2023年高考数学人教A版（2019）大一轮复习--第八章　立体几何与空间向量 高考解答题专项四　第2课时　求空间角（课件）

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典例突破例1.如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是矩形,SA⊥平面ABCD,AD=SA=2,AB=1,点E是棱SD的中点.(1)证明:SC⊥AE;(2)求异面直线CE与BS所成角的余弦值.
方法总结用向量法求异面直线所成角的步骤
对点训练1在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC是直角三角形,AC=BC=AA1=2,D为侧棱AA1的中点.求异面直线DC1,B1C所成角的余弦值.
解 如图所示,以C为原点,分别以CA,CB,CC1所在的直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C1(0,0,2),B1(0,2,2),D(2,0,1),
典例突破例2.(2021湖北汉阳一中三模)在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AD=2,∠DAB=60°,△APB为等腰直角三角形,PA=PB=2 ,过CD的平面分别交线段PA,PB于M,N,E在线段DP上(M,N,E不同于端点).(1)求证:CD∥平面MNE;(2)若E为DP的中点,且DM⊥平面APB,求直线PA与平面MNE所成角的正弦值. 
(1)证明 ∵AB∥CD,AB⊂平面ABP,CD⊄平面ABP,∴CD∥平面ABP.∵CD⊂平面CDMN,平面CDMN∩平面ABP=MN,∴CD∥MN.又MN⊂平面MNE,CD⊄平面MNE,∴CD∥平面MNE.
方法总结求直线与平面所成角的两种方法
对点训练2(2021湖南师大附中模拟)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是正方形,AA1=2AB=2,E是DD1上的一点,且DE= .
(1)求证:平面A1B1D⊥平面AEC;(2)求直线A1D与平面AEC所成角的正弦值.
(1)证明 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1⊥平面AA1D1D.因为AE⊂平面AA1D1D,所以A1B1⊥AE.
又因为A1D∩A1B1=A1,所以AE⊥平面A1B1D.因为AE⊂平面AEC,所以平面A1B1D⊥平面AEC.
(2)解 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,DA,DC,DD1两两垂直,故以D为原点,DA,DC,DD1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.
典例突破例3.(2021新高考Ⅱ,19)在四棱锥Q-ABCD中,底面ABCD是正方形,若AD=2,QD=QA= ,QC=3.(1)证明:平面QAD⊥平面ABCD;(2)求二面角B-QD-A的平面角的余弦值.
(1)证明取AD的中点为O,连接QO,CO.因为QA=QD,OA=OD,则QO⊥AD.
因为QC=3,则QC2=QO2+OC2,故△QOC为直角三角形,且QO⊥OC.因为OC∩AD=O,故QO⊥平面ABCD.因为QO⊂平面QAD,所以平面QAD⊥平面ABCD.
(2)解 在平面ABCD内,过点O作OT∥CD,交BC于点T,则OT⊥AD,由(1)知QO⊥平面ABCD,则以OT,OD,OQ为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
方法总结利用空间向量求二面角的两种常用方法
对点训练3(2021安徽师范大学附属中学模拟)如图所示的几何体是由等高的半个圆柱和 个圆柱拼接而成,点G为弧CD的中点,且C,E,D,G四点共面.(1)证明:平面BFD⊥平面BCG;(2)若AD=AF=2,求平面BDF与平面ABG所成锐二面角的余弦值.
(1)证明 如图,连接CE,因为几何体是由等高的半个圆柱和 个圆柱拼接而成,所以∠ECD=∠DCG=45°,即∠ECG=90°,则CE⊥CG.因为BC∥EF,BC=EF,所以四边形BCEF为平行四边形,则BF∥EC,且BF⊥CG,因为BC⊥平面ABF,BF⊂平面ABF,所以BC⊥BF.因为BC∩CG=C,所以BF⊥平面BCG.因为BF⊂平面BFD,所以平面BFD⊥平面BCG.
(2)解 如图,以A为坐标原点建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(0,2,0),F(2,0,0),D(0,0,2),G(-1,1,2),