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2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市宾县二中高一（下）期末数学试卷（Word解析版）
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绝密★启用前2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市宾县二中高一（下）期末数学试卷第I卷（选择题）一、单选题（本大题共10小题，共50.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）已知i是虚数单位，复数z1=-3+2i，z2=1-4i，则复数z=z1+z2在复平面内表示的点位于( )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限下列命题正确的是( )A. 三点可以确定一个平面 B. 一条直线和一个点可以确定一个平面 C. 四边形是平面图形 D. 两条相交直线可以确定一个平面抛掷一颗骰子，出现的点数是3的概率为( )A. 13 B. 14 C. 15 D. 16在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a=6，b=2，A=π4，则sinB=( )A. 33 B. -33 C. 63 D. -63已知向量a=(1,1)，b=(2,-1)，若(λa+b)//(a-2b)，则实数λ=( )A. 12 B. -12 C. 2 D. -2沙糖桔网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，下列说法中错误的是( )A. 月收入的最大值为90万元，最小值为30万元 B. 这一年的总利润超过400万元 C. 这12个月利润的中位数与众数均为30 D. 7月份的利润最大甲乙两个雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8，飞行目标被雷达发现的概率为( )A. 0.72 B. 0.26 C. 0.7 D. 0.98对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A={两弹都击中飞机}，事件B={两弹都没击中飞机}，事件C={恰有一弹击中飞机)，事件D={至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是( )A. A⊆D B. B∩D=⌀ C. A∪C=D D. A∪B=B∪D甲、乙两支女子曲棍球队在去年的联赛中，甲队平均每场进球数为3.2，全年比赛进球个数的标准差为3；乙队平均每场进球数为1.8，全年比赛进球个数的标准差为0.3.下列说法正确的个数为( )①甲队的技术比乙队好； ②乙队发挥比甲队稳定； ③乙队几乎每场都进球； ④甲队的表现时好时坏．A. 1 B. 2 C. 3 D. 4已知正方体ABCD-A1B1C1D1中异面直线A1C1与B1C所成角为( )A. 45° B. 60° C. 90° D. 30°二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。在每小题有多项符合题目要求）在△ABC中，下列命题错误的是( )A. 若A>B，则sinA>sinB B. 若sin2A=sin2B，则△ABC一定为等腰三角形 C. 若a2+b2=c2，则△ABC一定为等腰三角形 D. 若三角形的三边满足a2+b2>c2，则该三角形的最大角为钝角在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，截面BDE与直线PC平行，与PA交于点E，则下列判断正确的是( )A. E为PA的中点 B. PB与CD所成的角为π3 C. BD⊥平面PAC D. 三棱锥C-BDE与四棱锥P-ABCD的体积之比等于1：4第II卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）已知点A=(3,2)，B=(-1,6)，则|AB|= ．从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下(单位：克) 125 120 122 105 130 114 116 95 120 134 则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为______ ．某校有高一学生450人，高二学生420人．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校高一高二学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高一学生中抽取15人，则n=______．在△ABC中，∠A=60°，b=1，且面积为3，求a+2b+3csinA+2sinB+3sinC=______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）(本小题10.0分) 已知：复数z=(1+i)2+2i1+i，其中i为虚数单位． (1)求z及|z|； (2)若z2+az-+b=2+3i，求实数a，b的值．(本小题12.0分) 某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，……，[80,90]，并整理得到如图所示频率分布直方图： (Ⅰ)已知样本中分数在[40,50)的学生有5人，试估计总体中分数小于40的人数； (Ⅱ)试估计测评成绩的75%分位数； (Ⅲ)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等，试估计总体中男生和女生人数的比例．(本小题12.0分) 甲、乙两位射手对同一目标各射击两次，且每人每次击中目标与否均互不影响.已知甲每次击中目标的概率为23，乙每次击中目标的概率为34． (Ⅰ)求甲两次都没有击中目标的概率； (Ⅱ)在四次射击中，求甲、乙恰好各击中一次目标的概率．(本小题12.0分) 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BB1，DD1的中点． (Ⅰ)求证：BD//平面AEF； (Ⅱ)求证：EF⊥平面ACC1A1； (Ⅲ)判断点C1是否在平面AEF内，并说明理由．(本小题12.0分) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sinA=3sinC，B=150，BC的面积为3． (Ⅰ)求a的值； (Ⅱ)求sinA的值； (Ⅲ)求sin(2A+π6)|的值．(本小题12.0分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，△DAP为直角三角形且DA=DP，△ABP是等边三角形． (1)求证：PA⊥BD； (2)若BA=BD=2，求二面角D-PC-B的正弦值． 答案和解析1.【答案】C 【解析】解：因为z1=-3+2i，z2=1-4i， 则复数z=z1+z2=-2-2i， 其对应的点(-2,-2)在第三象限． 故选：C． 直接由已知的复数得到其在复平面内对应点的坐标得答案 本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 2.【答案】D 【解析】解：由平面的公理2及推论可知：不共线的三点可以确定一个平面，故A不正确； 直线和直线外的一点可以确定一个平面，故B不正确； 四边形可以为空间四边形，故C不正确； 两条相交直线可以确定一个平面，故D正确． 故选D． 不共线的三点可以确定一个平面，故A不正确；直线和直线外的一点可以确定一个平面，故B不正确；四边形可能为空间四边形，故C不正确；两条相交直线可以确定一个平面，故D正确． 本题为命题真假的判断，正确理解并应用平面的公理是解决问题的关键，属基础题． 3.【答案】D 【解析】解：出现3的事件个数为1个，事件总个数为6个． 故出现的点数是3的概率为P=16． 故选：D． 根据古典概型求解即可． 本题主要考查古典概型，属于基础题． 4.【答案】A 【解析】解：由正弦定理可得：asinA=bsinB， 则6sinπ4=2sinB，所以sinB=2×226=33， 故选：A． 利用正弦定理化简即可求解． 本题考查了正弦定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题． 5.【答案】B 【解析】【分析】本题考查了向量共线的坐标运算，属基础题． 由向量共线的坐标运算即可得解．【解答】解：由向量a=(1,1)，b=(2,-1)， 则λa+b=(2+λ,λ-1)，a-2b=(-3,3)， 又(λa+b)//(a-2b)， 则3(2+λ)=-3(λ-1)，解得λ=-12， 故选：B． 6.【答案】B 【解析】解：由图可知，月收入的最大值为90万元，最小值为30万元，故A正确， 由图可知，1-12月份的利润表， 故1-12月份的总利润为20+30+⋅⋅⋅+50+30=380<400，故B错误， 由利润表可知，这12个月利润的中位数与众数均为30，故C正确， 由利润表可知，7月份的利润最大，故D正确． 故选：B． 由图可知，月收入的最大值为90万元，最小值为30万元，即可判断A选项，再求出1-12月份的利润表，即可依次求解． 本题主要考查折线图的应用，考查数形结合的思想，属于基础题． 7.【答案】D 【解析】解：设事件A表示“甲雷达发现飞行目标”，事件B表示“乙雷达发现飞行目标”， 甲乙两个雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8， ∴P(A)=0.9，P(B)=0.8， ∴飞行目标被雷达发现的概率为： P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.9+0.8-0.9×0.8=0.98． 故选：D． 设事件A表示“甲雷达发现飞行目标”，事件B表示“乙雷达发现飞行目标”，飞行目标被雷达发现的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)，由此能求出结果． 本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 8.【答案】D 【解析】解：“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中， “至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中， ∴A∪B≠B∪D． 故选：D． “恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中，由此能求出结果． 本题考查互斥事件、对立事件的应用，涉及到互斥事件、对立事件等基础知识，考查应用意识等数学核心素养，是基础题． 9.【答案】D 【解析】【分析】 本题考查方差与标准差，考查平均数，这是对于两组数据最常考查的内容，平均数可以反映数据的平均水平，方差反映数据的稳定程度，一般从这两个方面来把握数据． 根据甲对比乙队平均每场进球的个数多，得到甲队的技术比乙队好，根据两个队的标准差比较，甲队不如乙队稳定，乙队几乎每场都进球，甲队表现时好时坏，选出正确的说法． 【解答】 解：∵甲队平均每场进球数为3.2，乙队平均每场进球数为1.8， ∴甲队技术比乙队好，故①正确， ∵甲全年比赛进球个数的标准差为3； 乙全年比赛进球个数的标准差为0.3． ∴乙队发挥比甲队稳定，故②正确， 乙队标准差为0.3，说明每次进球数接近平均值，乙队几乎每场都进球，甲队标准差为3，说明甲队表现时好时坏，故③④正确， 综上可知有4种说法正确， 故选：D． 10.【答案】B 【解析】解：如图，连接AC，AB1， 易证A1C1//AC， ∴异面直线A1C1与B1C所成角即为∠ACB1或其补角， 又易知AC=CB1=B1A，∴△ACB1为等边三角形， ∴∠ACB1=60°， ∴异面直线A1C1与B1C所成角为60°． 故选：B． 将两异面直线平移成相交直线，再解三角形即可得解． 本题考查异面直线所成角，属基础题． 11.【答案】BCD 【解析】解：对于A选项，由正弦定理结合大角对大边得：A>B⇔a>b⇔sinA>sinB，故A选项正确； 对于B选项，由于sin2A=sin2B=sin(π-2B)， 又A，B是三角形的内角， 所以2A=2B，或2A=π-2B，即A=B或A+B=π2， 因此△ABC可能为等腰三角形或直角三角形， 故B选项错误； 对于C选项，若△ABC中，a=3，b=4，c=5，可得a2+b2=c2，△ABC不是等腰三角形，故C选项错误； 对于D选项，因为a2+b2>c2， 所以cosC=a2+b2-c22ab>0，可得C为锐角，无法判断三角形的最大角为钝角，故D选项错误． 故选：BCD． 根据正弦定理，余弦定理以及三角函数恒等变换即可逐项求解． 本题考查解三角形及其三角恒等变换等知识，考查逻辑推理和数学运算的核心素养，属于中档题． 12.【答案】ACD 【解析】【分析】在A中，连结AC，交BD于点F，连结EF，则平面PAC∩平面BDE=EF，推导出EF//PC，由四边形ABCD是正方形，从而AF=FC，进而AE=EP； 在B中，由CD//AB，得∠PBA(或其补角)为PB与CD所成角，推导出PA⊥AB，从而PB与CD所成角为π4； 在C中，推导出AC⊥BD，PA⊥BD，由此能证明BD⊥平面PAC； 在D中，设AB=PA=x，则VP-ABCD=13×AB2×PA=13x2⋅x=13x3，VC-BDE=VE-BCD=13S△BCD⋅AE=13×12x2⋅12x=112x3.由此能求出三棱锥C-BDE与四棱锥P-ABCD的体积之比等于1：4． 本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力．【解答】解：在A中，连结AC，交BD于点F，连结EF，则平面PAC∩平面BDE=EF， ∵PC//平面BDE，EF⊂平面BDE，PC⊂平面PAC， ∴EF//PC， ∵四边形ABCD是正方形，∴AF=FC，∴AE=EP，故A正确； 在B中，∵CD//AB，∴∠PBA(或其补角)为PB与CD所成角， ∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB， 在Rt△PAB中，PA=AB，∴∠PBA=π4， ∴PB与CD所成角为π4，故B错误； 在C中，∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD， ∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD， ∵PA∩AC=A，PA、AC⊂平面PAC， ∴BD⊥平面PAC，故C正确； 在D中，设AB=PA=x，则VP-ABCD=13×AB2×PA=13x2⋅x=13x3， VC-BDE=VE-BCD=13S△BCD⋅AE=13×12x2⋅12x=112x3． ∴VC-BDE：VP-ABCD=112x3：13x3=1：4.故D正确． 故选：ACD． 13.【答案】42 【解析】【分析】本题考查了平面向量的坐标运算和模的计算，属于基础题． 根据点的坐标求出向量的坐标，再用模长公式运算求解即可．【解答】解：由题，A=(3,2)，B=(-1,6)，∴AB=(-4,4)， ∴|AB|=(-4)2+42=42． 故答案为：42． 14.【答案】0.4 【解析】解：∵在125 120 122 105 130 114 116 95 120 134十个数据中， 样本数据落在[114.5,124.5)内的有116，120，120，122共有4个， ∴样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为410=0.4， 故答案是0.4． 从所给的十个数字中找出落在所要求的范围中的数字，共有4个，利用这个频数除以样本容量，得到要求的频率． 本题考查频率分布表，频数、频率和样本容量三者之间的关系是知二求一，这种问题会出现在选择和填空中，有的省份也会以大题的形式出现，把它融于统计问题中． 15.【答案】29 【解析】解：由题意可得，15n=450450+420，解得n=19． 故答案为：19． 根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解． 本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题． 16.【答案】2393 【解析】解：∵S=12bcsinA=3，∴c=4． 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=13，∴a=13， ∴a+2b+3csinA+2sinB+3sinC=asinA=1332=2393． 故答案为：2393． 根据面积公式求出c，利用余弦定理求出a，利用正弦定理得出a+2b+3csinA+2sinB+3sinC=asinA． 本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题． 17.【答案】解：(1)z=(1+i)2+2i1+i=2i+2i(1-i)(1+i)(1-i)=2i+i-i2=1+3i， 则|z|=12+32=10． (2)由(1)得：(1+3i)2+a(1-3i)+b=-8+6i+a-3ai+b=(a+b-8)+(6-3a)i=2+3i， ∴a+b-8=26-3a=3，解得a=1b=9． 【解析】(1)根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解． (2)根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数相等的条件，即可求解． 本题主要考查共轭复数的定义，以及复数相等的条件，属于基础题． 18.【答案】解：(Ⅰ)样本中分数在[40,50)的学生有5人， 由频率分布直方图得[20,50)的频率为1-(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.1， ∴估计总体中分数小于40的人数为： 400×(0.1-0.05)=20人． (Ⅱ)[20,70)的频率为1-(0.04+0.02)×10=0.4， [70,80)的频率为0.04×10=0.4， ∴估计测评成绩的75%分位数为：70+0.75-0.40.4×10=78.75． (Ⅲ)∵样本中分数不小于70的频率为0.6，样本中分数不小于70的男女生人数相等， ∴分数不小于70的男生的频率为0.3， ∵样本中有一半男生的分数不小于70， ∴男生的频率为0.6，则男生的人数为0.6×100=60， ∴女生的频率为0.4，则女生的人数为0.4×100=40， ∴估计总体中男生和女生人数的比例为3：2． 【解析】(Ⅰ)样本中分数在[40,50)的学生有5人，得到[40,50)的频率为0.05，由频率分布直方图得[20,50)的频率为0.1，由此能估计总体中分数小于40的人数． (Ⅱ)先求出[20,70)的频率和[70,80)的频率，利用频率分布直方图能估计测评成绩的75%分位数． (Ⅲ)根据样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等，分别求出男生、女生的人数，由此能估计总体中男生和女生人数的比例． 本题考查频数、分位数、男女生比例的求法，考查频率分布直方图的性质、分层抽样等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 19.【答案】解：(1)设甲两次都没有击中目标为事件A， 则p(A)=(1-23)(1-23)=19． (2)设甲、乙恰好各击中一次目标为事件B， ∵甲恰好击中一次目标的概率为2×23×(1-23)=49， 乙恰好击中一次目标的概率为2×34×(1-34)=38， ∴甲、乙恰好各击中一次目标的概率为p(B)=49×38=16． 【解析】本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式，互斥事件概率加法公式，属于基础题． (1)利用相互独立事件的概率乘法公式求解即可． (2)分别求出甲，乙恰好击中一次目标的概率，再相乘即可． 20.【答案】解：(Ⅰ)因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BB1，DD1的中点， 所以BE//DF，BE=DF， 所以四边形BEFD为平行四边形，所以BD//EF， 又因为BD⊄平面AEF，EF⊂平面AEF， 所以BD//平面AEF． (Ⅱ)因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD， 所以AA1⊥BD， 因为四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD， 又由(Ⅰ)知BD//EF， 所以EF⊥AA1，EF⊥AC， 又因为AC∩AA1=A， 所以EF⊥平面ACC1A1． (Ⅲ)点C1在平面AEF内，理由如下： 取CC1中点G，连接GB，FG，EC1， 因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点G，F分别是棱CC1，DD1的中点， 所以DF//CG，DF=CG， 所以四边形DCGF为平行四边形．所以FG//DC，FG=DC， 又因为AB//DC，AB=DC， 所以AB//FG，AB=FG， 所以四边形ABGF为平行四边形．所以AF//BG， 因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，G分别是棱BB1，CC1的中点， 所以BE//GC1，BE=GC1， 所以四边形BGC1E为平行四边形．所以BG//EC1， 所以EC1//AF， 故点C1在平面AEF内． 【解析】(Ⅰ)由已知利用正方体的性质可证BD//EF，根据线面平行的判定即可得解． (Ⅱ)利用线面垂直的性质可证AA1⊥BD，利用正方形的性质可证AC⊥BD，又由(Ⅰ)知BD//EF，可证EF⊥AA1，利用线面垂直的判定即可证明EF⊥平面ACC1A1． (Ⅲ)取CC1中点G，连接GB，FG，EC1，由正方体性质可证DF//CG，DF=CG，通过证明四边形DCGF为平行四边形．可证FG//DC，FG=DC，通过证明四边形ABGF为平行四边形，可证AF//BG，利用正方体的性质可证BE//GC1，BE=GC1，通过证明四边形BGC1E为平行四边形，可证BG//EC1，通过证明EC1//AF，可得点C1在平面AEF内． 本题主要考查了线面平行的判定，线面垂直的性质和判定，考查了空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题． 21.【答案】解：(I)由sinA=3sinC，∴由正弦定理得a=3c，又△ABC的面积为3． ∴12acsin150°=3，解得c=2，∴a=23； (II)由余弦定理有b2=a2+c2-2accos150°，∴b=27， 由正弦定理有asinA=bsinB，∴sinA=23sin150°27=2114； (III)∵B=150°，∴A<90°，又由(2)知sinA=2114，∴cosA=5714， ∴sin2A=2sinAcosA=2×2114×5714=5314，cos2A=2cos2A-1=2(5714)2-1=1114， ∴sin(2A+π6)|=sin2Acosπ6+cos2Asinπ6==5314×32+1114×12=1314． 【解析】(I)由已知条件结合三角形面积公式和正弦定理即可求a； (II)由余弦定理求出b，再根据正弦定理即可求出sinA； (III)根据sinA求出cosA，再由正弦和角公式，正余弦二倍角公式即可求值， 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角差的余弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属中档题． 22.【答案】(1)证明：取AP中点M，连DM，BM， ∵DA=DP，△ABP为等边三角形， ∴PA⊥DM，PA⊥BM，又DM∩BM=M，DM，BM⊂平面DMB， ∴PA⊥平面DMB，又∵BD⊂平面DMB，∴PA⊥BD． (2)解：∵BA=BD=2，M为AP中点，结合题设条件可得DM=1,BM=3， ∴BD2=MB2+MD2，∴MD⊥MB． 如图，以MP，MB，MD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则A(-1,0,0),B(0,3,0),P(1,0,0),D(0,0,1)， 得DP=(1,0,-1)，DC=AB=(1,3,0)，BP=(1,-3,0)，BC=AD=(1,0,1)， 设平面DPC的一个法向量n1=(x1,y1,z1)， 则n1⋅DP=0n1⋅DC=0，即x1-z1=0x1+3y1=0，取y1=1，∴n1=(-3,1,-3)． 设平面PCB的一个法向量n2=(x2,y2,z2)， 由n2⋅BC=0n2⋅BP=0，即x2+z2=0x2-3y2=0，取y2=1，∴n2=(3,1,-3)． ∴cos=n1⋅n2|n1||n2|=17． 二面角D-PC-B的正弦值为1-cos2=437． 【解析】本题考查线面垂直的判定定理和性质定理，利用空间向量法求解二面角的正弦值，属于中档题． (1)取AP中点M，连DM，BM，得到PA⊥DM，PA⊥BM，说明PA⊥平面DMB，证明PA⊥BD． (2)以MP，MB，MD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面DPC的一个法向量，平面PCB的一个法向量，利用空间向量法求解即可． 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 利润/万元 20 30 20 10 30 30 60 40 30 30 5030
绝密★启用前2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市宾县二中高一（下）期末数学试卷第I卷（选择题）一、单选题（本大题共10小题，共50.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）已知i是虚数单位，复数z1=-3+2i，z2=1-4i，则复数z=z1+z2在复平面内表示的点位于( )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限下列命题正确的是( )A. 三点可以确定一个平面 B. 一条直线和一个点可以确定一个平面 C. 四边形是平面图形 D. 两条相交直线可以确定一个平面抛掷一颗骰子，出现的点数是3的概率为( )A. 13 B. 14 C. 15 D. 16在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a=6，b=2，A=π4，则sinB=( )A. 33 B. -33 C. 63 D. -63已知向量a=(1,1)，b=(2,-1)，若(λa+b)//(a-2b)，则实数λ=( )A. 12 B. -12 C. 2 D. -2沙糖桔网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，下列说法中错误的是( )A. 月收入的最大值为90万元，最小值为30万元 B. 这一年的总利润超过400万元 C. 这12个月利润的中位数与众数均为30 D. 7月份的利润最大甲乙两个雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8，飞行目标被雷达发现的概率为( )A. 0.72 B. 0.26 C. 0.7 D. 0.98对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A={两弹都击中飞机}，事件B={两弹都没击中飞机}，事件C={恰有一弹击中飞机)，事件D={至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是( )A. A⊆D B. B∩D=⌀ C. A∪C=D D. A∪B=B∪D甲、乙两支女子曲棍球队在去年的联赛中，甲队平均每场进球数为3.2，全年比赛进球个数的标准差为3；乙队平均每场进球数为1.8，全年比赛进球个数的标准差为0.3.下列说法正确的个数为( )①甲队的技术比乙队好； ②乙队发挥比甲队稳定； ③乙队几乎每场都进球； ④甲队的表现时好时坏．A. 1 B. 2 C. 3 D. 4已知正方体ABCD-A1B1C1D1中异面直线A1C1与B1C所成角为( )A. 45° B. 60° C. 90° D. 30°二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。在每小题有多项符合题目要求）在△ABC中，下列命题错误的是( )A. 若A>B，则sinA>sinB B. 若sin2A=sin2B，则△ABC一定为等腰三角形 C. 若a2+b2=c2，则△ABC一定为等腰三角形 D. 若三角形的三边满足a2+b2>c2，则该三角形的最大角为钝角在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，截面BDE与直线PC平行，与PA交于点E，则下列判断正确的是( )A. E为PA的中点 B. PB与CD所成的角为π3 C. BD⊥平面PAC D. 三棱锥C-BDE与四棱锥P-ABCD的体积之比等于1：4第II卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）已知点A=(3,2)，B=(-1,6)，则|AB|= ．从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下(单位：克) 125 120 122 105 130 114 116 95 120 134 则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为______ ．某校有高一学生450人，高二学生420人．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校高一高二学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高一学生中抽取15人，则n=______．在△ABC中，∠A=60°，b=1，且面积为3，求a+2b+3csinA+2sinB+3sinC=______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）(本小题10.0分) 已知：复数z=(1+i)2+2i1+i，其中i为虚数单位． (1)求z及|z|； (2)若z2+az-+b=2+3i，求实数a，b的值．(本小题12.0分) 某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，……，[80,90]，并整理得到如图所示频率分布直方图： (Ⅰ)已知样本中分数在[40,50)的学生有5人，试估计总体中分数小于40的人数； (Ⅱ)试估计测评成绩的75%分位数； (Ⅲ)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等，试估计总体中男生和女生人数的比例．(本小题12.0分) 甲、乙两位射手对同一目标各射击两次，且每人每次击中目标与否均互不影响.已知甲每次击中目标的概率为23，乙每次击中目标的概率为34． (Ⅰ)求甲两次都没有击中目标的概率； (Ⅱ)在四次射击中，求甲、乙恰好各击中一次目标的概率．(本小题12.0分) 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BB1，DD1的中点． (Ⅰ)求证：BD//平面AEF； (Ⅱ)求证：EF⊥平面ACC1A1； (Ⅲ)判断点C1是否在平面AEF内，并说明理由．(本小题12.0分) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sinA=3sinC，B=150，BC的面积为3． (Ⅰ)求a的值； (Ⅱ)求sinA的值； (Ⅲ)求sin(2A+π6)|的值．(本小题12.0分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，△DAP为直角三角形且DA=DP，△ABP是等边三角形． (1)求证：PA⊥BD； (2)若BA=BD=2，求二面角D-PC-B的正弦值． 答案和解析1.【答案】C 【解析】解：因为z1=-3+2i，z2=1-4i， 则复数z=z1+z2=-2-2i， 其对应的点(-2,-2)在第三象限． 故选：C． 直接由已知的复数得到其在复平面内对应点的坐标得答案 本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 2.【答案】D 【解析】解：由平面的公理2及推论可知：不共线的三点可以确定一个平面，故A不正确； 直线和直线外的一点可以确定一个平面，故B不正确； 四边形可以为空间四边形，故C不正确； 两条相交直线可以确定一个平面，故D正确． 故选D． 不共线的三点可以确定一个平面，故A不正确；直线和直线外的一点可以确定一个平面，故B不正确；四边形可能为空间四边形，故C不正确；两条相交直线可以确定一个平面，故D正确． 本题为命题真假的判断，正确理解并应用平面的公理是解决问题的关键，属基础题． 3.【答案】D 【解析】解：出现3的事件个数为1个，事件总个数为6个． 故出现的点数是3的概率为P=16． 故选：D． 根据古典概型求解即可． 本题主要考查古典概型，属于基础题． 4.【答案】A 【解析】解：由正弦定理可得：asinA=bsinB， 则6sinπ4=2sinB，所以sinB=2×226=33， 故选：A． 利用正弦定理化简即可求解． 本题考查了正弦定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题． 5.【答案】B 【解析】【分析】本题考查了向量共线的坐标运算，属基础题． 由向量共线的坐标运算即可得解．【解答】解：由向量a=(1,1)，b=(2,-1)， 则λa+b=(2+λ,λ-1)，a-2b=(-3,3)， 又(λa+b)//(a-2b)， 则3(2+λ)=-3(λ-1)，解得λ=-12， 故选：B． 6.【答案】B 【解析】解：由图可知，月收入的最大值为90万元，最小值为30万元，故A正确， 由图可知，1-12月份的利润表， 故1-12月份的总利润为20+30+⋅⋅⋅+50+30=380<400，故B错误， 由利润表可知，这12个月利润的中位数与众数均为30，故C正确， 由利润表可知，7月份的利润最大，故D正确． 故选：B． 由图可知，月收入的最大值为90万元，最小值为30万元，即可判断A选项，再求出1-12月份的利润表，即可依次求解． 本题主要考查折线图的应用，考查数形结合的思想，属于基础题． 7.【答案】D 【解析】解：设事件A表示“甲雷达发现飞行目标”，事件B表示“乙雷达发现飞行目标”， 甲乙两个雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8， ∴P(A)=0.9，P(B)=0.8， ∴飞行目标被雷达发现的概率为： P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.9+0.8-0.9×0.8=0.98． 故选：D． 设事件A表示“甲雷达发现飞行目标”，事件B表示“乙雷达发现飞行目标”，飞行目标被雷达发现的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)，由此能求出结果． 本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 8.【答案】D 【解析】解：“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中， “至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中， ∴A∪B≠B∪D． 故选：D． “恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中，由此能求出结果． 本题考查互斥事件、对立事件的应用，涉及到互斥事件、对立事件等基础知识，考查应用意识等数学核心素养，是基础题． 9.【答案】D 【解析】【分析】 本题考查方差与标准差，考查平均数，这是对于两组数据最常考查的内容，平均数可以反映数据的平均水平，方差反映数据的稳定程度，一般从这两个方面来把握数据． 根据甲对比乙队平均每场进球的个数多，得到甲队的技术比乙队好，根据两个队的标准差比较，甲队不如乙队稳定，乙队几乎每场都进球，甲队表现时好时坏，选出正确的说法． 【解答】 解：∵甲队平均每场进球数为3.2，乙队平均每场进球数为1.8， ∴甲队技术比乙队好，故①正确， ∵甲全年比赛进球个数的标准差为3； 乙全年比赛进球个数的标准差为0.3． ∴乙队发挥比甲队稳定，故②正确， 乙队标准差为0.3，说明每次进球数接近平均值，乙队几乎每场都进球，甲队标准差为3，说明甲队表现时好时坏，故③④正确， 综上可知有4种说法正确， 故选：D． 10.【答案】B 【解析】解：如图，连接AC，AB1， 易证A1C1//AC， ∴异面直线A1C1与B1C所成角即为∠ACB1或其补角， 又易知AC=CB1=B1A，∴△ACB1为等边三角形， ∴∠ACB1=60°， ∴异面直线A1C1与B1C所成角为60°． 故选：B． 将两异面直线平移成相交直线，再解三角形即可得解． 本题考查异面直线所成角，属基础题． 11.【答案】BCD 【解析】解：对于A选项，由正弦定理结合大角对大边得：A>B⇔a>b⇔sinA>sinB，故A选项正确； 对于B选项，由于sin2A=sin2B=sin(π-2B)， 又A，B是三角形的内角， 所以2A=2B，或2A=π-2B，即A=B或A+B=π2， 因此△ABC可能为等腰三角形或直角三角形， 故B选项错误； 对于C选项，若△ABC中，a=3，b=4，c=5，可得a2+b2=c2，△ABC不是等腰三角形，故C选项错误； 对于D选项，因为a2+b2>c2， 所以cosC=a2+b2-c22ab>0，可得C为锐角，无法判断三角形的最大角为钝角，故D选项错误． 故选：BCD． 根据正弦定理，余弦定理以及三角函数恒等变换即可逐项求解． 本题考查解三角形及其三角恒等变换等知识，考查逻辑推理和数学运算的核心素养，属于中档题． 12.【答案】ACD 【解析】【分析】在A中，连结AC，交BD于点F，连结EF，则平面PAC∩平面BDE=EF，推导出EF//PC，由四边形ABCD是正方形，从而AF=FC，进而AE=EP； 在B中，由CD//AB，得∠PBA(或其补角)为PB与CD所成角，推导出PA⊥AB，从而PB与CD所成角为π4； 在C中，推导出AC⊥BD，PA⊥BD，由此能证明BD⊥平面PAC； 在D中，设AB=PA=x，则VP-ABCD=13×AB2×PA=13x2⋅x=13x3，VC-BDE=VE-BCD=13S△BCD⋅AE=13×12x2⋅12x=112x3.由此能求出三棱锥C-BDE与四棱锥P-ABCD的体积之比等于1：4． 本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力．【解答】解：在A中，连结AC，交BD于点F，连结EF，则平面PAC∩平面BDE=EF， ∵PC//平面BDE，EF⊂平面BDE，PC⊂平面PAC， ∴EF//PC， ∵四边形ABCD是正方形，∴AF=FC，∴AE=EP，故A正确； 在B中，∵CD//AB，∴∠PBA(或其补角)为PB与CD所成角， ∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB， 在Rt△PAB中，PA=AB，∴∠PBA=π4， ∴PB与CD所成角为π4，故B错误； 在C中，∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD， ∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD， ∵PA∩AC=A，PA、AC⊂平面PAC， ∴BD⊥平面PAC，故C正确； 在D中，设AB=PA=x，则VP-ABCD=13×AB2×PA=13x2⋅x=13x3， VC-BDE=VE-BCD=13S△BCD⋅AE=13×12x2⋅12x=112x3． ∴VC-BDE：VP-ABCD=112x3：13x3=1：4.故D正确． 故选：ACD． 13.【答案】42 【解析】【分析】本题考查了平面向量的坐标运算和模的计算，属于基础题． 根据点的坐标求出向量的坐标，再用模长公式运算求解即可．【解答】解：由题，A=(3,2)，B=(-1,6)，∴AB=(-4,4)， ∴|AB|=(-4)2+42=42． 故答案为：42． 14.【答案】0.4 【解析】解：∵在125 120 122 105 130 114 116 95 120 134十个数据中， 样本数据落在[114.5,124.5)内的有116，120，120，122共有4个， ∴样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为410=0.4， 故答案是0.4． 从所给的十个数字中找出落在所要求的范围中的数字，共有4个，利用这个频数除以样本容量，得到要求的频率． 本题考查频率分布表，频数、频率和样本容量三者之间的关系是知二求一，这种问题会出现在选择和填空中，有的省份也会以大题的形式出现，把它融于统计问题中． 15.【答案】29 【解析】解：由题意可得，15n=450450+420，解得n=19． 故答案为：19． 根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解． 本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题． 16.【答案】2393 【解析】解：∵S=12bcsinA=3，∴c=4． 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=13，∴a=13， ∴a+2b+3csinA+2sinB+3sinC=asinA=1332=2393． 故答案为：2393． 根据面积公式求出c，利用余弦定理求出a，利用正弦定理得出a+2b+3csinA+2sinB+3sinC=asinA． 本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题． 17.【答案】解：(1)z=(1+i)2+2i1+i=2i+2i(1-i)(1+i)(1-i)=2i+i-i2=1+3i， 则|z|=12+32=10． (2)由(1)得：(1+3i)2+a(1-3i)+b=-8+6i+a-3ai+b=(a+b-8)+(6-3a)i=2+3i， ∴a+b-8=26-3a=3，解得a=1b=9． 【解析】(1)根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解． (2)根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数相等的条件，即可求解． 本题主要考查共轭复数的定义，以及复数相等的条件，属于基础题． 18.【答案】解：(Ⅰ)样本中分数在[40,50)的学生有5人， 由频率分布直方图得[20,50)的频率为1-(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.1， ∴估计总体中分数小于40的人数为： 400×(0.1-0.05)=20人． (Ⅱ)[20,70)的频率为1-(0.04+0.02)×10=0.4， [70,80)的频率为0.04×10=0.4， ∴估计测评成绩的75%分位数为：70+0.75-0.40.4×10=78.75． (Ⅲ)∵样本中分数不小于70的频率为0.6，样本中分数不小于70的男女生人数相等， ∴分数不小于70的男生的频率为0.3， ∵样本中有一半男生的分数不小于70， ∴男生的频率为0.6，则男生的人数为0.6×100=60， ∴女生的频率为0.4，则女生的人数为0.4×100=40， ∴估计总体中男生和女生人数的比例为3：2． 【解析】(Ⅰ)样本中分数在[40,50)的学生有5人，得到[40,50)的频率为0.05，由频率分布直方图得[20,50)的频率为0.1，由此能估计总体中分数小于40的人数． (Ⅱ)先求出[20,70)的频率和[70,80)的频率，利用频率分布直方图能估计测评成绩的75%分位数． (Ⅲ)根据样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等，分别求出男生、女生的人数，由此能估计总体中男生和女生人数的比例． 本题考查频数、分位数、男女生比例的求法，考查频率分布直方图的性质、分层抽样等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 19.【答案】解：(1)设甲两次都没有击中目标为事件A， 则p(A)=(1-23)(1-23)=19． (2)设甲、乙恰好各击中一次目标为事件B， ∵甲恰好击中一次目标的概率为2×23×(1-23)=49， 乙恰好击中一次目标的概率为2×34×(1-34)=38， ∴甲、乙恰好各击中一次目标的概率为p(B)=49×38=16． 【解析】本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式，互斥事件概率加法公式，属于基础题． (1)利用相互独立事件的概率乘法公式求解即可． (2)分别求出甲，乙恰好击中一次目标的概率，再相乘即可． 20.【答案】解：(Ⅰ)因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BB1，DD1的中点， 所以BE//DF，BE=DF， 所以四边形BEFD为平行四边形，所以BD//EF， 又因为BD⊄平面AEF，EF⊂平面AEF， 所以BD//平面AEF． (Ⅱ)因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD， 所以AA1⊥BD， 因为四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD， 又由(Ⅰ)知BD//EF， 所以EF⊥AA1，EF⊥AC， 又因为AC∩AA1=A， 所以EF⊥平面ACC1A1． (Ⅲ)点C1在平面AEF内，理由如下： 取CC1中点G，连接GB，FG，EC1， 因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点G，F分别是棱CC1，DD1的中点， 所以DF//CG，DF=CG， 所以四边形DCGF为平行四边形．所以FG//DC，FG=DC， 又因为AB//DC，AB=DC， 所以AB//FG，AB=FG， 所以四边形ABGF为平行四边形．所以AF//BG， 因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，G分别是棱BB1，CC1的中点， 所以BE//GC1，BE=GC1， 所以四边形BGC1E为平行四边形．所以BG//EC1， 所以EC1//AF， 故点C1在平面AEF内． 【解析】(Ⅰ)由已知利用正方体的性质可证BD//EF，根据线面平行的判定即可得解． (Ⅱ)利用线面垂直的性质可证AA1⊥BD，利用正方形的性质可证AC⊥BD，又由(Ⅰ)知BD//EF，可证EF⊥AA1，利用线面垂直的判定即可证明EF⊥平面ACC1A1． (Ⅲ)取CC1中点G，连接GB，FG，EC1，由正方体性质可证DF//CG，DF=CG，通过证明四边形DCGF为平行四边形．可证FG//DC，FG=DC，通过证明四边形ABGF为平行四边形，可证AF//BG，利用正方体的性质可证BE//GC1，BE=GC1，通过证明四边形BGC1E为平行四边形，可证BG//EC1，通过证明EC1//AF，可得点C1在平面AEF内． 本题主要考查了线面平行的判定，线面垂直的性质和判定，考查了空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题． 21.【答案】解：(I)由sinA=3sinC，∴由正弦定理得a=3c，又△ABC的面积为3． ∴12acsin150°=3，解得c=2，∴a=23； (II)由余弦定理有b2=a2+c2-2accos150°，∴b=27， 由正弦定理有asinA=bsinB，∴sinA=23sin150°27=2114； (III)∵B=150°，∴A<90°，又由(2)知sinA=2114，∴cosA=5714， ∴sin2A=2sinAcosA=2×2114×5714=5314，cos2A=2cos2A-1=2(5714)2-1=1114， ∴sin(2A+π6)|=sin2Acosπ6+cos2Asinπ6==5314×32+1114×12=1314． 【解析】(I)由已知条件结合三角形面积公式和正弦定理即可求a； (II)由余弦定理求出b，再根据正弦定理即可求出sinA； (III)根据sinA求出cosA，再由正弦和角公式，正余弦二倍角公式即可求值， 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角差的余弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属中档题． 22.【答案】(1)证明：取AP中点M，连DM，BM， ∵DA=DP，△ABP为等边三角形， ∴PA⊥DM，PA⊥BM，又DM∩BM=M，DM，BM⊂平面DMB， ∴PA⊥平面DMB，又∵BD⊂平面DMB，∴PA⊥BD． (2)解：∵BA=BD=2，M为AP中点，结合题设条件可得DM=1,BM=3， ∴BD2=MB2+MD2，∴MD⊥MB． 如图，以MP，MB，MD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则A(-1,0,0),B(0,3,0),P(1,0,0),D(0,0,1)， 得DP=(1,0,-1)，DC=AB=(1,3,0)，BP=(1,-3,0)，BC=AD=(1,0,1)， 设平面DPC的一个法向量n1=(x1,y1,z1)， 则n1⋅DP=0n1⋅DC=0，即x1-z1=0x1+3y1=0，取y1=1，∴n1=(-3,1,-3)． 设平面PCB的一个法向量n2=(x2,y2,z2)， 由n2⋅BC=0n2⋅BP=0，即x2+z2=0x2-3y2=0，取y2=1，∴n2=(3,1,-3)． ∴cos
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