2021-2022学年湖南省岳阳市华容县高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

这是一份2021-2022学年湖南省岳阳市华容县高一（下）期末数学试卷（Word解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
绝密★启用前2021-2022学年湖南省岳阳市华容县高一（下）期末数学试卷  第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）复数的实部和虚部之和为(    )A.  B.  C.  D. “二万五千里长征”是年月到年月中国工农红军进行的一次战略转移，是人类历史上的伟大奇迹，向世界展示了中国工农红军的坚强意志，在期间发生了许多可歌可泣的英雄故事在中国共产党建党周年之际，某中学组织了“长征英雄事迹我来讲”活动，已知该中学共有高中生名，用分层抽样的方法从该校高中学生中抽取一个容量为的样本参加活动，其中高三年级抽取了人，高二年级抽取了人，则该校高一年级学生人数为(    )A.  B.  C.  D. 在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，顶点是圆柱下底面中心．若圆柱的轴截面是边长为的正方形，则圆锥的侧面展开图面积为(    )A.  B.  C.  D. 如图，在中，，是的中点，若，则实数的值是(    )A.
B.
C.
D. 某校高一年级个班参加朗诵比赛的得分如下：

则这组数据的分位数、分位数分别为(    )A. ， B. ， C. ， D. ，已知水平放置的四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，，，则原四边形的面积为(    )
 A.  B.  C.  D. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则的值等于(    )A.  B.  C.  D. 如图，在正方体中，在线段上运动，则下列结论中正确的个数有(    )
三棱锥的体积为定值；
；
与所成的角的范围为；
存在点，使与平面成的角为．
A.  B.  C.  D.  二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么不互斥的两个事件是(    )A. “至少有一个黑球”与“都是黑球”
B. “至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C. “恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”
D. “至少有一个黑球”与“都是红球”对于两个平面，和两条直线，，下列命题中假命题是(    )A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则下列结论正确的是(    )A. 在中，若，则
B. 在锐角三角形中，不等式恒成立
C. 若，则为等腰三角形
D. 在中，若，，三角形面积，则三角形外接圆半径为如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，，且，则下列结论中错误的是(    )A.
B. 平面
C. 三棱锥的体积为定值
D. 的面积与的面积相等
 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）在感冒流行的季节，设甲、乙患感冒的概率分别为和，则两人中有人患感冒的概率是______．已知向量，，则______．若正三棱锥的侧棱与底面所成的角为，高为，则这个三棱锥外接球的表面积为           ．在平面四边形中，，，，，交于点，若，则的值为          ，的长为          ． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分
已知，，与夹角是．
求的值及的值；
当为何值时，？本小题分
如图，已知圆锥的底面半径为，点为半圆弧的中点，点为母线的中点，若直线与所成的角为，求此圆锥的表面积和体积．
 
本小题分
我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年位居民每人的月均用水量单位：吨，将数据按照，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图．
Ⅰ求直方图中的值；
Ⅱ设该市有万居民，估计全市居民中月均用水量不低于吨的人数．
Ⅲ估计居民月均用水量的中位数．
本小题分
全国文明城市，简称文明城市，是指在全面建设小康社会中市民整体素质和城市文明程度较高的城市．全国文明城市称号是反映中国大陆城市整体文明水平的最高荣誉称号．为普及相关知识，争创全国文明城市，某市组织了文明城市知识竞赛，现随机抽取了甲、乙两个单位各名职工的成绩单位：分如下表：甲单位乙单位根据上表中的数据，分别求出甲、乙两个单位名职工的成绩的平均数和方差，并比较哪个单位的职工对文明城市知识掌握得更好；
用简单随机抽样法从乙单位名职工中抽取人，求抽取的名职工的成绩差的绝对值不小于的概率．本小题分
如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，过点作交于点．

证明：平面；
证明：平面；
求三棱锥的体积．本小题分
如图，在中，，，点在边上，，为锐角．
Ⅰ求；
Ⅱ若，求的值及的长．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
的实部为，虚部为，实部与虚部之和为．
故选：．
利用复数代数形式的乘法运算化简，求出的实部与虚部，则答案可求．
本题考查复数的基本概念，考查了虚数单位的运算性质，是基础题．
 2.【答案】 【解析】解：设该校高一年级学生人数为人，
则，解得．
所以该校高一年级学生人数为人．
故选：．
设该校高一年级学生人数为人，由对应的比例关系求出该校高一年级学生人数．
本题考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 3.【答案】 【解析】解：根据题意知：圆锥的高为，圆锥的底面半径为，
所以圆锥的底面周长为，圆锥的母线长为，
所以圆锥的侧面展开面的面积为．
故选：．
首先求出圆锥的母线的长和圆锥的底面周长，进一步利用侧面积公式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：圆锥的侧面的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
 4.【答案】 【解析】解：，，所以，
，因为，，三点共线，
，
，
故选：．
题目隐含的等量关系是，，三点共线若、、三点共线，则，若将中的用表示，就可得到关于的方程．
本题考查了平面向量基本定理以及向量共线的充要条件，向量共线基本定理或其推论在高考中经常出现，要引起重视．
 5.【答案】 【解析】解：将数据从小到大依次排列如下：
，，，，，，，，，，，，，，，
而，，
故这组数据的分位数是，
这组数据的分位数是，
故选：．
将数据从小到大依次排列，而且，，故这组数据的分位数是第、个数的平均数，分位数是第个数．
本题考查了百分位数的概念应用，属于基础题．
 6.【答案】 【解析】解：由已知求得，
把三视图还原原图形如图，

可得原图形为直角梯形，，，且，，，
可得原四边形的面积为．
故选：．
由已知直观图还原原平面图形，再由梯形面积公式求解．
本题考查水平放置的平面图形的直观图，考查斜二测画法的应用，是基础题．
 7.【答案】 【解析】解：因为，
由余弦定理可得，整理可得，
又因为，
所以，解得，，
又，
所以由余弦定理可得．
故选：．
由已知利用余弦定理可得，又，解得，的值，进而根据余弦定理即可求解的值．
本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
 8.【答案】 【解析】解：如图，

，，四边形为平行四边形，可得，
平面，平面，平面，则到平面的距离相等，
可得三棱锥的体积等于三棱锥的体积为定值，故正确；
连接，则，可得，同理可得，
又，平面，而平面，
，故正确；
以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为，
则，，，，，
，，
，
若，则，即或，而，
，即，可得与所成的角的范围为，故错误；
平面的一个法向量为，，
由，得，
此方程无解，即不存在点，使与平面成的角为，故错误．
结论正确的个数有个．
故选：．
证明平面，得到平面的距离相等，可得三棱锥的体积等于三棱锥的体积为定值，得正确；证明平面，得，得正确；以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为，利用空间向量求得，可得与所成的角的范围为，得错误；求出平面的一个法向量为，，由，得，此方程无解，说明错误．
本题考查命题的真假判断与应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．
 9.【答案】 【解析】解：”至少有一个黑球“中包含“都是黑球，A正确；
“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”可能同时发生，B正确；
“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不可能同时发生，不正确；
“至少有一个黑球”与“都是红球”不可能同时发生，不正确．
故选：．
根据互斥事件的定义可得．
本题考查了互斥事件与对立事件，属中档题．
 10.【答案】 【解析】解：若，，则或，故A错误；
若，，则或或与相交，相交也不一定垂直，故B错误；
若，，，则或与相交或与异面，故C错误；
若，，，则，故D正确．
故选：．
由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
 11.【答案】 【解析】解：对于：在中，若，则，利用正弦定理：，所以，故A正确；
对于：在锐角三角形中，不等式，所以恒成立，故B正确；
对于：若，则，故，或，整理得：或，所以为等腰三角形或直角三角形，故C错误；
对于：在中，若，，三角形面积，所以，解得，
所以，所以，则，，故D错误；
故选：．
直接利用正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用判断、、、的结论．
本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 12.【答案】 【解析】解：假设，又由正方体的结构特征可知，
且，得平面，得，
由正方体结构特征可知，，矛盾，故假设错误，故A错误；
连接，则，平面，平面，
平面，故B正确；
到线段的距离为定值，，
到平面的距离为定值，等于，
则三棱锥的体积为定值，故C正确；
到线段的距离为定值，到线段的距离为定值，
的面积与的面积不相等，故D错误．
故选：．
利用反证法证明A错误；利用直线与平面平行的判定证明B正确；直接证明三棱锥的体积为定值说明C正确；由、到线段的距离不等说明D错误．
本题考查正方体的结构特征，考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，训练了多面体体积的求法，是中档题．
 13.【答案】 【解析】解：记事件：两人中有人患感冒，则：两人中没有人患感冒．
所以，
所以，
故答案为：．
由两人中有人患感冒的对立事件为两人中没有人患感冒，故利用对立事件求解即可．
本题主要考查相互独立事件和对立事件，属于基础题．
 14.【答案】 【解析】解：已知向量，，
则，
故答案为：．
由平面向量数量积的坐标运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属基础题．
 15.【答案】 【解析】【分析】本题考查球的切、接问题，球的表面积，直线与平面所成的角，属于较易题．
设垂直于面于点，则可得点为的外接圆的圆心，由侧棱与底面所成角为可得的值，即外接圆的半径的值，再由球心到截面的距离，截面的半径和球的半径的关系求出球的半径，进而求出球的表面积．【解答】解：设垂直面于点，则，，
因为，所以，
设球的半径为，则，解得，
所以球的表面积，
故答案为：．  16.【答案】 【解析】【分析】本题考查平面向量基本定理，考查三点共线的向量表示，考查余弦定理解三角形，考查数学运算的核心素养，属于较难题．
设，把用和表示，由，，三点共线，系数和为可求出，进而求出，在中，由余弦定理可求出．【解答】解：设，则，
因为，，三点共线，所以，所以，
故．
所以，因为，
所以，
在中，由余弦定理可得，
即，解得．
故答案为：；．  17.【答案】解：．

．

，

即，
，
解得．
当时，． 【解析】本题考查了向量数量积定义及其运算性质、向量垂直与数量积的关系，基础题．
利用向量数量积定义及其运算性质即可得出；
由于，则，展开即可得出．
 18.【答案】解：取的中点，连结，，

则，且，
故为与所成的角，
在中，，则，
由点为半圆弧的中点知，
在中，，，得，
故，
所以，
中，，
此圆锥的表面积：，
此圆锥的体积：
． 【解析】本题考查圆锥的表面积和体积的求法，考查空间中线线关系等基础知识，是中档题．
取的中点，连结，，则，且，为与所成的角，由此能求出此圆锥的表面积和体积．
 19.【答案】解：由频率和为，，
整理，得，解得．
由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于吨的频率为，
又样本容量为万，
所以样本中月均用水量不低于吨的户数为万．
Ⅲ根据频率分布直方图得；，
，
所以中位数应在组内，设中位数为，
由，
解得，
所以中位数是． 【解析】由频率和为列方程求出的值．
计算月均用水量不低于吨的频率和频数即可．
Ⅲ根据中位数在频率分布直方图中对应的频率为，列方程求出中位数的大小．
本题考查了频率分布直方图，也考查了运算求解能力，是中档题．
 20.【答案】解：根据题意，甲单位人的成绩为、、、、，
其平均数，方差；
乙单位人的成绩为、、、、，
其平均数，方差；
则有，，甲单位的职工对文明城市知识掌握得更好；
根据题意，用简单随机抽样法从乙单位名职工中抽取人，有、、、、、
、、、、，共种情况，
其中抽取的名职工的成绩差的绝对值不小于的情况有、、、、，共个，
则抽取的名职工的成绩差的绝对值不小于的概率． 【解析】根据题意，分别计算甲乙两个单位的平均数和方差，比较分析可得答案；
根据题意，用列举法分析“从乙单位名职工中抽取人”和“抽取的名职工的成绩差的绝对值不小于”的情况数目，由古典概型公式计算可得答案．
本题考查古典概型的计算，涉及平均数、方差的计算，属于基础题．
 21.【答案】证明：连接交于点，连接．
底面是正方形，
点是的中点．
又为的中点，
．
又平面，平面，
平面．

底面，平面，
．
底面是正方形，
．
又，平面，平面，
平面．
又平面，
．
，是的中点，
又平面，平面，，
平面．
而平面
．
 又，且，平面，平面，
平面．
解：是的中点，． 【解析】连接交于点，连接证明推出平面．
证明转化证明平面，通过证明证明平面推出 又，证明平面．
利用求解即可．
本题考查直线与平面垂直的判定定理以及直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
 22.【答案】解：中，由余弦定理得，
所以，
解得或，
当时，，此时，不符合题意，舍去，
当时，，此时，符合题意，
中，，
所以，
又，
所以，
中，由正弦定理得，
所以． 【解析】由已知结合余弦定理先求；
由余弦定理及两角差的余弦公式可求，然后结合正弦定理可求．
本题主要考查了余弦定理，正弦定理及和差角公式在求解三角形中的应用，属于中档题．