湖南省长沙市第一中学2022届高三下学期月考(九)数学试题及参考答案

长沙市一中2022届高三月考试卷（九）

数  学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1. 设集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 已知复数（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在直线上，若，则（    ）

A.  B. 2 C.  D. 10

3. “”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 若圆：（）上存在点，且点关于轴的对称点在圆：上，则的取值范围是（    ）

A.  B.

C  D.

5. 函数在单调递减，且为奇函数.若，则满足的的取值范围是（    ）.

A.  B.  C.  D.

6. 牛顿冷却定律描述一个事物在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间后的温度满足，其中是环境温度，称为半衰期，现有一杯80℃的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55℃．经测量室温为25℃，茶水降至75℃大约用时1分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等待（    ）（参考数据：，，）

A. 4分钟 B. 5分钟 C. 6分钟 D. 7分钟

7. 若函数（）在上单调，且在上存在极值点，则ω的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知点、分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，且满足，，则该椭圆的离心率是（    ）

A.  B.  C.  D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 下列说法中，正确的命题有（    ）

A. 已知随机变量服从正态分布N（2，），，则

B. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则的值分别是和

C. 若事件A与事件B互斥，则事件A与事件B独立

D. 若样本数据的方差为2，则数据的方差为16

10. 若，且，则下列不等式恒成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

11. 对于正整数n，是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目．函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如（1，2，4，5，7，8与9互质），则（    ）

A. 若n为质数，则 B. 数列单调递增

C. 数列的前5项和等于 D. 数列为等比数列

12. 已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，M为棱CC1上的动点，AM⊥平面，下面说法正确的是（    ）

A. 若NDD1中点，当AM+MN最小时，CM=

B. 当点M与点C1重合时，若平面截正方体所得截面图形面积越大，则其周长就越大

C. 若点M为CC1中点，平面过点B，则平面截正方体所得截面图形的面积为

D. 直线AB与平面所成角的余弦值的取值范围为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为棱AB，BC，CD，DA的中点，将该正方体挖去两个四分之一圆锥，得到如图所示的几何体，则该几何体的体积为________．

14. 已知为圆上的三点，若，则与的夹角为_______．

15. 展开式中的系数是___________.

16. 已知函数，则方程的根为________．若函数有三个零点，则实数a的取值范围是________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（1）求角A；

（2）若△ABC是锐角三角形，且c＝4，求b的取值范围．

19 已知数列满足，．

（1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；

（2）记，，．证明：当时，．

21. 2022年冬季奥林匹克运动会主办城市是北京，北京成为第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市！为迎接冬奥会的到来，某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：

（1）在这10所学校中随机选取3所来调查研究，求这3所学校参与“自由式滑雪”都超过40人的概率；

（2）“单板滑雪”参与人数超过45人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机选出3所，记为选出可作“基地学校”的学校个数，求X的分布列和数学期望；

（3）现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试．规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”．在集训测试中，小明同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响且每轮测试互不影响．如果小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到5次，那么理论上至少要进行多少轮测试？

23. 如图、三棱柱的侧棱垂直于底面，是边长为2的正三角形，，点在线段上且，点是线段上的动点．

（1）当是为多少时，直线平面？

（2）当直线平面时，求二面角的余弦值．

25. 已知双曲线C的渐近线方程为，且过点P（3，）．

（1）求C的方程；

（2）设Q（1，0），直线（）不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线BQ与C交于另一点D，过Q点作QN⊥AD于N，证明：直线AD过定点M，且点N在以QM为直径的圆上．

27. 已知，其中为实数．

（1）若在上单调递增，求的取值范围；

（2）当时，判断函数在上零点的个数，并给出证明．