人教B版 (2019)必修 第一册3.3 函数的应用(一)教课内容课件ppt

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1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要模型.2.会利用已知的函数模型(或建立函数模型)解决实际问题.
通过函数实际应用的学习，使学生体会常见函数的异同，提升学生数学抽象、数学建模、数据分析等素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1.思考　实际生活中我们经常用到的纳税、银行利率、营销活动中利润最大值等都可以借助于函数来解决，如何借助于函数来解决生活中的实际问题呢？
提示　用数学符号和表达式来代替实际问题中的变量和关系，得到我们需要的“数学模型”来解决.
2.填空　(1)常见的函数模型
(2)解决函数应用问题的步骤利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原.这些步骤用框图表示如图：
温馨提醒　(1)函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画，面对实际问题，应选择恰当的函数模型来刻画它.(2)建立函数模型时，求解函数解析式的方法常有待定系数法，方程法等.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
例1 为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费用y(元)的关系如图所示.
(1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式；
解　由图像可设y1＝k1x＋30(k1≠0)，y2＝k2x(k2≠0)，把点B(30，35)，C(30，15)分别代入y1＝k1x＋30，y2＝k2x，
(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜.
当x＝90时，y1＝y2，两种卡收费一致；当x<90时，y1>y2，使用便民卡便宜；当x>90时，y1在用函数刻画实际问题时，除了用函数解析式刻画外，函数图像也能够发挥很好的作用，因此，应注意提高读图的能力.
训练1 某报刊亭从报社买进报纸的价格是每份0.24元，卖出的价格是每份0.40元，卖不掉的报纸可以以每份0.08元的价格退回报社.在一个月(以30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的报纸份数必须相同，则报刊亭摊主应该每天从报社买进________份报纸，才能使每月所获利润最大.
解析　设每天从报社买进x份(250≤x≤400)报纸，每月所获利润是y元，则每月售出报纸共(20x＋10×250)份，
每月退回报社报纸共10×(x－250)份.依题意得，y＝(0.40－0.24)×(20x＋10×250)－(0.24－0.08)×10(x－250).即y＝0.16(20x＋2 500)－0.16(10x－2 500)，
化简得y＝1.6x＋800，其中250≤x≤400，
因为此一次函数(y＝kx＋b，k≠0)的k＝1.6>0，所以y是一个单调增函数，再由250≤x≤400知，当x＝400时，y取得最大值，此时y＝1.6×400＋800＝1 440(元).所以每天买进400份可使每月所获利润最大，获利1 440元.
例2 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示.
请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？
解　由表中数据可知，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶，设在进价的基础上增加x元后，日均销售利润为y元，
在此情况下的日均销售量为480－40(x－1)＝(520－40x)(桶).
令520－40x>0，则0利用二次函数求最值的方法及注意点(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、利用函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题.(2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符.
训练2 某商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少.把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元.现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格(标价)出售.问：
(1)商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？
解　设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，则x∈(100，300]，n＝kx＋b(k<0)，∵0＝300k＋b，即b＝－300k，∴n＝k(x－300).∴利润y＝(x－100)k(x－300)＝k(x－200)2－10 000k(x∈(100，300]).∵k<0，∴x＝200时，ymax＝－10 000k，即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元.
(2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？
解　由题意得k(x－100)(x－300)＝－10 000k·75%，即x2－400x＋37 500＝0，解得x＝250或x＝150，∴商场要获取最大利润的75%，每件标价为250元或150元.
(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值.
解　由(1)知①当0≤t≤10时，y＝－t2＋10t＋1 200＝－(t－5)2＋1 225，函数图像开口向下，对称轴为t＝5，该函数在t∈[0，5]上单调递增，在t∈(5，10]上单调递减，∴ymax＝1 225(当t＝5时取得)，ymin＝1 200(当t＝0或10时取得)；②当10应用分段函数时的三个注意点(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏.(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.(3)分段函数的最值求法为逐段求函数值的范围，最后比较再下结论.
训练3 某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间t(t∈N＋)(天)的函数关系用如图的两条线段表示，该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t(t∈N＋)(天)之间的关系如下表：
(1)根据提供的图像(如图)，写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式；
(2)根据上表提供的数据，写出日销售量Q与时间t的一个函数关系式；
(3)求该商品日销售金额y的最大值，并指出日销售金额y最大的一天是30天中的第几天(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量).
解　（2）日销售量Q与时间t的一个函数式为Q＝－t＋40(0当01.解决函数应用问题一般按审题、建模，求模、还原四个步骤进行.2.运用已知函数模型刻画实际问题时，由于实际问题的条件与得出已知模型的条件会有小的误差，因此往往需要对模型进行修正.3.要积累各种数学模型，能够识别及区分各种数学模型，以便应用于实际问题.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
1.某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的函数解析式为y＝5x＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为(　　)A.200副 B.400副C.600副 D.800副
解析　由5x＋4 000≤10x，解得x≥800，即日产手套至少800副时才不亏本.
2.(多选)已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元.某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如下表所示：
则下列说法正确的是(　　)A.买小包装实惠B.买大包装实惠C.卖3小包比卖1大包盈利多D.卖1大包比卖3小包盈利多
3.如图是一份统计图表，根据此图表得到的以下说法中正确的个数是(　　)
①这几年人民生活水平逐年得到提高；②生活费收入指数增长最快的一年是2019年；③生活价格指数上涨速度最快的一年是2020年；④虽然2021年生活费收入增长缓慢，但由于生活价格指数也略有降低，因而人民生活有较大的改善.A.1 B.2 C.3 D.4
解析　由题意“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故①正确；
“生活费收入指数”在2019～2020年最陡.故②正确；“生活价格指数”在2020～2021年最平缓，故③不确；由于“生活价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”曲线呈上升趋势，故④正确.故选C.
4.某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，若已知x年后的设备维护总费用为x(x＋1)元，则为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为(　　)A.10 B.11 C.13 D.21
5.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为(　　)
6.已知生产某机器的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝x2－75x，若每台机器售价为25万元，则该厂获得最大利润时生产的机器为________台.
解析　设生产x台，获得利润f(x)万元，则f(x)＝25x－y＝－x2＋100x＝－(x－50)2＋2 500，故当x＝50时，获得利润最大.
7.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图所示，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形的两边长x，y应分别为________.
8.某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.
9.某市居民生活用水收费标准如下：
已知某用户1月份用水量为8 t，缴纳的水费为33元；2月份用水量为6 t，缴纳的水费为21元.设用户每月缴纳的水费为y元.
(1)写出y关于x的函数解析式；
当x＝8时，y＝33；当x＝6时，y＝21，
(2)若某用户3月份用水量为3.5 t，则该用户需缴纳的水费为多少元？(3)若某用户希望4月份缴纳的水费不超过24元，求该用户最多可以用多少水.
解　(2)当x＝3.5时，y＝3×3.5－3＝7.5.∴该用户3月份需缴纳的水费为7.5元.(3)令6x－15≤24，解得x≤6.5.∴该用户最多可以用6.5 t水.
10.国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，每人需交费用为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，人均费用减少10元，直到达到规定人数75人为止.旅行社需支付各种费用共计15 000元.(1)写出每人需交费用y元关于人数x的函数；
解　当0(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
解　设旅行社所获利润为S元，则当0因为当012 000.所以当旅行团人数为60时，旅行社可获得最大利润.
由题意知，当x＝150时，y取最大值，此时Q＝40.
12.一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速率v的平方成正比，且比例系数为k，除燃料费外其他费用为每小时96元.当速度为10海里/时时，每小时的燃料费是6元.若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为________海里/时时，总费用最少为________元.
解析　设每小时的总费用为y元，则y＝kv2＋96，又当v＝10时，k·102＝6，解得k＝0.06，所以每小时的总费用y＝0.06v2＋96，
13.某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元.该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件.
(1)设一次订购x件，服装的实际出厂单价为p元，写出函数p＝f(x)的表达式；
解　当0(2)当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？
解　设利润为y元，则当0当02 000.∴当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6 050元.
14.通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间.讲座开始时，学生兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明，用f(x)表示学生接受概念的能力(f(x)的值愈大，表示接受的能力愈强)，x表示提出和讲授概念的时间(单位：分)，可有以下的公式
(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？
解　当0(2)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？
解　∵f(5)＝－0.1×(5－13)2＋59.9＝53.5，f(20)＝－3×20＋107＝47<53.5，∴开讲后5分钟学生的接受能力比开讲后20分钟强.