高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.1.3 函数的奇偶性习题课件ppt

进阶训练5　(范围：3.1.3)

一、基础达标

1.若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，则m的值是(　　)

A.1  B.2 

C.3  D.4

答案　B

解析　f(－x)＝(m－1)x2－(m－2)x＋(m2－7m＋12)，f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋

(m2－7m＋12)，由f(－x)＝f(x)，得m－2＝0，即m＝2.

2.若偶函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则a＝f(－)，b＝f，c＝f的大小关系是(　　)

A.b＜a＜c  B.b＜c＜a

C.a＜c＜b  D.c＜a＜b

答案　C

解析　由f(x)为偶函数，得a＝f(－)＝f().

又∵＜＜，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，

∴f()＜f＜f，即a＜c＜b.

3.(多选)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论不成立的是(　　)

A.|f(x)|－g(x)是奇函数

B.|f(x)|＋g(x)是偶函数

C.f(x)－|g(x)|是奇函数

D.f(x)＋|g(x)|是偶函数

答案　ABC

解析　根据题意有f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，所以f(－x)＋|g(－x)|＝f(x)＋

|－g(x)|＝f(x)＋|g(x)|，

所以f(x)＋|g(x)|是偶函数.同理，易知选项A，B中的函数既不是奇函数也不是偶函数，选项C中的函数是偶函数.故选ABC.

4.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0，f(x)＝x2＋2x，若f(3－2a)>f(a)，则实数a的取值范围是(　　)

A.(－∞，－1)  B.(－∞，1)

C.(－1，＋∞)  D.(1，＋∞)

答案　B

解析　当x≥0时，f(x)＝x2＋2x是增函数，又f(x)是定义在R上的奇函数，

所以f(x)是R上的增函数，

所以由f(3－2a)>f(a)得3－2a>a，

解得a<1.

5.设f(x)是R上的奇函数，且f(x)在(－∞，0)上是减函数，又f(－4)＝0，则不等式>0的解集是(　　)

A.(0，4) B.(－8，－4)

C.(－4，0)∪(0，4) D.(－8，－4)∪(0，4)

答案　B

解析　因为f(x)是R上的奇函数，

则f(0)＝0，

由于函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，

则该函数在(0，＋∞)上也为减函数，

∵f(－4)＝0，则f(4)＝－f(－4)＝0，

作出函数f(x)的大致图像如图所示：

由>0，

可得>0，

由可得

或此时x∈∅；

由可得

或解得－8<x<－4.

因此，不等式>0的解集是(－8，－4).

6.设函数y＝f(x)是偶函数，若f(－3)＋f(－1)－5＝f(3)＋f(1)＋a，则a＝________.

答案　－5

解析　∵f(x)是偶函数，∴f(－3)＝f(3)，f(－1)＝f(1)，故由题意知a＝－5.

7.若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是________.

答案　f(－2)<f(1)<f(0)

解析　∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)恒成立，

即(m－1)x2－6mx＋2＝(m－1)x2＋6mx＋2恒成立，

∴m＝0，即f(x)＝－x2＋2.

∵f(x)的图像开口向下，对称轴为y轴，

在[0，＋∞)上单调递减，

∴f(2)<f(1)<f(0)，又∵f(x)＝－x2＋2为偶函数，

∴f(2)＝f(－2).

即f(－2)<f(1)<f(0).

8.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则不等式>0的解集为________.

答案　(－2，0)∪(2，＋∞)

解析　由题意知f(－x)＝f(x)，

所以f(－2)＝f(2)＝0，又f(x)在(－∞，0]上是减函数，所以当x<－2时，f(x)>0，

当－2<x<0时，f(x)<0.

由函数f(x)是定义在R上的偶函数，其图像关于y轴对称可知，当x>2时，f(x)>0，0<x<2时，f(x)<0，所以使得>0成立的x的取值范围是(－2，0)∪(2，＋∞).

9.已知f(x＋1)是奇函数，f(x－1)是偶函数且f(0)＝2，求f(12)的值.

解　因为f(x＋1)为奇函数，

所以有f(x＋1)＝－f(－x＋1).

令t＝x＋1可得f(t)＝－f(2－t)，

∵函数f(x－1)是偶函数，

∴f(x－1)＝f(－x－1)，

令x－1＝t，则可得f(t)＝f(－t－2)，

∵f(－t－2)＝－f(－t＋2).

令－t－2＝m，

则f(m)＝－f(m＋4)，

f(m＋8)＝f(m)，

∴f(12)＝f(8＋4)＝f(4)＝－f(0)＝－2.

10.证明函数f(x)＝的图像关于(－1，0)对称.

证明　要证f(x)的图像关于(－1，0)对称，只需证明f(x)对任意的

x∈(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，f(－1＋x)＝－f(－1－x).

∵f(－1＋x)＝＝，

f(－1－x)＝＝－，

∴f(－1＋x)＝－f(－1－x)，

故y＝的图像关于(－1，0)对称.

二、能力提升

11.已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8(a，b是常数)，且f(－3)＝5，则f(3)＝(　　)

A.－6  B.－21 

C.17  D.9

答案　B

解析　令g(x)＝f(x)＋8＝x5＋ax3＋bx，易知g(x)为奇函数，

又g(－3)＝f(－3)＋8＝13，

∴g(3)＝－13，

又g(3)＝f(3)＋8，

∴f(3)＝g(3)－8＝－21.

12.已知定义在R上的函数f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，且f(x)在[1，＋∞)上为减函数，则当x＝________时，f(x)取得最大值；若不等式f(0)<f(m)成立，则实数m的取值范围是________.

答案　1　(0，2)

解析　由f(1－x)＝f(1＋x)，

知f(x)的图像关于直线x＝1对称，

又f(x)在[1，＋∞)上单调递减，则f(x)在(－∞，1]上单调递增，所以当x＝1时f(x)取到最大值.由对称性可知f(0)＝f(2)，所以由f(0)<f(m)，得0<m<2，即实数m的取值范围为(0，2).

13.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2.若对任意的x∈[a，a＋2]，不等式f(x＋a)≥f(x)恒成立，求实数a的取值范围.

解　由题意知f(x)＝

易知f(x)在R上是增函数，所以x＋a≥x，

即a≥(－1)x.

又x∈[a，a＋2]，所以当x＝a＋2时，

(－1)x取得最大值(－1)(a＋2)，

因此a≥(－1)(a＋2)，解得a≥，

故a的取值范围是[，＋∞).

三、创新拓展

14.若函数y＝f(x)在(0，2)上是增函数，函数y＝f(x＋2)是偶函数，则下列结论正确的是(　　)

A.f(1)<f<f B.f<f(1)<f

C.f<f<f(1) D.f<f(1)<f

答案　B

解析　∵y＝f(x＋2)是偶函数，

∴f(2－x)＝f(2＋x)，

故y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称，

∴f(1)＝f(3).

又f(x)在(0，2)上为增函数，

∴f(x)在(2，4)上为减函数.

又2<<3<<4，

∴f>f(3)>f，即f<f(1)<f.