高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.1.3 方程组的解集教案配套课件ppt

2.1.3　方程组的解集

课标要求　1.会用代入法解二元一次方程组和三元一次方程组.2.掌握二元二次方程组的解法.

素养要求　通过求方程组解集，提升数学运算、数学抽象、逻辑推理素养.

1.思考　在初中学习的常用的消元法有哪几种？

提示　解方程组时常用的消元法有代入消元法和加减消元法.代入消元时一般需要把原式化简一下再代入；加减消元时，也需要把原方程组中的某一个或某些个转化后再进行加减消元.

2.填空　一般地，将多个方程联立， 就能得到方程组.方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集.常用的方法是消元法.

温馨提醒　当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能有无穷多个元素，此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来.

3.做一做　(1)某年级学生共有246人，其中男生人数y比女生人数x的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题意的是(　　)

A.  B.

C.  D.

答案　B

(2)三个二元一次方程2x＋5y－6＝0，3x－2y－9＝0，y＝kx－9有公共解的条件是k＝________.

答案　3

题型一　二元一次方程组的解集

角度1　求二元一次方程组的解集

例1 求方程组的解集.

解　方程组

法一(代入法)　由②得y＝4x－5　③，

把③代入①得2x＋3(4x－5)＝－1，

解这个一元一次方程，得x＝1，

把x＝1代入③得y＝－1.

所以这个方程组的解集为{(1，－1)}.

法二(加减法)　①×2－②得y＝－1，代入②得x＝1，

所以这个方程组的解集为{(1，－1)}.

角度2　二元一次方程组的实际应用

例2 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品，每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质.若病人每餐需35单位蛋白质和40单位铁质，则每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？

解　设每餐甲、乙两种原料各需x g，y g，则有下表：

根据题意及上述表格，可列方程组

可得

①－②，得y＝30，

把y＝30代入②中，得x＝28.

答：每餐需甲种原料28 g，乙种原料30 g.

思维升华　(1)求二元一次方程组的解集常常利用消元的思想，消元的方法有代入消元法与加减消元法.

(2)用二元一次方程组解决实际问题的步骤：

①审题：弄清题意和题目中的数量关系.

②设元：用字母表示题目中的未知数.

③列方程组：根据两个等量关系列出方程组.

④解方程组：利用代入消元或加减消元解出未知数的值.

⑤检验并作答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答.

训练1 求方程组的解集.

解　方程组

法一　①＋②，得3x＝9，解得x＝3.

把x＝3代入②，得y＝－1.

故原方程组的解集为{(3，－1)}.

法二　由①，得x＝y＋4，③

把③代入②，得y＝－1.

把y＝－1代入③，得x＝3.

故原方程组的解集为{(3，－1)}.

题型二　三元一次方程组的解集

例3 求方程组的解集.

解　已知方程组

①＋②，得5x－z＝14.

①＋③，得4x＋3z＝15.

解方程组得

把x＝3，z＝1代入③，得y＝8.

所以原方程组的解集为{(3，8，1)}.

思维升华　求三元一次方程组解集时，首先将系数较为简单的未知数消去，将“三元”转化为“二元”，再解二元一次方程组即可；或根据各未知数系数的特点，直接将方程相加(减)进行简便运算.

训练2 求方程组的解集.

解　已知方程组

①－②×2，得5y－3z＝8，④

③－②，得3y－3z＝6，⑤

由④⑤组成二元一次方程组

解这个二元一次方程组，得

把y＝1，z＝－1代入②，得x＝2，

所以原方程组的解集为{(2，1，－1)}.

题型三　求二元二次方程组的解集

例4 求下列方程组的解集：

(1)

(2)

解　(1)把y＝x＋1代入x2＋y2＝13得x2＋(x＋1)2＝13，

整理得x2＋x－6＝0，解得x1＝－3，x2＝2.

把x1＝－3代入y＝x＋1，得y1＝－2，

把x2＝2代入y＝x＋1，得y2＝3，

所以原方程组的解集为{(－3，－2)，(2，3)}.

(2)方程组可化为

即为或

或或

解得或或或

所以原方程组的解集为

.

思维升华　1.对形如

的方程组可用代入法.

2.对形如

的方程组可通过“降次”转化为1中的形式求解.

训练3 求下列方程组的解集：

(1)

(2)

解　(1)法一　由①得，y＝7－x，代入②整理得，x2－7x＋12＝0.

解得x1＝3或x2＝4，分别代入①得y1＝4或y2＝3，

∴方程组的解集为{(3，4)，(4，3)}.

法二　由题意知x，y是方程z2－7z＋12＝0的两根，即为(z－3)(z－4)＝0的两根，

∴或

∴原方程组的解集为{(3，4)，(4，3)}.

(2)方程组

中，

①可化为(x－2y)2＋(x－2y)－2＝0，

即(x－2y＋2)(x－2y－1)＝0.

∴x－2y＋2＝0或x－2y－1＝0.

原方程组等价于(ⅰ)或(ⅱ)

由(ⅰ)解得由(ⅱ)解得

所以原方程组的解集为.

[课堂小结]

1.求方程组解集的基本策略是消元和降次.

2.消元的方法主要有：加减消元法、代入消元法，整体消元法.

3.降次的方法主要是因式分解，将“ab＝0”转化为“a＝0或b＝0”.

一、基础达标

1.(多选)下列各组中的值不是方程组的解的是(　　)

A.  B.

C.  D.

答案　CD

解析　把选项中的x，y的值逐项代入，能得到A，B能让原方程组成立，而C，D不能让方程组成立.

2.已知关于x，y的方程组中x，y的值相等，则k的值是(　　)

A.3  B. 

C.5  D.

答案　B

解析　把方程组中的x都换成y，解得x＝y＝.把x＝y＝再代入第一个方程，从而求出k的值.

3.已知方程组有无数多个解，则a，b的值分别为(　　)

A.a＝－3，b＝－14  B.a＝3，b＝－7

C.a＝－1，b＝9  D.a＝－3，b＝14

答案　A

解析　检验满足＝＝的只有a＝－3，b＝－14.

4.关于x，y的方程组的解是方程3x＋2y＝34的一组解，则m的值是(　　)

A.2  B.－1 

C.1  D.－2

答案　A

解析　由解得代入3x＋2y＝34，可解得m＝2.

5.某校运动员分组训练，若每组7人，余3人；若每组8人，则缺5人.设运动员人数为x人，组数为y组，则列方程组为(　　)

A.  B.

C.  D.

答案　C

解析　根据组数×每组7人＝总人数－3人，得方程7y＝x－3；根据组数×每组8人＝总人数＋5人，得方程8y＝x＋5.列方程组为

6.已知方程x＋3y＝5，请写出一个二元一次方程，使它与已知方程所组成的方程组的解为这个方程可以是________.

答案　x－4y＝0(答案不唯一)

解析　设所写出的二元一次方程为y＝kx＋b(k≠0).把(4，1)代入y＝kx＋b，得1＝4k＋b，令b＝0，则k＝，

∴这个方程可以是y＝x，即x－4y＝0.

7.关于x，y的方程3kx＋2y＝6k－3，对于任何k的值都有相同的解，则方程的解集为________.

答案　

解析　方程可化为k(3x－6)＋2y＋3＝0，由题意∴

8.方程组的一个解为则这个方程组的另一个解是________.

答案　

解析　由题意，得a＝5，b＝6，x，y是方程z2－5z＋6＝0的两根，

∴或

9.在y＝ax2＋bx＋c中，当x＝0时y＝－7，当x＝1时，y＝－9，当x＝－1时y＝－3，求a，b，c的值.

解　把(0，－7)，(1，－9)，(－1，－3)分别代入y＝ax2＋bx＋c，得

解得

10.已知关于x，y的方程组与方程组有相同的解，求出这个解及a，b的值.

解　由题意可得∴

即为方程组的解，把它代入ax＋by＝1及bx＋ay＝6，得

解得

二、能力提升

11.桌面上有甲、乙、丙三个杯子，三杯内原本均装有一些水.先将甲杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本甲杯内水量的2倍多40毫升；再将乙杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本乙杯内水量的3倍少180毫升.若过程中水没有溢出， 则原本甲、乙两杯内的水量相差(　　)

A.80毫升  B.110毫升

C.140毫升  D.220毫升

答案　B

解析　设甲杯中原有水a毫升，乙杯中原有水 b毫升，丙杯中原有水c毫升，

依题意有

②－①，得b－a＝110，故选B.

12.在代数式ax2＋bx＋c中，x分别取0，1，－1时，其值分别为－5，－6，0，则a＝________，b＋c＝________.

答案　2　－8

解析　根据题意可得

解得

所以a＝2，b＋c＝－8.

13.求方程组的解集.

解　已知方程组

①×3－②得3x－y＝1⇒y＝3x－1，　③

代入①得x(3x－1)＋x＝3⇒3x2＝3⇒x1＝1或x2＝－1.

分别代入③得y1＝2或y2＝－4.

∴原方程组的解集为{(1，2)，(－1，－4)}.

三、创新拓展

14.(多选)已知关于x，y的方程组

给出下列结论，其中正确的是(　　)

A.是方程组的一组解

B.当k＝时，x，y的值互为相反数

C.若方程组的解也是方程x＋y＝4－k的解，则k＝1

D.是方程组的解

答案　AB

解析　解方程组

得

A.是方程组的一组解，结论正确；

B.当k＝时，x＝3k－2＝－2＝－，y＝1－k＝1－＝，x，y的值互为相反数，结论正确；

C.也是方程x＋y＝4－k的解，∴x＋y＝3k－2＋1－k＝－1＋2k＝4－k，∴3k＝5，k＝，结论不正确；

D.由知D不正确.