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2020-2021学年1.2.3 充分条件、必要条件课文ppt课件
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这是一份2020-2021学年1.2.3 充分条件、必要条件课文ppt课件，文件包含第二课时充要条件pptx、第二课时充要条件doc等2份课件配套教学资源，其中PPT共42页， 欢迎下载使用。
通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系.
针对充要条件问题，通过几个数学定义的研究比较，学生经历梳理知识，提炼定义，提升逻辑推理与数学抽象素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1.思考 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？ (1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，则ac<0；(4)若A∪B是空集，则A与B均是空集. 提示 上述命题中的命题(1)(4)和它们的逆命题都是真命题；命题(2)是真命题，但它的逆命题是假命题；命题(3)是假命题，但它的逆命题是真命题.
2.填空 充要条件(1)一般地，如果p⇒q且________，则称p是q的充分不必要条件.(2)如果p q且________，则称p是q的必要不充分条件.(3)如果p⇒q且________，则称p是q的充分必要条件(简称为充要条件)，记作p⇔q，此时，也读作“p与q等价”，“p当且仅当q”.(4)如果p⇒/ q且q⇒/ p，则称p是q的既不充分也不必要条件.
温馨提醒 如果把p研究的范围看成集合A，把q研究的范围看成集合B，则可得下表.
3.做一做 判断正误(1)两个三角形相似的充要条件是两个三角形的三边对应成比例.( )(2)xy>0是x>0，y>0的充要条件.( )提示 必要不充分条件.(3)四边形是平行四边形的充要条件是四边形的两组对边分别相等.( )(4)已知x，y∈R，则xy＝0是x2＋y2＝0的充要条件.( )提示 xy＝0，例如x＝1，y＝0，则得不到x2＋y2＝0.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
角度1 定义法判断条件间的关系
题型一 充分、必要、充要条件的判断
例1 指出下列各组命题中p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件).(1)p：数a能被6整除；q：数a能被3整除；(2)p：x>1，q：x2>1；
解 (1)∵p⇒q，q p，
∴p是q的充分不必要条件.
(2)∵p⇒q，q p，∴p是q的充分不必要条件.
(3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；(4)p：|ab|＝ab，q：ab>0.
解 (3)∵p q，q⇒p，
∴p是q的必要不充分条件.
(4)∵ab＝0时，|ab|＝ab，
∴“|ab|＝ab” “ab>0”，即p q.
而当ab>0时，有|ab|＝ab，即q⇒p.∴p是q的必要不充分条件.
角度2 递推法判断条件间的关系
例2 已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么：(1)s是q的什么条件？(2)r是q的什么条件？(3)p是q的什么条件？
解 (1)∵q是r的必要条件，∴r⇒q.∵s是r的充分条件，∴s⇒r，∴s⇒r⇒q，又∵q是s的充分条件，∴q⇒s.∴s是q的充要条件.(2)由r⇒q，q⇒s⇒r，知r是q的充要条件.
(3)∵p是r的必要条件，∴r⇒p，
∴q⇒r⇒p.又p q，
判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假.(2)集合法：即利用集合的包含关系判断.(3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法.(4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性.
训练1 (1)已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0，且ab>0”的________条件.
解析 因为a>0，b>0，所以a＋b>0，ab>0，充分性成立；因为ab>0，所以a与b同号，又a＋b>0，所以a>0且b>0，必要性成立.故“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的充要条件.
(2)如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( )A.丙是甲的充分不必要条件B.丙是甲的必要不充分条件C.丙是甲的充要条件D.丙是甲的既不充分也不必要条件
解析 如图所示，∵甲是乙的必要条件，∴乙⇒甲.
又∵丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，
∴丙⇒乙，但乙 丙.
综上，有丙⇒乙⇒甲，甲 丙，
即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件.
题型二 充要条件的证明
一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q⇒p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p⇒q.
训练2 求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
证明 ①先证必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，则a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.②再证充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中，可得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0，故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.因此，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
题型三 利用充要条件求参数
例4 已知p：x∈[－2，10]，q：x∈[1－m，1＋m](m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
解 p：x∈[－2，10]，q：x∈[1－m，1＋m].因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件，即[1－m，1＋m][－2，10]，
迁移 若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围.
解 设p对应的集合为A，q对应的集合为B，因为p是q的充分不必要条件，所以AB.
解不等式组得m>9或m≥9，所以m≥9，即实数m的取值范围是[9，＋∞).
应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系.(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程或不等式求解.
训练3 已知p：x<－2或x>3，q：4x＋m<0，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
解 设A＝{x|x<－2，或x>3}，
1.充要条件的证明分为：充分性的证明和必要性的证明.在证明时要注意两种叙述方式的区别：(1)p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性；(2)p的充要条件是q，则由p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性.2.探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性，如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
1.设a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c，则“a2＋b2＝c2”是“△ABC为直角三角形”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析 设a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c，则a2＋b2＝c2⇔△ABC为直角三角形，故选C.
2.已知p：－2
解析 由题意，{1}是{x|x≤a}的子集，∴a≥1.故选D.
4.(多选)命题“∀x∈[1，3]，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是( )A.a≥9 B.a≥11C.a≥10 D.a≤10
5.(多选)已知集合A＝{x|－1
当A∩B＝∅时，m＋1≤－1，解得m≤－2，
所以C(－∞，－2]，因此B，D满足条件.
6.p：两个三角形的三条边对应相等，q：两个三角形全等，则p是q的________条件(填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”).
解析 p⇒q，q⇒p，故p是q的充要条件.
7.一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图像不过第三象限的充要条件是__________.
解析 如图所示，要使一次函数y＝kx＋b(k≠0)不过第三象限，则需k<0且b≥0.
9.指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答).
(3)p：a>b，q：a＋c>b＋c.
解 (3)a>b⇒a＋c>b＋c，且a＋c>b＋c⇒a>b，故p是q的充要条件.
10.设p：实数x满足a0)，q：实数x满足2
11.(多选)设a∈R，则a>4的一个必要不充分条件是( )A.a>1 B.a>2C.a>5 D.a<5
解析 由题意，当a>4时，a>1，a>2一定成立；当a>1，a>2时，a>4不一定成立，故选AB.
12.设A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5，a∈R}，B＝{x|3≤x≤22]. (1)A⊆(A∩B)的充要条件为________；
(2)A⊆(A∩B)的一个充分不必要条件为__________________.
6≤a≤9(答案不唯一)
解析 (1)由题意得A⊆(A∩B)⇔A⊆B，B＝{x|3≤x≤22}.若A＝∅，则2a＋1>3a－5，解得a<6；若A≠∅，则由A⊆B，
解得6≤a≤9.综上可知，A⊆(A∩B)的充要条件为a≤9.
(2)A⊆(A∩B)的一个充分不必要条件可为6≤a≤9.
13.设x，y∈R，求证|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.
证明 ①充分性 若xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况.当xy＝0时，不妨设x＝0，则|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，∴等式成立.当xy>0时，有x>0，y>0，或x<0，y<0.当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，∴等式成立.当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y，∴等式成立，总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立.
②必要性 若|x＋y|＝|x|＋|y|，x，y∈R，则|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，
即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x||y|，∴|xy|＝xy，∴xy≥0.综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件.
14.已知a，b，c均为实数，证明“ac<0”是“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根”的充要条件.
证明 ①充分性：∵ac<0，∴a≠0，∴方程ax2＋bx＋c＝0为一元二次方程，且Δ＝b2－4ac≥－4ac>0，∴ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，分别设为x1，x2.
∴x1，x2为一正一负，即ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根.
②必要性：∵ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，∴a≠0，∴方程ax2＋bx＋c＝0为一元二次方程.
通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系.
针对充要条件问题，通过几个数学定义的研究比较，学生经历梳理知识，提炼定义，提升逻辑推理与数学抽象素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
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问题导学预习教材 必备知识探究
1.思考 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？ (1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，则ac<0；(4)若A∪B是空集，则A与B均是空集. 提示 上述命题中的命题(1)(4)和它们的逆命题都是真命题；命题(2)是真命题，但它的逆命题是假命题；命题(3)是假命题，但它的逆命题是真命题.
2.填空 充要条件(1)一般地，如果p⇒q且________，则称p是q的充分不必要条件.(2)如果p q且________，则称p是q的必要不充分条件.(3)如果p⇒q且________，则称p是q的充分必要条件(简称为充要条件)，记作p⇔q，此时，也读作“p与q等价”，“p当且仅当q”.(4)如果p⇒/ q且q⇒/ p，则称p是q的既不充分也不必要条件.
温馨提醒 如果把p研究的范围看成集合A，把q研究的范围看成集合B，则可得下表.
3.做一做 判断正误(1)两个三角形相似的充要条件是两个三角形的三边对应成比例.( )(2)xy>0是x>0，y>0的充要条件.( )提示 必要不充分条件.(3)四边形是平行四边形的充要条件是四边形的两组对边分别相等.( )(4)已知x，y∈R，则xy＝0是x2＋y2＝0的充要条件.( )提示 xy＝0，例如x＝1，y＝0，则得不到x2＋y2＝0.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
角度1 定义法判断条件间的关系
题型一 充分、必要、充要条件的判断
例1 指出下列各组命题中p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件).(1)p：数a能被6整除；q：数a能被3整除；(2)p：x>1，q：x2>1；
解 (1)∵p⇒q，q p，
∴p是q的充分不必要条件.
(2)∵p⇒q，q p，∴p是q的充分不必要条件.
(3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；(4)p：|ab|＝ab，q：ab>0.
解 (3)∵p q，q⇒p，
∴p是q的必要不充分条件.
(4)∵ab＝0时，|ab|＝ab，
∴“|ab|＝ab” “ab>0”，即p q.
而当ab>0时，有|ab|＝ab，即q⇒p.∴p是q的必要不充分条件.
角度2 递推法判断条件间的关系
例2 已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么：(1)s是q的什么条件？(2)r是q的什么条件？(3)p是q的什么条件？
解 (1)∵q是r的必要条件，∴r⇒q.∵s是r的充分条件，∴s⇒r，∴s⇒r⇒q，又∵q是s的充分条件，∴q⇒s.∴s是q的充要条件.(2)由r⇒q，q⇒s⇒r，知r是q的充要条件.
(3)∵p是r的必要条件，∴r⇒p，
∴q⇒r⇒p.又p q，
判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假.(2)集合法：即利用集合的包含关系判断.(3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法.(4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性.
训练1 (1)已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0，且ab>0”的________条件.
解析 因为a>0，b>0，所以a＋b>0，ab>0，充分性成立；因为ab>0，所以a与b同号，又a＋b>0，所以a>0且b>0，必要性成立.故“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的充要条件.
(2)如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( )A.丙是甲的充分不必要条件B.丙是甲的必要不充分条件C.丙是甲的充要条件D.丙是甲的既不充分也不必要条件
解析 如图所示，∵甲是乙的必要条件，∴乙⇒甲.
又∵丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，
∴丙⇒乙，但乙 丙.
综上，有丙⇒乙⇒甲，甲 丙，
即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件.
题型二 充要条件的证明
一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q⇒p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p⇒q.
训练2 求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
证明 ①先证必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，则a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.②再证充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中，可得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0，故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.因此，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
题型三 利用充要条件求参数
例4 已知p：x∈[－2，10]，q：x∈[1－m，1＋m](m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
解 p：x∈[－2，10]，q：x∈[1－m，1＋m].因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件，即[1－m，1＋m][－2，10]，
迁移 若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围.
解 设p对应的集合为A，q对应的集合为B，因为p是q的充分不必要条件，所以AB.
解不等式组得m>9或m≥9，所以m≥9，即实数m的取值范围是[9，＋∞).
应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系.(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程或不等式求解.
训练3 已知p：x<－2或x>3，q：4x＋m<0，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
解 设A＝{x|x<－2，或x>3}，
1.充要条件的证明分为：充分性的证明和必要性的证明.在证明时要注意两种叙述方式的区别：(1)p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性；(2)p的充要条件是q，则由p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性.2.探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性，如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件.
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拓展延伸分层精练 核心素养达成
1.设a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c，则“a2＋b2＝c2”是“△ABC为直角三角形”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析 设a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c，则a2＋b2＝c2⇔△ABC为直角三角形，故选C.
2.已知p：－2
解析 由题意，{1}是{x|x≤a}的子集，∴a≥1.故选D.
4.(多选)命题“∀x∈[1，3]，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是( )A.a≥9 B.a≥11C.a≥10 D.a≤10
5.(多选)已知集合A＝{x|－1
当A∩B＝∅时，m＋1≤－1，解得m≤－2，
所以C(－∞，－2]，因此B，D满足条件.
6.p：两个三角形的三条边对应相等，q：两个三角形全等，则p是q的________条件(填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”).
解析 p⇒q，q⇒p，故p是q的充要条件.
7.一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图像不过第三象限的充要条件是__________.
解析 如图所示，要使一次函数y＝kx＋b(k≠0)不过第三象限，则需k<0且b≥0.
9.指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答).
(3)p：a>b，q：a＋c>b＋c.
解 (3)a>b⇒a＋c>b＋c，且a＋c>b＋c⇒a>b，故p是q的充要条件.
10.设p：实数x满足a
11.(多选)设a∈R，则a>4的一个必要不充分条件是( )A.a>1 B.a>2C.a>5 D.a<5
解析 由题意，当a>4时，a>1，a>2一定成立；当a>1，a>2时，a>4不一定成立，故选AB.
12.设A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5，a∈R}，B＝{x|3≤x≤22]. (1)A⊆(A∩B)的充要条件为________；
(2)A⊆(A∩B)的一个充分不必要条件为__________________.
6≤a≤9(答案不唯一)
解析 (1)由题意得A⊆(A∩B)⇔A⊆B，B＝{x|3≤x≤22}.若A＝∅，则2a＋1>3a－5，解得a<6；若A≠∅，则由A⊆B，
解得6≤a≤9.综上可知，A⊆(A∩B)的充要条件为a≤9.
(2)A⊆(A∩B)的一个充分不必要条件可为6≤a≤9.
13.设x，y∈R，求证|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.
证明 ①充分性 若xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况.当xy＝0时，不妨设x＝0，则|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，∴等式成立.当xy>0时，有x>0，y>0，或x<0，y<0.当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，∴等式成立.当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y，∴等式成立，总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立.
②必要性 若|x＋y|＝|x|＋|y|，x，y∈R，则|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，
即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x||y|，∴|xy|＝xy，∴xy≥0.综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件.
14.已知a，b，c均为实数，证明“ac<0”是“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根”的充要条件.
证明 ①充分性：∵ac<0，∴a≠0，∴方程ax2＋bx＋c＝0为一元二次方程，且Δ＝b2－4ac≥－4ac>0，∴ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，分别设为x1，x2.
∴x1，x2为一正一负，即ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根.
②必要性：∵ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，∴a≠0，∴方程ax2＋bx＋c＝0为一元二次方程.
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