2021-2022学年甘肃省白银市靖远县高三（下）开学数学试卷（理科）（Word解析版）

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2021-2022学年甘肃省白银市靖远县高三（下）开学数学试卷（理科）

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知集合，，则(    )

A.  B.
C.  D.

2. 复数的虚部是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知函数是奇函数，则(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论错误的是(    )

A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则

6. 某制衣品牌为使成衣尺寸更精准，选择了名志愿者，对其身高和臂展进行了测量单位：，这名志愿者身高和臂展的折线图如图所示．已知这名志愿者身高的平均值为，根据这名志愿者的数据求得臂展单位：关于身高单位：的线性回归方程为，则下列结论不正确的是(    )

A. 这名志愿者身高的极差小于臂展的极差
B. 这名志愿者的身高和臂展呈正相关关系
C. 这名志愿者臂展的平均值为
D. 根据回归方程可估计身高为的人的臂展为

7. 将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则图象的一个对称中心是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知双曲线：的左、右焦点分别是，，为坐标原点，点在双曲线上．且，则的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，“六芒星”是由两个全等的正三角形组成的，中心重合于点，且三组对边分别平行，是“六芒星”的四个顶点如图，则(    )

A.  B.
C.  D.

10. 在四面体中，，，则四面体外接球的体积是(    )

A.  B.  C.  D.

11. 关于函数有如下四个结论：
    对任意，都有极值；
    曲线的切线斜率不可能小于；
    对任意，曲线都有两条切线与直线平行；
    存在，使得曲线只有一条切线与直线平行．
    其中所有正确结论的序号是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 如图，一直角走廊宽为，一辆可以灵活活动的平板车的车面是宽的矩形，若要顺利将平板车推过直角走廊，则平板车车面的最大长度为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 某工厂为检测某产品的合格率，分三次随机抽检，经统计，第一次抽取个产品，合格率为，第二次抽取个产品，合格率为，第三次抽取个产品，合格率为，则该工厂所有产品的平均合格率的估计值为______．
14. 展开式中的常数项为          用数字作答．
15. 已知函数满足，当时，，则______．
16. 已知椭圆：的左、右焦点分别是，，，是椭圆上的不同两点，且点，关于原点对称．若，则椭圆离心率的取值范围是______．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 设等差数列的前项和为，且，．
    求数列的通项公式；
    若，求数列的前项积．
18. 如图，在多面体中，，四边形是正方形，四边形是矩形，且．
    证明：平面平面；
    求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

19. ，，，四位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：先将四位同学平均分成两组，每组进行一场比赛决出胜负，获胜者进入胜者组，失败者进入败者组．胜者组和败者组中再各自进行一场比赛，胜者组中获胜者获得冠军，失败者获得亚军，败者组中获胜者获得季军．设每场比赛双方获胜的概率都为．
    求同学获得冠军的概率；
    求，两人能够在比赛中相遇的概率．
20. 已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且．
    求抛物线的方程；
    若点是直线：上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别是，，试问直线是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
21. 已知函数的图像经过坐标原点，且．
    当时，讨论的单调性；
    若，求的取值范围．
22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
    求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
    已知点，直线和曲线交于，两点，求的值．
23. 已知函数．
    求不等式的解集；
    若关于的方程有实数解，求的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，
则或．
故选：．
由已知先求出集合，然后结合集合补集及交集运算定义可求．
本题主要考查了集合的补集及交集运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
复数的虚部是．
故选：．
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数的基本概念得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，
则．
故选：．
由已知利用诱导公式求得，再由二倍角的余弦求解．
本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及倍角公式的应用，是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：因为是奇函数，
所以恒成立，
故，
整理得，
所以．
故选：．
由已知得恒成立，代入整理可求．
本题主要考查了奇函数定义的应用，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，
对于，，，，当时，由面面垂直的判定定理得，
当时，在直线上取点，过作直线，则，
过直线，的平面，如图，

由，得，，
，，，，故A正确；
对于，若，，，则由线面垂直、面面垂直的性质得，故B正确；
对于，若，，，则线面垂直的性质、面面平行判定得，故C正确；
对于，若，，，则与相交、平行或异面，故D错误．
故选：．
利用面面垂直的判定定理判断；利用线面垂直、面面垂直的性质判断；利用线面垂直的性质、面面平行的判定定理判断；利用线面平行、面面平行的性质判断．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．
 

6.【答案】 

【解析】解：对于选项A：因为这名志愿者臂展的最大值大于身高的最大值，而臂展的最小值小于身高的最小值，所以这名志愿者身高的极差小于臂展的极差，故A正确．
对于选项B：因为，所以这名志愿者的身高和臂展呈正相关关系，故B正确．
对于选项C：因为这名志愿者身高的平均值为，所以这名志愿者臂展的平均值为，故C错误．
对于选项D：若一个人的身高为，则由回归方程，可得这个人的臂展的估计值为，故D正确．
故选：．
利用平均值、极差、线性回归方程的特征进行逐项判断．
本题考查了折线图，回归方程，极差、平均值的计算，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
由题意可得，
令，，解得，，
可得时，，
所以图象的一个对称中心是．
故选：．
由题意利用三角函数恒等变换以及函数的图象变换可得，进而根据正弦函数的性质即可求解图象的一个对称中心．
本题考查了三角函数恒等变换，函数的图象变换以及正弦函数的性质，考查了函数思想和转化思想的应用，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由，得，
，解得：，
．
故选：．
由，得，然后由双曲线的定义、勾股定理联立可求得，进而求得面积．
本题考查双曲线的方程和性质，是中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由图可知：，
则，
又，，，，
则，
故选：．
由图可知：，则，又，然后结合向量的数量积运算即可得解．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了向量的模及夹角，属基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，设外接圆的圆心为，连接，，
易证平面，
因为，所以，
设四面体外接球的球心为，连接，，则，，三点共线，
即平面，
因为，所以，所以，即，
即，解得，则，
故四面体外接球的体积是，
故选：．
设外接圆的圆心为，连接，，根据正弦定理求得，设四面体外接球的球心为，连接，，则，，三点共线，即平面，结合勾股定理可计算外接球的半径，代入球的体积公式计算即可．
本题考查了四面体外接球的体积计算，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对：当时，，为增函数，无极值．所以错误；
对：，所以正确；
对：当时，，，
设切点，由，可得或，
则切点为或，
则所求切线方程为：或，
这两条切线中与平行，：与重合，
即当时，曲线只有一条切线与直线平行，且这条切线的切点的横坐标为，所以错误；
对：由可知，正确；
故选：．
举反例否定；求得导函数的取值范围判断；取特例否定；取特例证明．
本题考查利用导数求函数的极值，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：当平板车车面的长度最大时，平板手推车所形成的三角形为等腰直角三角形，
连接，与交于点，过点作，
根据题意，是等腰直角三角形，
直角走廊宽为，
，
，
又为等腰直角三角形，
，
即平板车车面的最大长度为米，
故选：．
由题意可知三角形为等腰直角三角形，连接，与交于点，过点作，利用为等腰直角三角形求出的长，进而求出和的长即可．
本题主要考查了三角形中的几何计算，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意，三次随机抽检共抽取了个产品，
其中合格品有，
则该工厂所有产品的平均合格率的估计值为；
故答案为：．
根据题意，求出三次随机抽检的产品总数和其中合格品的数目，由此计算可得答案．
本题考查平均数的计算，注意平均数的计算公式，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了二项展开式的特定项与特定项的系数，用二项展开式的通项公式得展开式的第项，令的指数为得展开式的常数项．

【解答】

解：展开式的通项为
令，得．
故展开式中的常数项为．
故答案为．

15.【答案】 

【解析】解：由于函数满足，且；
所以．
故答案为：．
直接利用函数的关系式的变换和对数的运算的应用求出结果．
本题考查的知识要点：函数的关系式的应用，对数的运算，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题意和，可得四边形为矩形，
即以，为直径的圆与椭圆有交点，
即，所以可得，
即，而，，
可得．
故答案为：．
由题意可得以，为直径的圆与椭圆有交点，即，可得离心率的取值范围．
本题考查椭圆的性质的应用，属于基础题．
 

17.【答案】解：设等差数列的首项为，公差为，
又，，
则，
即，
则，
即，
即；
即数列的通项公式为；
由可得：，
则． 

【解析】设等差数列的首项为，公差为，然后结合已知条件可求得，，然后求数列的通项公式即可；
由等差数列的前项和公式求解即可．
本题考查了等差数列通项公式的求法，重点考查了等差数列的前项和公式，属基础题．
 

18.【答案】解：四边形是矩形，．
又，且，平面，．
又四边形是正方形，．
所以面，又因为面．
所以平面平面．
由第一问知，，且面，所以，，两两垂直．
故如图建立空间直角坐标系：

设的边长为，则，，，．
则，，．
设平面的一个法向量为．
易知，得到，令，则，．
则．
由第一问易知平面，所以是平面的一个法向量．
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 

【解析】先根据和得到，进一步证明面，即可证明平面平面．
建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，由题意取平面的一个法向量为，再代入锐二面角的余弦值公式求解即可．
本题主要考查面面垂直的判定定理和锐二面角的平面角的余弦值的求法，属于中档题．
 

19.【答案】解：同学获得冠军的情况是打两场比赛都获胜，
同学获得冠军的概率；
，两人能够在比赛中相遇的情况有种：
分到一组，概率为，
，分别在两组，且均获胜，概率为：，
，分别在两组，且均失败，概率为：，
，两人能够在比赛中相遇的概率：
． 

【解析】同学获得冠军的情况是打两场比赛都获胜，由此能求出同学获得冠军的概率；
，两人能够在比赛中相遇的情况有种：分到一组，，分别在两组，且均获胜，，分别在两组，且均失败，由此能求出，两人能够在比赛中相遇的概率．
本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

20.【答案】解：因为点在抛物线上，所以，
解得，所以抛物线的方程为，
设，，直线的方程为，则
切线的直线方程为：，即，
切线的直线方程为：，即．
设，则因为点在直线：上，所以．
又因为点在切线和切线上，所以，

所以由可得：，．
代入得：．
联立方程组，得，
所以，，
所以，即．
所以直线的方程为，即，
所以直线恒过定点． 

【解析】根据抛物线的定义可得，即可求出，进而得出抛物线的方程；设，，，直线的方程为，求出切线、的直线方程，并解出，，再结合点在直线：上可得，于是联立直线和抛物线的方程并利用韦达定理即可得出，从而得出直线是否过定点．
本题主要考查抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
 

21.【答案】解：函数的图像经过坐标原点，且，
，
当时，，
，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增；
依题意，得，
 即，
，，
，；
令，
则，
在上单调递减，
式可化为：，，两端取对数，得，
令，则问题转化为，恒成立，
，
若，则，在上单调递增，，满足题意；
若，令，得，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
，令，得，
令，
则，
在上单调递减，又，
当时，，与矛盾，故不满足题意；
综上所述，，即． 

【解析】由可求得，当时，，求导分析可得的单调性；
原不等式可转化为，其中，；构造函数，求导分析其单调性，进一步转化为，两端取对数后，再构造函数，求导分析，求得，通过对分类讨论，可求得答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数与单调性关系考查不等式恒成立问题，突出等价转化思想、函数与方程思想、分类讨论思想的综合运用，考查逻辑推理能力、抽象思维
能力及运算求解能力，属于难题．
 

22.【答案】解：由曲线的参数方程为为参数，
得，两式作差可得，，即曲线的普通方程为，
由直线的极坐标方程为，且，，
得直线的直角坐标方程为；
点在直线上，直线的斜率为，
可得直线的参数方程为，代入，
得，设，两点对应的参数分别为，，
，，，
． 

【解析】把曲线参数方程中的参数消去，可得曲线的普通方程，由直线的极坐标方程，结合极坐标与直角坐标的互化公式，可得直线的直角坐标方程；
写出直线的参数方程，代入曲线的普通方程，化为关于的一元二次方程，利用参数的几何意义及根与系数的关系求解．
本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查运算求解能力，是基础题．
 

23.【答案】解：因为，
所以等价于或或，
解得，即不等式的解集为；
因为，
所以关于的方程有实数解等价于直线与的图象有交点，
则，即，
解得或，
即的取值范围是． 

【解析】去掉绝对值后即可求解；
关于的方程有实数解等价于直线与的图象有交点，即，
计算即可．
本题考查了绝对值不等式的应用，属于中档题．