2023年高考数学人教A版（2019）大一轮复习--5.6　函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数的应用（课件）

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知识梳理1.函数y=Asin(ωx+φ)的有关概念
2.五点法作y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )在一个周期内的简图时,要找出的五个特征点如下表所示:
3.函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)图象的两种方法.
主要指平移变换(相位变换)和伸 缩变换(周期变换、振幅变换)
微思考1由函数y=sin ωx(ω>0)的图象得到函数y=sin(ωx+ )的图象,需要经过怎样的变换?将函数y=sin(2x+φ)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,得到的图象对应的函数解析式是y=sin(x+φ)还是y=sin(x+ )?
提示 应将函数y=sin ωx(ω>0)的图象向左平移 个单位长度就能得到函数y=sin 的图象;如果将函数y=sin(2x+φ)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,得到的图象对应函数解析式是y=sin(x+φ).
微思考2如图所示为函数y=sin(ωx+φ)的部分图象.利用零点代入求φ时,ωx1+φ取哪些值?
提示 若利用x1这样的零点(图象经过x1时函数单调递减)代入求φ的值,应令ωx1+φ=π+2kπ(k∈Z);而如果利用x2这样的零点(图象经过x2时函数单调递增)代入求φ的值,应令ωx2+φ=2kπ(k∈Z).
常用结论1.三角函数图象的平移规则是“左加右减”“上加下减”.2.进行三角函数图象的变换时,变换前后函数的名称要一致,若不一致,应用诱导公式进行转化.3.在函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)中,若其最大值、最小值分别为M,m,
对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
A.8πB.4πC.2πD.π
解析 所得函数解析式为y=sin ,周期为2π.
3.如图为函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的图象的一段,则φ=　　　　　. 
考向1.函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换典例突破
答案 (1)B　(2)C　(3)B　
方法点拨三角函数图象变换的关键点三角函数的平移变换问题类型多、情况复杂、技巧性强,在解题时容易出现错误,破解此类题的关键如下:(1)定函数:一定要看准是将哪个函数的图象变换得到哪一个函数的图象.(2)变同名:变换前后函数的名称要一样.(3)选方法:即选择变换方法.要注意:对于函数y=sin ωx(ω>0)的图象,向左平移|φ|个单位长度得到的是函数y=sin ω(x+|φ|)的图象,而不是函数y=sin(ωx+|φ|)的图象.
(2)(2021江西九江高三二模)将函数f(x)=cs x图象上所有点的横坐标都缩短到原来的 ,再向左平移 个单位长度,得到函数g(x)的图象,则g(x)是(　　)A.周期为4π的奇函数B.周期为4π的偶函数C.周期为π的奇函数D.周期为π的偶函数
答案 (1)A　(2)C　
考向2.由函数y=Asin(ωx+φ)的图象确定解析式典例突破例2.(1)(多选)(2020山东,10)如图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图象,则sin(ωx+φ)=(　　)
答案 (1)BC　(2)A　
已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象求其解析式时,关键是求ω和φ,常用如下两种方法:(1)由ω= 即可求出ω;确定φ时,若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0,则令ωx0+φ=0(或ωx0+φ=π),即可求出φ.(2)代入图象中已知点的坐标,利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式,再结合图形解出ω和φ,若对A,ω的符号或对φ的取值范围有要求,则可用诱导公式变换使其符合要求.
方法总结根据图象求函数解析式的解法要点
对点训练2(1)(2021河北沧州高三月考)设函数y=Asin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的大致图象如图,则(　　)
答案 (1)D　(2)C　
考向3.函数y=Asin(ωx+φ)图象的应用典例突破例3.(2021云南昆明高三月考)已知函数f(x)=sin ωx- cs ωx(ω>0),若方程f(x)=-1在(0,π)上有且只有三个实数根,则实数ω的取值范围是(　　)
技巧点拨利用三角函数图象解决方程根或零点问题的方法(1)研究函数y=Asin(ωx+φ)在给定区间上零点个数问题时,仍然采用整体换元的方法,将ωx+φ作为一个整体,结合函数的周期性确定ωx+φ的范围,从而解决问题.(2)将方程的根转化为两函数图象的交点问题,结合三角函数的周期性,建立不等式组进行求解.
典例突破例4.海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮,一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表:
(1)已知该港口的水深与时刻间的变化满足函数y=Acs(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,b>0,-π<φ<π),画出函数图象,并求出函数解析式;(2)现有一艘货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全条例规定至少要有2.2米的间隙(船底与洋底的距离),该船何时能进入港口?(参考数据: ≈1.7)
解 (1)由表中数据可画出函数图象如下.
名师点析三角函数模型的应用类型及解题策略(1)给定呈周期变化规律的三角函数模型,根据所给模型,结合三角函数的性质,解决一些实际问题.(2)给定呈周期变化的图象,利用待定系数法求出函数,再解决其他问题.(3)搜集一个实际问题的调查数据,根据数据作出散点图,通过拟合函数图象,求出可以近似表示变化规律的函数式,进一步用函数性质来解决相应的实际问题.
对点训练4(2021江西南昌二中高三月考)在自然条件下,对某种细菌在一天内存活的时间进行了一年的统计与测量,得到10次测量结果(时间近似到0.1小时),结果如表所示:
(1)试选用一个形如y=Asin(ωx+φ)+t的函数来近似描述一年(按365天计)中该细菌一天内存活的时间y与日期位置序号x之间的函数解析式;(2)用(1)中的结果估计该种细菌一年中大约有多少天的存活时间大于15.9小时.