人教B版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.1 集合1.1.1 集合及其表示方法多媒体教学课件ppt

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1.掌握集合的两种表示方法：列举法和描述法.2.掌握用区间表示数集.3.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合.
通过学习集合的两种表示方法表示一些简单集合，提升学生的数学抽象和直观想象素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
一、列举法1.思考　观察下列集合：(1)中国古代四大发明组成的集合；(2)20的所有正因数组成的集合.上述两个集合中的元素能一一列举出来吗？如何表示上述两个集合？
提示　能一一列出.(1)中的集合可表示为：{造纸术、印刷术、指南针、火药}；(2)中的集合可表示为：{1，2，4，5，10，20}.
2.填空　(1)定义：把集合中的元素__________出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写在大括号内，以此来表示集合的方法称为列举法.(2)使用说明①用列举法表示集合时，一般不考虑元素的顺序.②如果一个集合的元素较多，且能够按照一定的规律排列，那么在不致于发生误解的情况下，可按照规律列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示.③无限集有时也可用列举法表示.
特别提醒 (1)列举法对有限集情有独钟，自然数集、整数集也可用列举法来表示，但不能用来表示实数集.(2)a与{a}的区别与联系：a表示一个元素，{a}表示一个集合，a∈{a}.同样∅∈{∅}，0∈{0}.
3.做一做　判断正误(1)用1，1，2，3组成的集合可用列举法表示为{1，1，2，3}.( )(2)集合{(1，2)}中的元素是1和2. ( )提示　集合{(1，2)}中的元素是(1，2).(3)不等式x－3＜2且x∈N*的解集用列举法可表示为{1，2，3，4}.( )
二、描述法1.思考　观察下列集合：(1)不等式x－2≥3的解集；(2)函数y＝x2－1的图像上的所有点.这两个集合能用列举法表示吗？如何表示这两个集合？提示　因为元素不能一一列出，所以不能用列举法表示.(1)中集合可表示为{x|x－2≥3}；(2)中集合可表示为{(x，y)|y＝x2－1}.
2.填空　(1)定义：一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质__________，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个________.此时，集合A可以用它的特征性质p(x)表示为___________.这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法.
(2)使用说明集合{x|p(x)}中所有在另一集合I中的元素组成的集合，可以表示为{x∈I|p(x)}.
特别提醒 描述法表示集合要关注竖线“|”左边代表元素的形式(即代表元素是什么)，是数，还是点(有序实数组).竖线“|”右边p(x)是元素的共有性质.
3.做一做　由大于－1小于5的自然数组成的集合用列举法表示为____________，用描述法表示为______________.
{0，1，2，3，4}
{x∈N|－1＜x＜5}
二、区间及其表示1.思考　能否用更为简洁的符号表示A＝{x|－32.填空　(1)区间：设a，b∈R，且a＜b.
特别提醒 “∞”是一个符号，而不是一个数.以“－∞”或“＋∞”为端点时，区间这一端必须是小括号.
3.做一做　用区间表示下列集合：(1){x|－1≤x≤2}：______________；(2){x|1＜x≤3}：______________；(3){x|x＞2}：______________；(4){x|x≤－2}：______________.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
例1 用列举法表示下列集合.①不大于10的非负偶数组成的集合；②方程x2＝x的所有实数解组成的集合；③直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合；
题型一　列举法表示集合
解　①因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0，2，4，6，8，10}.
②方程x2＝x的解是x＝0或x＝1，所以方程的解组成的集合为{0，1}.
用列举法表示集合应注意的两点(1)应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素.(2)若集合中的元素是点时，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素.
训练1 用列举法表示下列给定的集合： (1)大于1且小于6的整数组成的集合A；
解　（1）因为大于1且小于6的整数包括2，3，4，5，所以A＝{2，3，4，5}.
(2)方程x2－9＝0的实数根组成的集合B；
(2)方程x2－9＝0的实数根为－3，3，所以B＝{－3，3}.
(3)一次函数y＝x＋2与y＝－2x＋5的图像的交点组成的集合C.
所以一次函数y＝x＋2与y＝－2x＋5的图像的交点为(1，3)，所以C＝{(1，3)}.
例2 用描述法表示下列集合：(1)所有不在第一、三象限的点组成的集合；(2)所有被3除余1的整数组成的集合；
题型二　描述法表示集合
解　(1)∵不在第一、三象限的点分布在第二、四象限或坐标轴上，∴所有不在第一、三象限的点组成的集合为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}.(2)∵被3除余1的整数可表示为3n＋1，n∈Z，∴所有被3除余1的整数组成的集合为{x|x＝3n＋1，n∈Z}.
(4)由(x－2)2＋(y＋3)2＝0，解得x＝2，y＝－3.∴方程的解集为{(x，y)|x＝2，y＝－3}.
用描述法表示集合时应注意的四点：(1)写清楚该集合中元素的代号；(2)说明该集合中元素的性质；(3)所有描述的内容都可写在集合符号内；(4)在描述法的一般形式{x∈I|p(x)}中，“x”是集合中元素的代表形式，I是x的范围，“p(x)”是集合中元素x的共同特征，竖线不可省略.
训练2 下列三个集合：①A＝{x|y＝x2＋1}；②B＝{y|y＝x2＋1}；③C＝{(x，y)|y＝x2＋1}.(1)它们是不是相同的集合？
(2)它们各自的含义分别是什么？
解　集合A＝{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，且x∈R，所以{x|y＝x2＋1}＝R，即A＝R，可以认为集合A表示函数y＝x2＋1中自变量x的取值范围；集合B＝{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}，可以认为集合B表示函数y＝x2＋1中因变量的取值范围.集合C＝{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，是满足y＝x2＋1的数对，可以认为集合C是由坐标平面内满足y＝x2＋1的点(x，y)构成的.
例3 将下列集合用区间及数轴表示出来：(1){x|x＜2}；(2){x|x≥3}；
解　(1){x|x＜2}用区间表示为(－∞，2)，用数轴表示如下：
(2){x|x≥3}用区间表示为[3，＋∞)，用数轴表示如下：
(3){x|－1≤x＜5}.
解　{x|－1≤x＜5}用区间表示为[－1，5)，用数轴表示如下：
用区间表示数集的原则和方法(1)用区间表示数集的原则：①数集是连续的；②左小右大；③区间的开闭不能弄错.(2)用区间表示数集的方法：①区间符号里面的两个数字(或字母)之间用“，”隔开；②用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别.
训练3 (1)不等式x－2≥0的所有解组成的集合表示成区间是(　　)A.(2，＋∞) B.[2，＋∞) C.(－∞，2) D.(－∞，2]
解析　不等式x－2≥0的所有解组成的集合为{x|x≥2}，表示成区间为[2，＋∞).
(2)若[a，3a－1]为一确定区间，则a的取值范围为______________.
题型四　集合表示方法的综合应用
例4 已知集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合.
解　①当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意；②当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意.综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0，1}.
(1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如本例集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题.(2)在学习过程中要注意数学素养的培养，如本例中用到了等价转化思想和分类讨论的思想.
解　由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0有两个不等实根，故k≠0，且Δ＝64－64k>0，即k<1，且k≠0.所以实数k的值组成的集合为{k|k<1，且k≠0}.
训练4 (1)本例若将条件“只有一个元素”改为“有两个元素”，其他条件不变，求实数k的值组成的集合.
(2)本例若将条件中“集合A中只有一个元素”改为“A为空集”，其他条件不变，求实数k的值组成的集合.
解　由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0无解，
用自然语言、列举法和描述法表示集合时各自的特点(1)自然语言是最基本的语言形式，适用范围广泛，但是具有多义性，有时难于表达；(2)列举法直观、明了，但有局限性，多适用于元素个数较少的有限集；(3)描述法具有抽象概括、普遍性的特点，适用于性质明显的有限集或无限集.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
1.用列举法表示集合{x|x2－2x－3＝0}为(　　)A.{－1，3} B.{(－1，3)}C.{x＝1} D.{x2－2x－3＝0}
2.下列集合中不同于另外三个集合的是(　　)A.{x|x＝1} B.{x|x2＝1}C.{1} D.{y|(y－1)2＝0}
5.设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为(　　)A.3 B.4C.5 D.6
解析　1，2，3与4，5分别相加可得5，6，6，7，7，8，根据集合中元素的互异性可得集合M中有4个元素.
6.能被2整除的正整数的集合，用描述法可表示为___________________.
{x|x＝2n，n∈N＋}
解析　正整数中所有的偶数均能被2整除.
7.若[2a＋1，3a－1]为一确定区间，则实数a的取值范围为________.
解析　由题意知3a－1＞2a＋1，即a＞2.
8.已知－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2－4x－a＝0}中所有元素之和为________.
解析　由－5∈{x|x2－ax－5＝0}，得(－5)2－a×(－5)－5＝0，∴a＝－4，∴{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，∴集合中所有元素之和为2.
9.用适当的方法表示下列集合：
(2)方程x2－2x＋1＝0的实数根组成的集合；
(3)平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合；
解　(2)方程x2－2x＋1＝0的实数根为1，因此可用列举法表示为{1}，也可用描述法表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}.(3)集合的代表元素是点，可用描述法表示为{(x，y)|x<0，且y>0}.
(4)二次函数y＝x2＋2x－10的图像上所有点的纵坐标组成的集合.
(4)二次函数y＝x2＋2x－10的图像上所有点的纵坐标组成的集合中，代表元素为y，故可用描述法表示为{y|y＝x2＋2x－10}.
10.已知集合A＝{a＋3，(a＋1)2，a2＋2a＋2}，若1∈A，求实数a的值.
解　①若a＋3＝1，则a＝－2，此时A＝{1，1，2}，不符合集合中元素的互异性，舍去.②若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2.当a＝0时，A＝{3，1，2}，满足题意；当a＝－2时，由①知不符合条件，故舍去.③若a2＋2a＋2＝1，则a＝－1，此时A＝{2，0，1}，满足题意.综上所述，实数a的值为－1或0.
11.(多选)给出下列说法，其中不正确的是(　　 )
解析　对于A，由x3＝x，
即x(x2－1)＝0，得x＝0或x＝1或x＝－1.因为－1∉N，所以集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示应为{0，1}.对于B，集合表示中的符号“{　}”已包含“所有”“全体”等含义，而符号“R”已表示所有的实数构成的集合，所以实数集正确的表示应为{x|x为实数}或R.
对于D，由(x－2)2＋(y＋3)2＝0，得x－2＝0，y＋3＝0，解得x＝2，y＝－3，故集合为{(2，－3)}.
12.已知集合A＝{－1，0，1}，集合B＝{y|y＝|x|，x∈A}，则B＝________.
解析　∵x∈A，∴当x＝－1时，y＝|x|＝1；当x＝0时，y＝|x|＝0；当x＝1时，y＝|x|＝1.∴B＝{0，1}.
(2)用列举法表示集合B.
所以2＋x只能取2，3，6，相应的x只能取0，1，4，所以B＝{0，1，4}.
14.若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为可倒数集，则集合A＝{－1，1，2}________(填“是”或“不是”)可倒数集.试写出一个含三 个元素的可倒数集____________________ (答案不唯一).