2021-2022学年四川省成都市蓉城名校联盟高二（下）入学数学试卷（文科）（Word解析版）

这是一份2021-2022学年四川省成都市蓉城名校联盟高二（下）入学数学试卷（文科）（Word解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
绝密★启用前2021-2022学年四川省成都市蓉城名校联盟高二（下）入学数学试卷（文科）  第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）若直线的方程为，则直线的纵截距为(    )A.  B.  C.  D. 双曲线的一个焦点到渐近线的距离为(    )A.  B.  C.  D. 同时抛掷两枚骰子，向上点数之和为的概率是(    )A.  B.  C.  D. 在空间直角坐标系中，点到点的距离为(    )A.  B.  C.  D. “”是“”的(    )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件已知直线：，直线：，若，则(    )A.  B.  C.  D. 执行如图所示的程序，若输入的，则输出的(    )
A.  B.  C.  D. 已知抛物线的焦点为，定点，点是抛物线上一个动点，则的最小值为(    )A.  B.  C.  D. 若两定点，，动点满足，则动点的轨迹围成区域的面积为(    )A.  B.  C.  D. 已知椭圆：上有一异于顶点的点，，分别是椭圆的左、右顶点，且两直线，的斜率的乘积为，则椭圆的离心率为(    )A.  B.  C.  D. 已知直线：，圆：，为上一动点，过点作圆的切线，，切点为，，则四边形面积的最小值为(    )A.  B.  C.  D. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若存在点，满足，则的斜率的最大值为(    )A.  B.  C.  D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）若直线：与直线：平行，则______．某班级积极响应“书香校园”活动的号召，如图所示茎叶图记录了该班甲、乙两个小组的同学在寒假中阅读打卡的天数单位：天，已知甲组数据的中位数为，乙组数据的平均数为，则的值为______．
 斜率为的直线与抛物线相交于，两点，若，两点的中点为，则的值为______．已知椭圆，过点的直线与椭圆交于不同的两点、，为坐标原点，若为锐角，则直线的斜率的取值范围为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分
已知直线的方程为，求直线恒过定点的坐标；
已知点，，，若过点的直线与线段有公共交点，求直线的斜率的取值范围．本小题分
某班级利用寒假假期推行“学习互助小组”．
班上有个同学，女生与男生的比例为：，开学后老师按男女生比例抽查一个样本容量为的样本，则男生被抽到的人数是多少？
现有小明同学和小华同学结对相互学习，两人约定到公共图书馆学习，约定时间为早上点到点注：两人在这一段时间内任一时刻到达公共图书馆的可能性均相等，相互约定，等待对方的时间不超过分钟，否则就取消当天的学习活动．求他们俩当天能成功一起学习的概率是多少？本小题分
已知圆：．
过点作圆的切线，求切线的方程；
已知圆：上只有个点到直线：的距离为，求的取值范围．本小题分
开学在即，某校对全校学生返校所花费的时间进行调查，统计了该校学生居住地到学校的距离单位：千米和学生花费在返校路上的时间单位：分钟，得到如下数据：到学校的距离千米花费的时间分钟由统计资料表明与具有线性相关关系．
求线性回归方程精确到；
小明家离学校千米，请问小明到学校所花费的时间约为多少分钟？精确到整数
若的距离数据，称为“完美距离”，那么从个距离中任取个，求抽取到的个数据中至少有一个是“完美距离”的概率．
参考公式及数据：，，．本小题分
若点到直线的距离比它到点的距离大．
求点的轨迹方程；
过点的直线与点的轨迹曲线交于，两点，过点的直线与点的轨迹曲线交于，两点，若，求的值．本小题分
已知双曲线的离心率，虚轴在轴上且长为．
求双曲线的标准方程；
过点作直线与双曲线的左支只有一个交点，求直线的斜率的取值范围；
已知椭圆：，若，分别是，上的动点，且，到直线的距离是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：令得，
故直线的纵截距为．
故选：．
结合直线纵截距的概念即可求解．
本题主要考查了直线的纵截距的求解，属于基础题．
 2.【答案】 【解析】解：根据题意，由双曲线，
可得焦点坐标为，渐近线的方程为；
结合双曲线的对称性，其任一个焦点到它的渐近线的距离相等，
故只需计算一个焦点到其中一条渐近线的距离即可，其距离为，
故选：．
根据双曲线的方称可得其焦点坐标与渐近线的方程，由于双曲线的对称性，只需计算一个焦点到其中一条渐近线的距离即可，由点到直线的距离公式，计算可得答案．
本题考查双曲线的性质，解题时注意结合双曲线的对称性，只需计算一个焦点到其中一条渐近线的距离即可．
 3.【答案】 【解析】解：抛掷两颗骰子所出现的不同结果数是
事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为”所包含的基本事件有，，，共四种
故事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为”的概率是，
故选：．
利用列举法得到同时向上掷两枚骰子，向上的点数之和共有种结果，而向上的点数之和为的结果有种情况，由此能求出向上的点数之和等于的概率．为．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
 4.【答案】 【解析】解：在空间直角坐标系中，点到点的距离为：
．
故选：．
利用两点间距离公式直接求解．
本题考查空间中两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 5.【答案】 【解析】解：由得，得，得，
则是的必要不充分条件，
故选：．
求出不等式的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系进行判断是解决本题的关键，是基础题．
 6.【答案】 【解析】解：因为：，直线：，，
所以，
则．
故选：．
结合直线垂直的条件及同角基本关系即可求解．
本题主要考查了直线垂直条件的应用及同角基本关系，属于基础题．
 7.【答案】 【解析】解：第一次循环后，
第二次循环后，
第三次循环后，
第四次循环后，
此时满足，终止循环，输出，
故选：．
利用循环语句，一一循环，直至，终止循环，输出．
本题考查了语句的功能计算输入、输出值，属于基础题．
 8.【答案】 【解析】解：由题意可知，抛物线的焦点坐标，准线方程为，
由抛物线定义可知当轴时，取得最小值，最小值为．
故选：．
利用抛物线的定义，结合抛物线的性质，转化求解即可．
本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属基础题．
 9.【答案】 【解析】解：设，依题意，，
化简整理得：，因此，动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
所以动点的轨迹围成区域的面积为．
故选：．
根据给定条件求出动点的轨迹方程，再确定轨迹即可计算作答．
本题考查了动点的轨迹方程的面积计算，属于基础题．
 10.【答案】 【解析】解：由题意知，，设，
则，，
于是．
所以，
又，
所以，
所以，
即椭圆的离心率为．
故选：．
由题意可知，，设，把点的坐标代入椭圆方程，结合条件直线，的斜率之积求出，的值，从而求出椭圆的离心率．
本题主要考查了椭圆的标准方程与简单几何性质的应用问题，是中档题．
 11.【答案】 【解析】解：如图，

，
要使四边形的面积最小，则最小，
，
四边形面积的最小值为．
故选：．
由题意画出图形，问题转化为求圆的圆心到直线直线：的最小值，再由得到直线的距离公算求解．
本题考查直线与圆位置关系的应用，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．
 12.【答案】 【解析】解：由题意：，，
设点，，在抛物线上，故，
，，
，
，即，
，
当时，；
当时，，
当且仅当即时，等号成立，
有最大值．
故选：．
设点，，表示出，考虑 的正负情况，结合基本不等式即可求得答案．
本题考查了抛物线的性质及其应用，考查了计算能力，属于中档题．
 13.【答案】 【解析】解：直线：与直线：平行，
则，
解得．
故答案为：．
利用直线与直线平行的性质直接求解．
本题考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 14.【答案】 【解析】解：根据茎叶图，知甲组数据的中位数为，所以；
乙组数据的平均数为，解得；
所以．
故答案为：．
根据茎叶图，由甲组数据的中位数求出，乙组数据的平均数求出，从而求出．
本题考查了茎叶图的应用问题，以及根据茎叶图中的数据求平均数与中位数，是基础题．
 15.【答案】 【解析】解：设，，
由，得，
因为直线的斜率为，且，两点的中点为，
所以，
解得：．
故答案为：．
根据直线的斜率为，且，两点的中点为，利用点差法求解．
本题主要考查了直线与抛物线相交问题，考查了“点差法”，属于中档题．
 16.【答案】 【解析】解：由题意可得直线的斜率存在且不为，
设直线的方程为，设，，
联立，整理可得：，
，可得，即或，
且，，，
因为为锐角，所以，
即，
代入可得，
可得，即，
综上所述，的取值范围为：，
故答案为：
设直线的方程，与椭圆的方程联立，，求出的范围，再求出两根之积，由为锐角，所以，可得的范围，进而求出的取值范围．
本题考查直线与椭圆的综合应用，角为锐角与数量积的关系，属于中档题．
 17.【答案】解：由已知可得，即，
则，
解得，，
所以直线恒过定点；
因为，，
由过点的直线与线段有公共交点得或，
故的取值范围为或 【解析】由已知结合直线系方程可求；
先求出，，然后结合直线的位置关系可求．
本题主要考查了恒过定点的直线及直线的斜率公式的应用，属于基础题．
 18.【答案】解：人中，抽取人，样本比，
女生与男生的比例为：，女生人数有人，男生人数有人，
则抽取的男生人数为人，男生被抽到的人数为人．
设小明同学到公共图书馆的时间为，小华同学到公共图书馆的时间为，
将：：这个时间段看作，分钟为小时．
记总事件为，对应区域为图示正方形区域，．
小明与小华能聚在一起学习记作事件，

，对应区域为图中阴影部分，
他们俩当天能成功一起学习的概率为． 【解析】根据分层抽样的比例直接计算求得答案；
根据几何概型的概率计算方法，求得总事件为对应的区域面积，再求得小明与小华能聚在一起学习的事件的对应区域面积，即可求得答案．
本题主要考查分层抽样和几何概型，属于基础题．
 19.【答案】解：根据题意，圆：，其圆心为，半径；
若直线的斜率不存在，此时切线的方程为，与圆相切，符合题意，
若直线的斜率存在，设切线的斜率为，此时切线的方程为，即，
此时有，解可得，此时直线的方程为，即；
此时切线的方程为，
故直线的方程为或；
根据题意，圆：，其圆心为，
圆心到直线：的距离，
若圆上只有个点到直线的距离为，则有，解可得，
即的取值范围为． 【解析】根据题意，分直线的斜率是否存在两种情况讨论，求出切线的方程，综合可得答案；
根据题意，求出圆心到直线的距离，由直线与圆的位置关系分析可得答案．
本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的标准方程，属于基础题．
 20.【答案】解：由已知表格中的数据可得，，
又已知，，
，，
；
当千米时，分钟，
小明到学校时间约为分钟；
由表格可知，个数据中，满足的有两个，记为，，剩下的记作，，，，
则个数据中，抽取个数据，共有种抽法，分别为，，，，，
，，，，，，，，，，
其中至少有一个完美距离的有种，则抽取到的个数据中至少有一个是“完美距离”的概率． 【解析】由已知求得与的值，即可得到线性回归方程；
在中求得线性回归方程中，取求得值即可；
利用枚举法结合随机事件的概率公式求解．
本题考查线性回归方程及其求法，考查随机事件及其概率的求法，考查运算求解能力，是基础题．
 21.【答案】解：由题意可知点到的距离与到点的距离相等，
点的轨迹为以点为焦点的抛物线且，
点的轨迹方程为．
抛物线的焦点为，
由题意可知，若与中有一条直线的斜率不存在不符合题意，
与都存在，且，，
设的方程为，，，
联立消得：，
，，
同理，
． 【解析】根据抛物线的定义即可求得答案；
设直线方程并联立抛物线方程得到根与系数的关系式，表示出弦长，，继而得到的表达式，化简可得答案．
本题主要考查了动点的轨迹方程，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
 22.【答案】解：因为双曲线的虚轴在轴，则设双曲线的标准方程为，
由题意得，，
又，，
双曲线的标准方程为或．
双曲线的渐近线方程为：，
过点与左支只有一个交点，则
当直线垂直于轴时，
，，则到直线的距离为，
当直线不垂直于轴时，
设直线的方程为，则直线的方程为，
联立方程，得，
，同理，
设到直线的距离为，
，
，
即，
综上所述所，到直线的距离是定值，定值． 【解析】依题意，设双曲线的标准方程为，由，可求出，的值，从而得到双曲线的标准方程．
根据双曲线的渐近线方程，即可求出直线的斜率的取值范围．
对直线的斜率是否存在分两种情况讨论，结合点到直线的距离公式即可求解结果．
本题主要考查了双曲线的标准方程，考查了直线与双曲线的位置关系，属于中档题．