2023年高考数学人教A版（2019）大一轮复习--6.4　数列求和（课件）

这是一份2023年高考数学人教A版（2019）大一轮复习--6.4　数列求和（课件），共43页。PPT课件主要包含了内容索引，强基础增分策略，增素能精准突破，常用求和公式，答案B，典例突破，答案C等内容，欢迎下载使用。
知识梳理数列求和的常用方法1.公式法
2.裂项相消求和法:裂项相消求和法就是把数列的各项变为两项之差,使得相加求和时一些正负项相互抵消,前n项和变成首尾若干少数项之和,从而求出数列的前n项和.
3.错位相减求和法:如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列的对应项之积构成的,那么求这个数列的前n项和可运用错位相减求和法.4.拆项分组求和法:如果一个数列的各项是由几个等差数列和等比数列的项相加减得到的,那么可以把数列的每一项拆成多个项或把数列的项重新分组,使其转化成等差数列或等比数列,然后利用等差数列、等比数列的求和公式求和.5.并项转化求和法:在求数列的前n项和时,如果一个数列的项是正负交错的,尤其是当各项的绝对值又构成等差数列时,可以先将相邻的两项或几项合并,然后再利用其他相关的方法进行求和.
6.倒序相加求和法:如果一个数列{an}中,与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n项和可运用倒序相加求和法.
常用结论1.常用裂项公式
对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(3)数列1,-3,5,-7,9,-11,…的前100项的和等于-100.(　　)
A.2 020 B.2 021C.2 022 D.2 023
3.在数列{an}中,已知an= ,则数列{an}的前n项和Sn=　　　　　　. 
典例突破例1.(2021山东德州高三一模)已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)2n+1+2.(1)求数列{an}的通项公式;
(1)解 由题意,a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)2n+1+2,①当n≥2时,a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=(n-2)2n+2.②①-②得nan=(n-1)2n+1-(n-2)2n,解得an=2n(n≥2).当n=1时,a1=2满足上式.所以an=2n(n∈N*).
名师点析裂项相消求和法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合使之能消去一些项,最终达到求和的目的.利用裂项相消求和法的关键是分析数列的通项,考察其是否能分解成两项的差,在裂项求和的过程中,还要注意以下几点:(1)注意通项裂开后,是否恰好等于相应的两项之差,有时恰好等于两项之差,有时则是倍数关系,需要在裂开的式子前面乘上一个系数;(2)注意在正负项抵消后,是否只剩下了第一项和最后一项,有时可能前面剩下了两项,后面也剩下了两项.
对点训练1(2021辽宁大连高三期末)设数列{an}的前n项和为Sn,若满足Sn+1=3Sn+2(n+1),且a1=2.(1)证明:数列{an+1}是等比数列;
(1)证明 由Sn+1=3Sn+2(n+1)可得Sn=3Sn-1+2n(n≥2).两式相减,得an+1=3an+2(n≥2).由S2=3S1+4得a1+a2=3a1+4,得2+a2=3×2+4,得a2=8,满足a2=3a1+2,所以an+1=3an+2对于任意正整数n都成立.又因为an+1+1=3an+3,即an+1+1=3(an+1),且a1+1=3≠0,故数列{an+1}是以3为首项,3为公比的等比数列.
典例突破例2.(2021湖南雅礼中学高三二模)设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n-1.在数列{bn}中,b1=2,bn+1-2bn=8an.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列{bn}的前n项和Tn.
解 (1)当n=1时,a1=S1=21-1=1.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-2n-1=2n-1.a1=1也适合an=2n-1,因此数列{an}的通项公式为an=2n-1.
所以Tn=1×21+3×22+5×23+…+(2n-1)·2n,得2Tn=1×22+3×23+…+(2n-3)·2n+(2n-1)·2n+1,两式相减得-Tn=21+2×22+2×23+…+2×2n-(2n-1)·2n+1=2+ -(2n-1)·2n+1=(3-2n)·2n+1-6,因此Tn=(2n-3)·2n+1+6.
技巧点拨错位相减求和法的方法步骤设{anbn}的前n项和为Sn,其中数列{an}为公差为d的等差数列,数列{bn}为公比为q(q≠1)的等比数列.则错位相减求和法的步骤如下.∵Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn,∴qSn=a1b2+a2b3+…+an-1bn+anbn+1.两式相减得(1-q)Sn=a1b1+d(b2+b3+…+bn)-anbn+1
对点训练2(2021广东韶关高三一模)已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=-n2+kn(k∈N*),且Sn的最大值为25.(1)求k的值及通项公式an;(2)求数列{n· }的前n项和Tn.
k=10,Sn=-n2+10n.当n=1时,a1=S1=9.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(-n2+10n)-[-(n-1)2+10(n-1)]=-2n+11,当n=1时也成立.综上可得an=-2n+11.所以k=10,an=-2n+11.
典例突破例3.(2021北京丰台高三检测)在等差数列{an}中,a2=4,a3+a4=17.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足b1=2,再从①bn+1=2bn;②2bn+1=bn;③bn+1=-bn这三个条件中任选一个作为已知,求数列{an+bn}的前n项和Tn.
方法总结适合拆项分组求和法的两种数列(1)通项公式为an= (其中数列{bn},{cn}是等比数列或等差数列)的数列;(2)通项公式为{an+bn}({an},{bn}是等差数列或等比数列)的数列.
对点训练3(2021江苏南通高三月考)设数列{an}的前n项和为Sn,n∈N*,已知Sn+1=Sn+an+2,a1,a2,a5成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;
解 (1)由Sn+1=Sn+an+2,得an+1-an=2,所以数列{an}是以2为公差的等差数列.由a1,a2,a5成等比数列可得 =a1a5,即(a1+2)2=a1(a1+8), 解得a1=1,所以an=2n-1.
典例突破例4.(1)(2021北京延庆高三期中)已知数列{an}的前n项和Sn=1-4+7-10+13-16+…+(-1)n-1·(3n-2),则S11=(　　)A.46B.-46C.16D.-16(2)(2021湖南雅礼中学高三月考)在数列{an}中,an+1=an+2(n+1),n∈N*,a1=2,则数列{(-1)n·an}的前50项和是　　　　. 
答案 (1)C　(2)1 300　
解析 (1)因为Sn=1-4+7-10+13-16+…+(-1)n-1·(3n-2),所以S11=1-4+7-10+13-16+19-22+25-28+31=(1-4)+(7-10)+(13-16)+(19-22)+(25-28)+31=5×(-3)+31=16.故选C.(2)因为an+1=an+2(n+1),且a1=2,所以当n≥2时,a2-a1=4,a3-a2=6,…,an-an-1=2n,
技巧点拨并项转化求和法关注点(1)一般地,当数列中的各项正负交替,且各项绝对值成等差数列时,可采用并项转化求和法.(2)在利用并项转化求和法时,一般需要对项数n分奇数和偶数两种情况进行讨论,所以结果一般用分段函数来表示.
对点训练4(2021四川绵阳高三期末)已知Sn是数列{an}的前n项和,a1=1,Sn+Sn-1=n2+2(n≥2),则S21=　　　　. 
答案 231　
解析 因为Sn+Sn-1=n2+2(n≥2),所以Sn-1+Sn-2=(n-1)2+2(n≥3).两式相减得Sn-Sn-2=an+an-1=2n-1(n≥3),所以a2+a3=5,a4+a5=9,…,a20+a21=41,故
A.1B.2C.2 021D.2 022
名师点析倒序相加求和法往往与函数的求值问题联系在一起,通过函数图象的对称性,得到当两个自变量之和为某一常数时,对应的两个函数值的和也为定值,使之符合倒序相加求和法的使用条件,从而进行数列的求和.