)根据所给数据完成列联表：χ2=800×(300×150-250×100)2550×250×400×400=(450-250)255×25×2=16011>10.828，∴有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关．(2)按照分层抽样的方法，抽取男生2人，女生3人，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，∴P(X=0)=C20C33C53=110，P(X=1)=C21C32C53=35，P(X=2)=C22C31C53=310，∴X的分布列为：∴E(X)=0×110+1×35+2×310=65． 【解析】本题考查独立性检验的应用、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)根据所给数据完成列联表，求出χ2=16011>10.828，从而有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关；(2)按照分层抽样的方法，抽取男生2人，女生3人，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E(X)．21.【答案】解：(Ⅰ)对函数求导，f'(x)=ex-1，令f'(x)>0，解得x>0，故函数f(x)在(0,+∞)单调递增，(-∞,0)单调递减，故f(x)在x=0处取得极小值f(0)=0，无极大值；(Ⅱ)ex-x-1≤x2+(a-1)x，即ex-ax-1-x2≤0在x∈(0,+∞)上有解，a≥exx-(x+1x)在x∈(0,+∞)上有解，令g(x)=exx-(x+1x)，则g'(x)=(x-1)[ex-(x+1)]x2，由(Ⅰ)可知，当x>0时，f(x)>0，即ex-x-1>0 当01时，g'(x)>0，则g(x)单调递增，所以当x=1时，g(x)取得最小值g(1)=e-2，所以a≥e-2，故实数a的取值范围为[e-2,+∞)． 【解析】(Ⅰ)对函数求导，令其导函数大于0，找出函数单调区间，求出函数极值即可；(Ⅱ)首先将原不等式转化为a≥exx-(x+1x)，再构造函数g(x)=exx-(x+1x)，求出g(x)的最大值即可．本题考查了导数的综合应用，利用导数求解函数的极值以及最值的应用，利用导数研究不等式恒成立问题或有解问题的策略为：通常构造新函数或参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出最值从而求得参数的取值范围，属于难题．22.【答案】(1)由题意可得c=2,2a=23，∴a=3,b2=a2-c2=1，所以椭圆的标准方程为x23+y2=1，离心率为e=63．(2)直线l的方程为y=2x+2，代入椭圆方程得13x2+24x+9=0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则Δ=108>0,x1+x2=-2413,x1x2=913，∴|AB|=1+22|x1-x2|=5×(x1+x2)2-4x1x2=5×6313，又∵点O到直线AB的距离d=21+22=25，∴SΔAA=12×d×|AB|=12×25×5×6313=6313，即△OAB的面积为6313． 【解析】(1)根据题意和椭圆的定义可知a，c，再根据b2=a2-c2，即可求出b，由此即可求出椭圆的方程和离心率；(2)求出直线l的方程，将其与椭圆方程联立，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，求出x1+x2，x1x2，根据弦长公式求出|AB|的长度，再根据点到直线的距离公式求出点O到直线AB的距离，再根据面积公式即可求出结果．本题主要考查椭圆方程的求解，椭圆离心率的求解，椭圆中的面积问题，直线与椭圆的位置关系等知识，属于中等题．                       性别科目男生女生合计物理300历史150合计400800P(χ2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828                      性别科目男生女生合计物理300250550历史100150250合计400400800 X 0 1 2 P 110 35 310