2023年高考数学人教A版（2019）大一轮复习--4.3　利用导数研究函数的极值与最值（课件）

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知识梳理1.函数的极值
函数极值反映的是函数局部的性质
极大值点和极小值点统称为极值点
 微点拨对函数极值的理解 (1)函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值,即端点一定不是函数的极值点.(2)在一个给定的区间上,函数可能有若干个极值点,也可能不存在极值点;函数可以只有极大值没有极小值,或者只有极小值没有极大值,也可能既有极大值又有极小值.极大值不一定比极小值大,极小值不一定比极大值小.
微思考对于可导函数f(x),“f'(x0)=0”是“f(x)在x=x0处取得极值”的什么条件?
提示 必要不充分条件.当f'(x0)=0时,f(x)不一定在x=x0处取得极值,例如函数f(x)=x3;但当f(x)在x=x0处取得极值时,由极值定义可知必有f'(x0)=0.
2.函数的最值(1)一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条　　　　　的曲线,那么它必有最大值和最小值. (2)一般地,求函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:①求函数y=f(x)在区间(a,b)上的　　　　; ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值　　 　比较,其中最大的一个是　　　　,最小的一个是　　　　. 
函数最值反映的是函数整体的性质
微点拨函数最值与极值的区别(1)函数在闭区间上若存在最大值或最小值,则最大值或最小值只能各有一个,具有唯一性;而极大值和极小值可能有多个,也可能没有;(2)极值只能在函数区间的内部取得,而最值可以在区间的端点处取得,有极值的不一定有最值,有最值的不一定有极值.
常用结论1.对于可导函数f(x),“f'(x0)=0”是“f(x)在x=x0处取得极值”的必要不充分条件.2.如果函数f(x)在闭区间[a,b]上恰好是单调函数,那么函数的最值恰好在两个端点处取到.当f(x)在闭区间[a,b]上单调递增时,f(a)是最小值,f(b)是最大值;当f(x)在闭区间[a,b]上单调递减时,f(a)是最大值,f(b)是最小值.3.如果函数f(x)在(a,b)上只有一个极值,那么这个极值就是相应的最值.4.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),其导数f'(x)=3ax2+2bx+c,方程3ax2+2bx+c=0的判别式Δ=4b2-12ac,有以下结论:
对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)导数为0的点一定是极值点.(　　)(2)在定义域上的单调函数一定没有极值.(　　)(3)三次函数f(x)=x3+ax2+bx+c最多有两个极值点.(　　)(4)函数的最值有可能在极值点处取得.(　　)
2.函数f(x)=-2x3+3x2+1的极小值与极大值分别等于(　　)A.0,1B.-1,0C.-2,-1D.1,2
答案 D　解析 f'(x)=-6x2+6x=-6x(x-1),令f'(x)=0得x=0或x=1,当x∈(-∞,0)时f'(x)0),令h'(t)=0,得t=1.当00,h(t)单调递增;所以h(t)min=h(1)=e0-3-ln 1=-2,即n-m的最小值为-2,故选D.
考向2.已知最值求参数典例突破
名师点析已知函数最值求参数的方法(1)已知函数在闭区间上的最值时,可根据函数最值的求法将极值与端点处的函数值进行比较,从而用参数将最值表示出来,然后通过解方程求得参数的值,必要时需要进行分类讨论.(2)已知函数在开区间或无穷区间上有最值时,可先分析求得函数的极值,然后结合函数图象确定参数应满足的条件,用不等式(组)表示,解不等式(组)即得参数的取值范围.
对点训练5(2021江苏扬州高三月考)若函数f(x)=x2ex在(a-1,5+a)上有最小值,则实数a的取值范围是　　　　. 
答案 (-5,1)　解析 由于f(x)=x2ex,所以f'(x)=ex(x2+2x),令f'(x)=0得x=-2或0.当x∈(-∞,-2)时f'(x)>0;当x∈(-2,0)时f'(x)